PHYS-A0140 - Aineen rakenne (TFM), 19.04.2021-28.05.2021
This course space end date is set to 28.05.2021 Search Courses: PHYS-A0140
Topic outline
-
-
Tarkastellaan kvanttimekaanista hiukkasta, jolla on kaksi vapausastetta (ominaisuutta) joilla on vain kaksi mahdollista arvoa.
-
Hiukkasen kaksi ominaisuutta (ylös-alas ja vasen-oikea) ovat toisistaan riippumattomat. Silti toisen määritys muuttaa toisen arvon.
-
Ei-kommutoivat operaatiot ovat sellaisia, joissa järjestyksellä on merkitystä. Mikäli näihin operaatioihin liittyy jotkin mitattavat suureet (hiukkasen kaksi ominaisuutta) kutsutaan niitä konjugaattimuuttujiksi. Tällaisia ovat esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä, jotka eivät ole yhtä aikaa hyvin määriteltyjä. Vastaavia konjugaattimuuttujia on kuitenkin muitakin.
-
Interferometri on laite, jossa hiukkasella on kaksi tai useampi reitti kulkea havaintolaitteelle. Yksinkertaisimmillaan interferometri saadaan rakennettua peilien avulla.
-
Hiukkasen kulkema reitti interferometrissa ei ole hyvin määritelty. Klassisen maailman ajatustavalla mikään hiukkasen tapa kulkea interferometrin läpi ei selitä havaintoja. Kvanttimekaaninen tulkinta on, että hiukkanen on kahden polun superpositiossa, mille ei ole analogiaa klassisen maailman kokemuspiirissämme.
-
Etenevän harmonisen aallon funktionaalinen kuvaus johdetaan hyödyntäen Galilein muunnosta koordinaatistoon, joka etenee aallon nopeudella. Tässä koordinaatistossa aalto on ajasta riippumaton.
-
Kaiuttimen toiminnassa yhdistyy monta hyvin erilaista jaksollista liikettä: jännite, sähkövirta, Lorentzin voima, kaiuttimen kalvon liike, ilmanpaineen vaihtelu ja lopulta etenevä ääniaalto.
-
3d lasit hyödyntävät ympyräpolarisaatiota. Ympyräpolarisaatiossa on keskeistä kahden eritavalla polarisoituneen aallon erivaiheinen superpositio, jolloin yhdistelmäaallon polarisaatio kiertyy myötä- tai vastapäivään suhteessa valon etenemissuuntaan.
-
Johdetaan aaltoyhtälö sellaiselle etenevälle aallolle joka säilyttää muotonsa.
-
Riippuen aaltoliikkeestä ja väliaineesta aallon etenemisnopeus saattaa riippua aallonpituudesta tai aaltovektorista. Aallon nopeutta v(k) tai kulmanopeutta \omega(k) kutsutaan dispersiorelaatioksi. Dispersiolla eli aallon hajaantumisella tarkoitetaan sitä, että aaltopaketti hajaantuu eri nopeuksilla eteneviin harmonisiin osa-aaltoihin.
-
Kahden tai useamman harmonisen aallon superpositioaallolla on kaksi mahdollisesti eri nopeussuuretta: ryhmänopeus ja vaihenopeus. Miten nämä nopeudet käyttäytyvät riippuvat aallon dispersiorelaatiosta ja jopa yksinkertaisessa kahden harmonisen aallon tapauksessa saadaan hyvin yllättäviäkin ilmiöitä aikaiseksi.
-
Foucaltin koe vuonna 1850 mittasi valon nopeuden vedessä ja osoitti että valo etenee hitaammin kuin ilmassa. Tämä oli ristiriidassa Newtonin valon hiukkasmallin kanssa, osoittaen näin Huygensin aaltomallin paremmuuden valon luonteen selittämiseen.
-
Ilmakehän keskimääräinen lämpötila korkeuden funktiona sisältää paljon mielenkiintoista fysiikkaa. Alailmakehän lineaarinen lämpötilan lasku (adiabaattinen lämpötilavähete) on seurausta termodynamiikan adiabaattisesta laajentumisesta. Ylempänä otsonikerros lämmittää ilmakehää auringon ultraviolettivalon avulla. Näiden kahden alueen väliin jää lämpötilaminimi.
-
Äänen nopeuden riippuvuus ilman lämpötilasta johdettuna dimensioanalyysillä.
-
Ilmakehän lämpötilan korkeusriippuvuus yhdistettynä äänen nopeuden lämpötilariippuvuuteen ja Snellin lain mukaiseen kokonaisheijastukseen synnyttävät ilmakehään kaksiulotteisen (pallomaisen) äänikanavan jossa ääni kantaa pitkiä matkoja.
