Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Pinnan tangentti ja normaali

Yhden muuttujan tapauksessa derivaatan avulla voidaan löytää lauseke derivoituvan funktion tangentille annetussa pisteessä. Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Pinnalle $z=f(x,y)$ saadaan puolestaan kaksi tangenttivektoria pisteessä $(a,b,f(a,b))$ käyrien $t\mapsto(t,b,f(t,b))$ ja $t\mapsto(a,t,f(a,t))$ tangentteina: $\mathbf{T}_1 = \mathbf{i} + f_{x}(a,b)\mathbf{k} \quad\text{ ja }\quad \mathbf{T}_2 = \mathbf{j} + f_{y}(a,b)\mathbf{k}.$

Pinnan (ylä)normaalivektori $\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)$ on kohtisuorassa näitä molempia tangenttivektoreita vastaan. Siksi se saadaan ristitulona \begin{align*} \mathbf{N} &= \mathbf{T}_1\times \mathbf{T}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_{x}(a,b) \\ 0 & 1 & f_{y}(a,b) \end{vmatrix} =-f_{x}(a,b)\mathbf{i} - f_{y}(a,b)\mathbf{j} + \mathbf{k}. \end{align*} Pinnan yksikkönormaali $\mathbf{n}$ saadaan normaalista $\mathbf{N}$ skaalaamalla sen pituudella: $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\| \mathbf{N}\|},$ sillä yllä olevan kaavan perusteella $\mathbf{N}$ ei voi olla nollavektori.

Tangenttitaso

Olkoon $D\subset \mathbb{R}^2$, $f\colon D\to \mathbb{R}$ ja $(a,b)\in D$. Pinnan $z=f(x,y)$ tangenttitaso pisteessä $(a,b,f(a,b))$ on aina kohtisuorassa normaalia $\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)$ vastaan ja se kulkee pisteen $P=(a,b,f(a,b))$ kautta. Merkitään pisteen $P$ paikkavektoria $\mathbf{r}_{0}$. Tällaisen tason vektorit $\mathbf{r} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ toteuttavat yhtälön $\mathbf{N} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_{0}) = 0,$ sillä tason suuntaiset vektorin ovat kohtisuorassa normaalia vastaan. Tangenttitasolle saadaan siis yhtälö $-f_{x}(a,b)(x-a) - f_{y}(a,b)(y-b)+1\cdot (z-f(a,b))=0 \Leftrightarrow z=f(a,b) + f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(a,b)(y-b).$

Normaalisuoran yhtälöt

Normaalisuora pinnalle $z=f(x,y)$ pisteessä $P = (a,b,f(a,b))$ on normaalivektorin $\mathbf{N}(a,b) = -f_{x}(a,b)\mathbf{i} - f_{y}(a,b)\mathbf{j} + \mathbf{k}$ suuntainen.

Merkitään taas pisteen $P$ paikkavektoria $\mathbf{r}_{0}$. Tällöin normaalisuoran pisteet ovat pistejoukko $\{ \mathbf{r}_{0} + t \mathbf{N}(a,b) \, : \, t \in \mathbb{R} \}.$ Jos sekä $f_{x}(a,b) \neq 0$ ja $f_{y}(a,b) \neq 0$, niin voidaan eliminoida parametri $t$ ja saadaan yhtälöt $\frac{x-a}{f_{x}(a,b)} = \frac{y-b}{f_{y}(a,b)} = \frac{z-f(a,b)}{-1}.$

Esimerkki

Etsitään tangentti ja normaali pinnalle $z=\sin(xy)$, kun $x=\pi/3$ ja $y=-1$. Tangentti ja normaali kulkevat pisteen $(\pi/3,-1,-\sqrt{3}/2)$ kautta.

Lasketaan osittaisderivaatat: $\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)\text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy).$ Pisteessä $(\pi/3,-1)$ saadaan $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{2} \text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\pi}{6}.$ Siten kyseisellä pinnalla on normaalivektori $\mathbf{N} = \frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{\pi}{6}\mathbf{j} + \mathbf{k}.$ Tangenttitaso on $z= \frac{-\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\Big(x-\frac{\pi}{3}\Big) + \frac{\pi}{6}(y+1).$ Ja normaalisuoran yhtälöiksi saadaan $\frac{6x-2\pi}{-3} = \frac{6y+6}{\pi} = \frac{6z+3\sqrt{3}}{-6}.$

Kaltevuuskulma

Pinnan kaltevuuskulma $\varphi$ mitataan vaakatasosta, mutta se on sama kuin pinnan ylänormaalin ja yksikkövektorin $\mathbf{k}$ välinen kulma: piirrä poikkileikkauskuva! Näin ollen $\cos\varphi =\frac{\mathbf{N}\cdot \mathbf{k}}{\|\mathbf{N}\| \,\|\mathbf{k}\|} = \frac{1}{\|\mathbf{N}\|}.$