Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali, $\mathbb{R}^3$)

Tasointegraalia mukaillen voidaan samaan tapaan määritellä avaruusintegraali: $\iiint_D f(x,y,y)\,dV = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n f(x_i,y_j,z_k)\,\Delta x\Delta y\Delta z,$ kun $D=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times[a_3,b_3] \subset \mathbb{R}^2$ ja $f\colon D\to \mathbb{R}$. Tässä $\Delta x = \frac{b_1-a_1}{n},\quad \Delta y = \frac{b_2-a_2}{n}\text{ ja } \Delta z = \frac{b_3-a_3}{n}.$ Vieläkin useamman muuttujan funktioita $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, missä $n\ge 2$, voi integroida samaan tapaan.

Huomautuksia

Yhden muuttujan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin (ensimmäinen) peruslause: $f(x)=\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt,\textrm{ kun }c,x\in[a,b]$ ja $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ on jatkuva funktio.

Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Analyysin peruslauseella ei kuitenkaan ole aivan samanlaista vastinetta usean muuttujan tapauksessa; Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseet ovat kuitenkin sille sukua.

Moninkertainen integraali

Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) $\iiint_D f(x,y,z)\,dV = \int_{a_3}^{b_3}\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz,$ kun $D=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]$.

Mikäli funktio $f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on.

Esimerkki

Olkoon $f(x,y,z)=xye^z$. Lasketaan $\iiint_D f(x,y,z)\,dV,\text{ missä } D=[0,2]\times [0,1] \times [-1,1].$
Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan \begin{align*} &\iiint_D xye^z\,dV = \int_{-1}^1\int_0^1\int_0^2 xye^z\,dx\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1\int_0^1 \frac{x^2ye^z}{2}\bigg|_{x=0}^2\,dy\,dz = \int_{-1}^1\int_0^1 2ye^z\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1 y^2e^z\bigg|_{y=0}^1\,dz = \int_{-1}^1 e^z\,dz = e^z\Big|_{z=-1}^1 = e -e^{-1}. \end{align*}

Integrointi yleisemmissä alueissa

Tutkitaan funktiota $f\colon D\to \mathbb{R}$, joka on määritelty avaruuden osajoukossa $D$. Tähän asti on oletettu, että $D$ on suorakulmainen särmiö. Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmaista särmiötä $\hat D$, jolle $D\subset \hat D$. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon $D$ olla ''siisti'' (riittää esimerkiksi, että reuna on paloittain sileä).

Määritellään funktio $\hat f\colon \hat D \to \mathbb{R}$ seuraavasti: $\hat f(x,y) = \left\{ \begin{array}{rcl} f(x,y), &\text{kun} &(x,y) \in D,\\ 0, & \text{kun} & (x,y) \in \hat D \setminus D. \end{array}\right.$ Nyt voidaan määritellä avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: $\iiint_D f(x,y,z)\,dV := \iiint_{\hat D} \hat f(x,y,z)\,dV,$ kun $\hat D$ on suorakulmainen särmiö ja $D \subset \hat D$.