-
Kun kaksi aaltopakettia kohtaavat, muodostavat ne 'summa-aallon' joka on aaltopakettien lineaarikombinaatio. Riippuen aaltojen merkistä (positiivinen/negatiivinen) aallot voivat joko vahvistaa toisiaan tai heikentää toisiaan. Aaltojen superpositioperiaate on seurausta aaltoyhtälön lineaarisuudesta.
-
'Kaksoisrakokoe' äänellä, jossa kaksi kaiutinta muodostavat koherentit aaltolähteet. Jos kaiuttimista tulevat aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa kumoavat äänet toisiaan (vastaääni). Vähän pitkä videoklippi, koska alussa vähän hairahduttiin...
-
Huygensin periaatteessa jokainen aaltorintaman piste muodostaa uuden pallomaisen aallon alkupisteen. Näiden pallomaisten aaltojen interferenssi (superpositio?) muodostaa uuden aaltorintaman. 'Johdamme' tämän periaatteen lähtien kaksoisrakokokeesta ja lisäämme rakoja.
-
Diffraktio (Fresnelin ja/tai Fraunhoferin) tapahtuu kun aaltorintama kohtaa esteen (rako tai muu este). Demotaan tätä laserilla joka diffraktoituu (taipuu) partaveitsen terän ohitse muodostaen varjokuvassa intensiteettiminimejä ja -maksimeja.
-
Kaksoisrakokoe, tai yleisemmin jonkinlainen diffraktiokoe, on tehty myös erilaisilla hiukkasilla. Davissonin ja Germerin koe oli diffraktio koe elektroneilla ja se osoitti elektronien aaltoluonteen.
-
de Broglien relaatiot kertovat hiukkaset aaltofunktion de Broglien aallonpituuden sekä taajuuden. Nämä kaksi suuretta liittyvät toisiinsa dispersiorelaation kautta, joka tosin monesti kirjoitetaan energian E ja liikemäärän p välisenä relaationa E = E(p).
-
which-way kokeet ovat kaksoisrakokokeen variaatioita, joissa pyritään määrittämään hiukkasen kulkema reitti, eli kumman raon kautta hiukkanen kulkee. Aina kun koeasetelmassa määritetään reitti, menetetään interferenssikuvio.
-
Quantum eraser on variaatio which-way koeasetelmasta, jossa hiukkasen kulkema reitti 'merkitään' esimerkiksi polarisaatioon tai muuhun hiukkasen vapausasteeseen mutta uudella filtteroinnilla tämä informaatio hiukkasen polusta menetetään ennen varsinaista mittausta. Tällöin interferenssikuvio ilmestyy jälleen.
-
Hyvin lyhyt esittely bra-ket formalismista sekä keskustelua todennäköisyyksistä ja todennäköisyysamplitudeista.
-
Hiukkasen aaltofunktio kertoo hiukkasen todennäköisyysamplitudin paikan funktiona. Tämä todennäköisyysamplitudi kertoo todennäköisyysjakauman löytää hiukkanen jostakin paikasta. Bornin periaatteen mukaan todennäköisyys saadaan todennäköisyysamplitudin itseisarvon neliöstä. Mittauksessa todennäköisyysjakauma, ja siis myös aaltofunktio 'romahtavat' mittausta vastaavaan tilaan.
-
Matlab-simulaatio aaltofunktion romahduksesta. Hiukkasen aaltofunktio oletetaan alussa koostuvan kahdesta erillisestä Gaussisesta piikistä, vastaten kaksoisrakokokeen tilannetta. Simulaatiossa hiukkanen emittoi fotonin, jonka havaitseminen romahduttaa hiukkasen aaltofunktion. Fotonin aallonpituus määrää resoluution, jolla hiukkasen paikka määräytyy. Jos aallonpituus on hyvin suuri (suurempi kuin rakojen välinen etäisyys), ei fotonin emissio kerro informaatiota kummassa raossa hiukkanen on, jolloin aaltopakettikaan ei romahda (merkittävästi).
-
Kvanttimekaanisen systeemin tilan mittauksessa on kyse korrelaatioista systeemin ja mittalaitteen välillä. Sanomme, että näiden tilat kietoutuvat.
