Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
2. Usean muuttujan funktiot
2.1. Osittaisderivaatta
Avoin joukko
Avoimessa joukossa voidaan jokaisesta pisteestä siirtyä ainakin lyhyt etäisyys kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Tällaisessa joukossa määritellyn funktion arvojen muutosta voidaan siis tutkia kaikissa eri suunnissa, mikä on tärkeää funktion osittaisderivaattojen tapauksessa. Tarkemmin:Määritelmä
Joukko D⊂Rn on avoin, jos sen jokaille pisteelle x∈D löytyy sellainen r=rx>0, että B(x,r)={y∈Rn∣‖y−x‖<r}⊂D. Joukko B(x,r) on pallo(n sisäpuoli), jonka keskipiste on x ja säde r. Tasossa käytetään myös nimitystä kiekko, mutta merkintä B = 'ball' sopii kaikkiin ulottuvuuksiin. Englannin kielen sana 'sphere' käännetään myös palloksi, mutta sekaannusten välttämiseksi siitä on matematiikassa toisinaan hyvä käyttää nimitystä "pallopinta".Osittaisderivaatta
Olkoon n≥2, D⊂Rn avoin ja f:D→R funktio. Tällöin kaikille j=1,…,n funktion f osittaisderivaatta muuttujan xj suhteen on ∂∂xjf(x)=lim jos kyseinen raja-arvo on olemassa. Tässä

Huom. Erityisesti tapauksissa ja
tai
käytetään osittaisderivaatoille yleensä merkintöjä



Käytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain tulkita kaikki muut muuttujat ikään kuin vakioiksi.
Syy: Esimerkiksi kahden muuttujan funktiosta voidaan muodostaa yhden muuttujan
funktio
kiinnittämällä muuttuja
. Tällöin funktion
tavallinen yhden muuttujan erotusosamäärä on sama lauseke kuin funktion
erotusosamäärässä ensimmäisen muuttujan suhteen:
Esimerkki
Esimerkki
Olkoon funktio ,
Sen osittaisderivaatat ovat
Merkintätavat osittaisderivaatoille
Funktion osittaisderivaattaa muuttujan
suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla
Tapauksessa usein kirjoitetaan
, jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä
Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia ("doo"), jotta se ei sekoittuisi tavalliseen derivaattaan.
Tähän palataan vähän myöhemmin ketjusäännön yhteydessä.
Osittaisderivaatan arvo
Funktion osittaisderivaatan
arvoa pisteessä
merkitään
jossa muuttuja
määritellään
.
Esimerkiksi, jos ja
, niin
\begin{align}
f_{u}(\mathbf{w})&=f_{u}(x^2,xy) =\left.\bigg(\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)\bigg)\right|_{(x^2,xy)} \\
&=2uv\Big|_{u=x^2,\,v=xy}= 2(x^2)(xy)=2x^3y.
\end{align}
Esimerkki
Lasketaan
kun
. Tällöin saadaan
Esimerkki
Etsitään , kun
. Tästä saadaan
Siten
Ketjusäännön soveltaminen
Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö
on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa.
Jos esimerkiksi
ja
niin
ja
Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille.
Esimerkki
Osoitetaan, että derivoituva funktio toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun
:
Ketjusäännön perusteella
Siten
Korkeammat osittaisderivaatat
Funktiolle voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja.
Jos
, niin saadaan esimerkiksi
ja
Vastaavasti, jos
, saadaan vaikkapa
Esimerkki
Etsitään funktion toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi
Siten
\begin{align*}
f_{xx}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}3x^2y^4=6xy^4, \\
f_{yx}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}4x^3y^3=12x^2y^3, \\
f_{xy}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}3x^2y^4=12x^2y^3, \\
f_{yy}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial y}4x^3y^3=12x^3y^2.
\end{align*}
Huom. Edellisestä voidaan havaita, että . Tämä ei ole sattumaa!
Jos funktio sekä sen osittaisderivaatat
ja
ovat kaikki jatkuvia, niin
Toisin sanoen derivoimisjärjestyksellä ei ole tällöin väliä. Vastaava tulos pätee myös yleisesti kaikilla
.