Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa

Tutkitaan kaksiulotteista kaareutuvaa pintaa $S$, joka on (piirtämisen helpottamiseksi) $xy$-tason yläpuolella avaruudessa $\mathbb{R}^3$.

Tarkastellaan aluksi $xy$-tason neliön yläpuolelle jäävän osan pinta-alaa. Se on ilmeisesti suurempi tai yhtäsuuri kuin vastaavan neliön pinta-ala.

Tästä johtuen pinta-aladifferentiaali $dS$ on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuin $dx\,dy$. Itseasiassa $dx\,dy$ saadaan, jos $dS$ projisoidaan $xy$-tasoon. Projektio voidaan kirjoittaa kaavana $dx\,dy = \cos \gamma\,dS,$ missä $\gamma$ on pinnan $S$ normaalivektorin $\mathbf{N}$ ja $z$-akselin suuntaisen yksikkövektorin $\mathbf{k}$ välinen kulma. Toisaalta pistetulon määritelmästä saadaan $\mathbf{N} \cdot \mathbf{k} = \|\mathbf{N}\| \|\mathbf{k}\| \cos \gamma,$ ja siis $dS = \frac{1}{\cos \gamma}\,dx\,dy = \frac{\|\mathbf{N}\| \|\mathbf{k}\|}{\mathbf{N} \cdot \mathbf{k}}\,dx\,dy.$

Aikaisemmin on johdettu pinnan (ylöspäin suunnatulle) normaalivektorille esitys $\mathbf{N} = -\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{i} - \frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{j} + \mathbf{k}.$ Saadaan $\|\mathbf{N}\| = \sqrt{1+ \Big(\frac{\partial z}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial z}{\partial y}\Big)^2}$ Lisäksi $\|\mathbf{k} \| =1$ ja $\mathbf{N}\cdot \mathbf{k} = 1$, joten $dS = \sqrt{1+ \Big(\frac{\partial z}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial z}{\partial y}\Big)^2}\,dx\,dy.$ Kaltevuuden huomioiva korjaustekijä yleistää tasointegraalin pintaintegraaliksi.

Esimerkki

Tarkastellaan sylinterin $x^2+y^2=a^2$, $a>0$ leikkaamaa palasta hyperbolisesta paraboloidista $z=x^2-y^2$. Mikä on palasen pinta-ala?

Lasketaan $\frac{\partial}{\partial x} z = 2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y} z = -2y.$ Siten pinta-aladifferentiaaliksi saadaan $dS = \sqrt{1+ \Big(\frac{\partial z}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial z}{\partial y}\Big)^2}\,dx\,dy$ $= \sqrt{ 1 + 4(x^2+y^2)} \,dx\,dy$ $=\sqrt{1+ 4r^2}\, r\,dr\,d\theta,$ napakoordinaateissa ilmaistuna.

Lasketaan nyt integraali napakoordinaateissa: $\textrm{Ala}(S)= \int_0^{2\pi} \int_0^a r\sqrt{1+4r^2}\,dr\,d\theta$ $= \frac{\pi}{4} \int_0^a 8r\sqrt{1+4r^2}\,dr$ $= \frac{\pi}{4} \bigg|_{r=0}^a\frac{2}{3}(1+4r^2)^{3/2} =\frac{\pi}{6} \big[(1+4a^2)^{3/2} -1\big].$