Usean muuttujan reaaliarvoisella funktiolla tarkoitetaan funktiota f:D→R, missä D⊂Rn, n≥2 on funktion
määrittelyjoukko. Tällainen funktio siis liittää reaalisiin parametreihin x1,…,xn reaaliluvun y=f(x1,…,xn).
Joskus (erityisesti fysiikassa) tällaista funktiota sanotaan skalaarikentäksi.
Esimerkiksi kaava f(r,h)=πr2h määrittelee kahden muuttujan r,h funktion. Tämän funktion arvo on sylinterin tilavuus, kun r on sen säde ja h korkeus. Tähän sovellukseen liittyvä funktion määrittelyjoukko on tason ensimmäinen neljännes,
D={(r,h)∈R2:r≥0,h≥0},
mutta funktion määräävä matemaattinen kaava on kuitenkin määritelty ja mielekäs kaikilla (r,h)∈R2, siis myös negatiivisilla luvuilla.
Esimerkki
Funktion z=f(x,y) kuvaaja, kun
f(x,y)=−6x2+x2+y2
f(x,y)=x2−y2
Tasa-arvokäyrät
Olkoon c∈R vakio, D⊂R2 ja f:D→R funktio. Tällöin joukko C={(x,y):f(x,y)=c} on usein tasokäyrä.
Kyseinen pistejoukko voi olla myös tyhjä (jos f ei saa arvoa c) tai vaikkapa koko taso (jos f on vakio). Mikäli joukko C on tasokäyrä, sitä sanotaan funktion f arvoon c liittyväksi tasa-arvokäyräksi.
Esimerkiksi korkeuskäyrät kartalla ovat tasa-arvokäyriä funktiolle, joka liittää kartalla olevaan pisteeseen (x,y) korkeuden meren pinnasta kyseisessä pisteessä.
Kolmiulotteisessa tapauksessa pistejoukot S={(x,y,z):f(x,y,z)=c} ovat yleensä pintoja (eivät siis avaruuskäyriä).
Olkoot , , joukon kasaantumispiste ja
sellaisia funktiota, että ja . Tällöin:
Jos ja on jatkuva pisteessä , niin
Raja-arvon tutkiminen käyrien avulla
Yhden muuttujan tapauksessa raja-arvoa tutkitaan yleensä oikean- ja vasemmanpuoleisen raja-arvon avulla.
Tämä ajatus ei kuitenkaan toimi usean muuttujan tapauksessa, koska yleensä on olemassa äärettömän monta suuntaa (eli kyseisen pisteen kautta kulkevaa käyrää),
joista pistettä voidaan lähestyä joukossa , .
Mikäli kuitenkin on olemassa kaksi käyrää ,
siten että mutta
tai jompaa kumpaa kyseisistä raja-arvoista ei ole määritelty, niin tällöin funktiolla ei voi olla raja-arvoa pisteessä .
Esimerkki
Tutkitaan funktion raja-arvoa origon ympäristössä, kun
Jos origoa lähestytään -akselin suunnasta, eli pitkin käyrää , saadaan
Toisaalta suoralla , joka voidaan parametrisoida , saadaan
Näin ollen funktiolla ei ole raja-arvoa origossa.
Esimerkki
Tutkitaan funktion
raja-arvoa origossa.
Koska funktion arvo on nolla koordinaattiakseleilla, sen raja-arvon on oltava nolla (jos se on olemassa). Itse asiassa kaikilla origon kautta kulkevilla suorilla saadaan
Kuitenkin valinnalla saadaan
Siten tälläkään funktiolla ei ole raja-arvoa origossa.
Esimerkki
Osoitetaan, että
Käyttämällä epäyhtälöä saadaan
Formaalisti: Raja-arvon määritelmän ehto toteutuu, jos valitaan .
Jatkuvuus
Olkoon , ja . Funktio on jatkuva pisteessä , jos
Funktio on jatkuva joukossa , jos se on jatkuva jokaisessa joukon pisteessä.