-
IBM:n Quantum experiencen pilvessä olevilla kvanttitietokoneilla voidaan demota maanantain luennollakin esiteltyä Quantum eraser-koetta. Kvanttibitin 1 aikakehitys kuvastaa kaksoisraon interferenssikoetta. Kun kvanttibittien 1 ja 2 tilat kiedotaan CNOT-portilla, romahduttaa kvanttibitin 2 tilan mittaus myös kvanttibitin 1 tilan, jolloin interferenssi-ilmiö katoaa. Mutta jos kietoutuminen puretaan ennen mittausta kvanttibittiin 2 kohdistuvalla operaatiolla (tämä on se Quantum eraser-kohta), palautuu jälleen interferenssi-ilmiö.
-
Esitehtävässäkin esiintynyt Blochin pallo on tapa esittää graafisesti tuttujen pallokoordinaattien avulla yksikköpallolla yleisen kaksitilaisen kvanttisysteemin tilaa.
-
Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaanisen aaltofunktion aaltoyhtälö, eli se kertoo miten aaltofunktio muuttuu ajan ja paikan funktiona. Tarkastelemme yleisellä tasolla Schrödingerin yhtälön ominaisuuksia.
-
Stationaariset tilat ovat tärkeä erikoistapaus Schrödingerin yhtälön ratkaisuista, sillä niiden avulla voidaan helposti ratkaista myös yleisen tilan aikakehitys. Johdamme lyhyesti stationaarisia tiloja kuvaavan ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön.
-
Esimerkkinä ratkaisemme laatikossa olevan hiukkasen stationaariset tilat. 'Laatikko' voidaan kuvata myös niin kutsuttuna äärettömän potentiaalikuoppana.
-
Kerrataan(?) vähän kompleksilukuja. Erityisesti tarkastellaan kompleksilukujen (ja siis myös reaalilukujen!) esitystä amplitudin ja vaiheen avulla.
-
Palataan vielä maanantain luennon laskuun hiukkasesta äärettömässä potentiaalikuopassa ja analysoidaan hieman stationaarisia tiloja sekä niiden energioita.
-
Yleistetään hieman edellä analysoituja stationaarisia tiloja ja energioita ja määritellään ortonormaalien tilojen kanta.
-
Tarkastellaan ilman varsinaista laskemista stationaarisia tiloja äärellisessä potentiaalikuopassa. Ratkaisut koostuvat äärellisestä määrästä sidottuja tiloja, joiden energia on pienempi kuin potentiaalikuopan syvyys, sekä (jatkumo) äärettömästä määrästä 'sirontatiloja' jotka ulottuvat aina äärettömyyteen asti.
-
Ratkaistaan ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö äärettömässä potentiaalikuopassa olevalle hiukkaselle. Simuloidaan aikakehitystä matlabilla.
-
Perehdytään hieman kvanttimekaniikan matriisiformalismiin: Schrödingerin aaltofunktioformalismin paikkaesityksessä (=paikan funktiona esitetty) aaltofunktio voidaan esittään stationaaristen tilojen lineaarikombinaationa. Nämä stationaariset tilat voidaan ajatella muodostavan aaltofunktiolle vektoriavaruuden kannan, ja mielivaltainen aaltofuntio on tämän vektoriavaruuden vektori. Kun kvanttimekaanisen systeemin tila esitetään näin vektorina, tulee operaattoreista matriiseja. Matriisiformalismissa stationaarisia tiloja kuvaava ajasta-riippumaton Schrödingerin yhtälö on tuttu(?) ominaisarvoyhtälö.
-
Vetyatomin kvanttimekaaninen kuvaus käsittelee elektronia ytimen muodostamassa sähköisessä Coulombin potentiaalissa. Aluksi tutustumme vain vetyatomin sidottujen tilojen energioihin ja huomaamme että osa tiloista on degeneroituneet, eli energiat ovat identtiset.
-
Perehdytään formaalimmalla tasolla degeneraatioon, eli operaattorin ominaistiloihin joilla on samat ominaisarvot. Degeneraatio on seurausta systeemin symmetrioista. Vetyatomin tilojen degeneraatio on seurausta siitä, että tilojen energia ei riipu stationaarisen tilan pyörimismääräkvanttiluvusta l eikä pyörimismäärän z-komponentin kvanttiluvusta m.
-
Observaabelit ovat systeemin (periaatteessa) mitattavia suureita ja niihin liittyy aina hermiittinen operaattori. Mahdolliset mittaustulokset ovat tämän operaattorin ominaisarvoja ja mitattaessa jokin ominaisarvo romahtaa systeemin tila tätä vastaavaan ominaistilaan (tai degeneraoituneiden tilojen tapauksessa superpositiotilaan). Perehdymme muutamaan keskeiseen operaattoriin: Hamiltonin operaattori, paikka- ja liikemääräoperaattorit, pyörimismääräoperaattori sekä pyörimismäärän z-komponentti.
