Opiskelun tueksi: Kirjallinen materiaali

Differentiaaliyhtälön kertaluku on korkeimman yhtälössä esiintyvän derivaatan kertaluku n.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälön \( y' + 3y = \sin(x) \) kertaluku on 1. Differentiaaliyhtälön \( y'' + 5y' -6y = e^x \) kertaluku on 2.

Tässä funktion \(y\) muuttujaa ei ole kirjoitettu näkyviin, vaan ajatellaan, että yhtälö määrää \(y\):n implisiittisesti.

Kertalukua n oleva differentiaaliyhtälö on muotoa 

\( \begin{equation} \label{dydef} F(x, y(x), y'(x),\ldots , y^{(n)}(x)) = 0 \end{equation} \)

DY:n ratkaisu on sellainen n kertaa derivoituva funktio \(y(x)\), joka toteuttaa yllä olevan yhtälön kaikilla \( x \in I, \) missä \(I\) on jokin reaaliakselin avoin väli.

Ratkaisu ei tyypillisesti ole yksikäsitteinen, vaan ratkaisuja on äärettömän paljon. Tarkastellaan yhtälöä \( xy^2 + y' = 0. \) Tämän ratkaisuja ovat esimerkiksi

• \( y_0(x) = 0,\enspace x \in \mathbb{R} \)
  
• \( y_1(x) = 2/x^2,\enspace x>0 \)
  
• \( y_2(x) = 2/x^2,\enspace x<0 \)
  
• \( y_3(x) = 2/(x^2 + 3),\enspace x \in \mathbb{R} \)
  

Tässä \( y_1\), \( y_2\) ja \( y_3 \) ovat yhtälön yksittäisratkaisuja. Yhtälön yleinen ratkaisu on \( y(x) = 2/(x^2 + C),\> C \in \mathbb{R}. \) Yleisestä ratkaisusta saadaan yksittäisratkaisuja antamalla parametrille \(C\) jokin arvo. Sellaisia ratkaisuja, joita ei saada yleisen ratkaisun lausekkeesta, kutsutaan erikoisratkaisuiksi.

Kaikilla differentiaaliyhtälöillä ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä \( \sin(y' + y) = 2 \) ei ole ratkaisuja. Jos ensimmäisen kertaluvun yhtälö voidaan kirjoittaa normaalimuodossa \( y' = f(x,y) \), missä \(f\) on jatkuva funktio, niin ratkaisu on olemassa.

Differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa esiintyvät vakiot voidaan kiinnittää vaatimalla ratkaisulta lisäominaisuuksia. Voidaan esimerkiksi vaatia että ratkaisu saa arvon \( y_0 \) muuttujan arvolla \( x_0 \) asettamalla ongelmalle alkuehto \( y(x_0) = y_0. \) Ensimmäisen kertaluvun yhtälöissä yksi lisäehto riittää yleensä tekemään ratkaisusta yksikäsitteisen. Toisen kertaluvun yhtälön tapauksessa vakioita on kaksi, jolloin alkuehto voi saada esimerkiksi muodon

\( \left\{ \begin{array} yy(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_1 \end{array} \right. \)

Yleisesti n:nnen kertaluvun yhtälölle tarvitaan n lisäehtoa, jotta ratkaisu olisi yksikäsitteinen. Yhdessä differentiaaliyhtälöä ja alkuehtoa kutsutaan alkuarvo-ongelmaksi.

Esimerkki 1.

Edellä todettiin, että differentiaaliyhtälön \( xy^2 + y' = 0 \) yleinen ratkaisu on  \( y(x) = 2/(x^2 + C).\) Tällöin alkuarvo-ongelman

\( \left\{\begin{align} xy^2 + y' = 0 \\ y(0) = 1 \end{align} \right. \)

ratkaisu on \( y(x) = 2/(x^2 + 2).\)

Alla olevassa kuvassa on joitakin yhtälön \( xy^2 + y' = 0 \) ratkaisuja. Kokeile, miten alkuarvo vaikuttaa ratkaisuun. Voit muuttaa alkuarvoja liikuttamalla pisteitä. Onko mahdollista saada ratkaisukäyrät leikkaamaan?

Differentiaaliyhtälölle \( y' = f(x,y) \) on olemassa geometrinen tulkinta: jos ratkaisukäyrä kulkee pisteen \( (x_0, y_0) \) kautta, niin tällöin pätee \( y'(x_0) = f(x_0, y_0) \), eli ratkaisukäyrän tangentin kulmakertoimia voidaan laskea, vaikkei itse ratkaisua tunnettaisi. Suuntakenttä on vektorikenttä \( \vec{i} + f(x_k, y_k)\vec{j} \) piirrettynä pisteisiin \( (x_k, y_k) \). Suuntakenttä antaa jo melko hyvän käsityksen ratkaisukäyrien muodostamasta parvesta.

Esimerkki 2.

Hahmotellaan yhtälöä \( y' = x^2 - y^2 \) vastaava suuntakenttä.