Opiskelun tueksi: Kirjallinen materiaali

Käyttämällä derivaatan määritelmää ja trigonometristä identiteettiä \(\sin(t+h)\) saadaan

\[\begin{aligned}\sin'(t) & = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{[\sin(t)\cos(h)+\cos(t)\sin(h)]-\sin(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0}\sin(t)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(t)\frac{\sin(h)}{h} \\ & = \cos (t),\end{aligned}\]

koska (geometrinen perustelu)

\[\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \text{ ja } \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = 0.\]

Käyttämällä derivaatan määritelmää ja trigonometristä identiteettiä \(\cos(t+h)\) saadaan

\[\begin{aligned}\cos'(t) & = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(t+h)-\cos(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{[\cos(t)\cos(h)-\sin(t)\sin(h)]-\cos(t)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} \cos(t) \frac{\cos(h)-1}{h}-\sin(t) \frac{\sin(h)}{h} \\ & = -\sin(t),\end{aligned}\]

koska (geometrinen perustelu)

\[\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \text{ ja } \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = 0.\]

Koska \[\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)},\] niin osamäärän derivointisäännöllä saadaan \[\tan'(t)=\frac{\sin'(t)\cos(t)-\sin(t)\cos'(t)}{\cos^2(t)}=\frac{\cos^2(t)+\sin^2(t)}{\cos^2(t)}=\frac{1}{\cos^2(t)}.\]

\(\square\)