Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
7. Taso- ja avaruusintegraalit
7.1. Tasointegraali
Tasointegraali
Olkoon joukko tasossa ja skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali Integraalin arvo on pinnan ja -tason väliin jäävän alueen tilavuus.
Tutkitaan aluksi erikoistapausta .
Yhden muuttujan tapaus
Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona.
Formaalisti missä on välin tasavälinen jako ja on jakovälin pituus.
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, )
Jaetaan tason osajoukko tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on jakopistettä.
Nyt voidaan määritellä missä ja sekä vastaavat jakovälien pituutta ja -suunnassa:
Huomautuksia
Yhden muuttujan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin (ensimmäinen) peruslause: ja on jatkuva funktio.
Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Analyysin peruslauseella ei kuitenkaan ole aivan samanlaista vastinetta usean muuttujan tapauksessa; Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseet ovat kuitenkin sille sukua.
Moninkertainen integraali
Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmio)
Mikäli funktio on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on.
Esimerkki
Olkoon . Lasketaan
Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan \begin{align*} \iint_D xy^2\,dA &= \int_0^1\int_0^1 xy^2\,dx\,dy = \int_0^1\bigg[\frac{x^2y^2}{2}\bigg]_{x=0}^{1}\,dy \\ &= \int_0^1 \frac{y^2}{2}\,dy \bigg[\frac{y^3}{6}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{6}. \end{align*}
Integrointi yleisemmissä alueissa
Tutkitaan funktiota , joka on määritelty tason osajoukossa . Tähän asti on oletettu, että on suorakulmio. Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota , jolle . Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla ''siisti'' (riittää esimerkiksi, että reuna on paloittain sileä).
Määritellään funktio seuraavasti: Nyt voidaan määritellä Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: kun on suorakulmainen särmiö ja .
Esimerkki
Olkoon . Lasketaan funktion integraali yli alueen .
\begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_0^x xy\,dy\bigg)dx \\ &\quad \int_0^1\frac{xy^2}{2}\bigg|_{y=0}^x\,dx = \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{x^4}{8}\bigg|_{x=0}^1 =\frac{1}{8}. \end{align*} Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: \begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_y^1 xy\,dx\bigg)dy \\ &\quad = \int_0^1\frac{x^2y}{2}\bigg|_{x=y}^1\,dy = \int_0^1\frac{y}{2}-\frac{y^3}{2}\,dy \\ &\quad = \bigg[\frac{y^2}{4}-\frac{y^4}{8}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{8} = \frac{1}{8}. \\ \end{align*}