-
Vedyn energiatasoista seuraa Bohrin postulaattien hengessä vedyn emissio- ja absorptio spektriviivat, eli minkä energisia fotoneja vetyatomi emittoi ja absorptoi. Energiatasojen välisen siirtymän energiaero määrää fotonin aallonpituuden. Siirtymät perustilalle tai perustilalta edellyttävät ultraviolettisäteilyä (Lymanin sarja), kun taas siirtymät ensimmäiseltä viritystilalta ylöspäin liittyy pääasiassa näkyvän valon spektriviivoihin (Balmerin sarja). Sitä korkeammat energiatasot ovat yhä lähekkäimmin toisiaan ja niitä vastaavat fotonit ovat infrapuna-alueella (esim. Paschenin sarja). Verrataan näitä energiaeroja myös termodynamiikan ekvipartitioteoreeman mukaiseen lämpöliikkeen energiaskaalaan -- yhden elektronivoltin siirtymä vastaa jo noin 10 000 Kelvinin lämpötilaa!
-
Vielä hieman operaattori- tai lineaarialgebraa. Määritellään mitattavan suureen (observaabelin) odotusarvo. Toistomittauksessa mittaustulosten keskiarvo vastaa teoreettisesti aaltofunktiolle lasketun operaattorin odotusarvoa.
-
Vedyn energiatasojen degeneraatio purkautuu relativististen korjausten myötä. Tämä synnyttää spektriviivoihin hienorakennetta, joka havaittiin jo Michelsonin ja Morleyn kokeessa 1892. Tehdään lyhyt katsaus relativistisiin korjauksiin.
-
Tarkastellaan heliumin energiatasoja. Heliumin (aito) perustila tunnetaan myös nimellä parahelium. Sen vaihtoehtona on niin kutsuttu ortohelium, joka on hyvin pitkäikäinen heliumin viritystila.
-
Heliumin elektronit muodostavat kahden hiukkasen systeemin ja sen kuvaamista varten meidän pitää yleistää aaltofunktiomme kahden hiukkasen aaltofunktioksi.
-
Elektronit ovat identtisiä hiukkasia, samoin kuin fotonit, protonit, neutronit ja monet muut. Hiukkasten identtisyys aiheuttaa kuitenkin ongelmia niitä kuvaavalle aaltofunktiolle. Kahden elektronin aaltofunktio pitääkin antisymmetrisoida.
-
Monen elektronin aaltofunktion antisymmetrisyys johtaa lukion kemiastakin tuttuun Paulin kieltosääntöön, joka kieltää kahden elektronin olemasta samassa paikassa ja samalla tilalla. Tästä seuraakin sitten monielektroniatomien elektronikuorirakenne, kun tiloja aletaan järjestyksessä täyttämään yksi elektroni per tila (mukaan lukien spin-vapausaste).
-
Heliumin kaksi elektronia vuorovaikuttavat keskenään Coulombin potentiaalin välityksellä. Niiden aaltofunktion antisymmetrisyys vaikuttaa kuitenkin tuon Coulombin potentiaalin aiheuttaman energiasiirtymän odotusarvoon: antisymmetrisellä paikka-avaruuden aaltofunktiolla hiukkasten välinen etäisyys on keskimäärin hieman suurempi kuin symmetrisellä aaltofunktiolla ja tämä kuvastuu myös energian odotusarvoon.
-
Stern-Gerlach kokeella oli tarkoitus määrittää Bohrin atomimallin mukainen hopea-atomin uloimman elektronin ratapyörimismäärä. Tarkastellaan aluksi mitä klassinen sähkömagnetismi sanoisi mitä kokeessa pitäisi tapahtua, jos hopea-atomit olisivat kuin pyöriviä sauvamagneetteja.
-
Kvanttimekaanisen atomimallin pohjalta tiedämme millainen on hopea-atomin elektroniverhon rakenne. Erityisesti uloin elektroni on l=0 tilalla, eli sen ratapyörimismäärä on nolla. Stern-Gerlach kokeessa havaitaankin nimenomaan tuon uloimman elektronin spin-pyörimismäärä ja siihen liittyvä magneettinen dipolimomentti.
-
Tarkastellaan elektronin spinin z-komponenttia ja tunnistetaan sitä vastaava spin-operaattori. Samaan tapaan saadaan myös elektornin spinin x- ja y-komponentit.
-
Tarkastellaan uudelleen kurssin ensimmäisen viikon ajatuskoetta. Nyt hiukkasen kaksitilaiset ominaisuudet ovat Stern-Gerlach kokeen hopea-atomin spinin x- ja z-komponentit.