Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
7. Taso- ja avaruusintegraalit
7.3. Taso- ja avaruusintegraalien sovelluksia
Moninkertaisten integraalien sovelluksia
Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt:
Mekaniikassa tulevat lisäksi vastaan nämä:
Kappaleen massa ja hitausmomentti kappaleen pyöriessä -akselin ympäri: Tässä on materiaalin tiheys pisteessä .
Kaksiulotteisen tasolevyn keskiön (painopiste) laskeminen jossa pinta-ala on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin.
Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä jossa massa lasketaan tasointegraalilla.
Massakeskipiste
Kolmiulotteisen kappaleen massakeskipiste missä on kappaleen tiheys pisteessä ja on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa missä .
Esimerkki
Lasketaan epäyhtälöiden , ja määräämän yksikkökuution massakeskipiste, kun tiheys .
Huomautus. Yksikkökuutio voidaan myös määritellä käyttäen niin kutsuttua karteesista tuloa: Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla.
Vastaavasti Edelleen voidaan laskea Massakeskipisteeksi saadaan
Hitausmomentti
Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa -tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella.
Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa missä on kulmanopeus ja , sekä ovat :nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa kutsutaan hitausmomentiksi. Ajattelemalla -akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi "infinitesimaalisen pieniä" pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: missä on kappaleen hitausmomentti -akselin suhteen ( ja massa-alkio ).
Esimerkki
Lasketaan sylinterin hitausmomentti -akselin suhteen, kun tiheys on vakio .
Lasketaan Toisaalta sylinterin massa on Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa