VERKKOKIRJA
Site: | MyCourses |
Course: | MS-A0103 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC1, ENG1), Luento-opetus, 4.9.2023-18.10.2023 |
Book: | VERKKOKIRJA |
Printed by: | Guest user |
Date: | Wednesday, 19 February 2025, 12:16 AM |
Description
Differentiaali- ja integraalilaskenta - verkkokirja, tekijä Pekka Alestalo
Englanninkielisen MOOC-kurssin luentomateriaali, joka perustuu tämän kurssin luentoihin. Mukana on interaktiivisia JSXGraph-kuvia, joita ei ole suomenkielisissä luentokalvoissa. Toistaiseksi vain luvut 1-5, 7 ja 9 ovat suomeksi.
1. Jonot
Sisältö
- Peruskäsitteet
- Tärkeitä jonoja
- Suppeneminen ja raja-arvo
Jonot
Tämä luku sisältää tärkeimmät jonoihin liittyvät käsitteet. Käsittelemme käytännössä vain reaalilukujonohin liittyviä asioita.
Huom. Koska on järjestetty joukko, niin myös jonon termeillä
on vastaava järjestys. Sen sijaan joukon alkioilla ei yleisessä tapauksessa
ole määrättyä järjestystä.
Määritelmä: Jonon termit ja indeksit
Jonoille voidaan käyttää myös merkintöjä
Funktion perusteella jokaiseen jonon termiin liittyy yksikäsitteinen lukua
to each term. Se merkitään alaindeksinä ja sitä kutsutaan vastaavan jonon termin
indeksiksi; jokainen jonon termi voidaan siis tunnistaa sen indeksin avulla.
Esimerkkejä
Esimerkki 1: Luonnollisten lukujen jono
Jono , joka on määritelty kaavalla
on nimeltään luonnollisten lukujen jono. Sen ensimmäiset termit ovat:
Esimerkki 2: Kolmiolukujen jono
Kolmioluvut saavat nimensä seuraavasta geometrisesta periaatteesta: Asetetaan sopiva määrä kolikoita niin, että syntyy yhä suurempia tasasivuisia kolmioita:
Ensimmäisen kolikon alle lisätään kaksi kolikkoa, jolloin toisessa vaiheessa saadaan kolikkoa. Seuraavaksi tämän kolmion alle lisätään kolme uutta kolikkoa, joita on nyt yhteensä
.
Etenemällä samaan tapaan huomataan, että esimerkiksi 10. kolmioluku saadaan laskemalla yhteen 10 ensimmäistä luonnollista lukua:
Yleinen kaava kolmiolukujonon termeille on
. Kolmioluvuille käytetään yleensä merkintää
(T = 'Triangle').
Tämä motivoi seuraavaan määritelmään:
Määritelmä: Summajono
Olkoon jono joukossa
, jossa on määritelty yhteenlasku. Merkitään
Symboli
on kreikkalainen kirjain sigma. Summausindeksi
kasvaa
alkuarvosta 1 loppuarvoon
.
Summajono saadaan siis alkuperäisestä jonosta laskemalla alkupään termejä yhteen aina yksi termi eteenpäin. Varsinkin sarjojen kohdalla käytetään nimeä osasummajono.
Kolmiolukujen yleinen kaava voidaan siis kirjoittaa muodossa
ja kyseessä on luonnollisten lukujen jonon summajono.
Esimerkki 3: Neliölukujen jono
Neliölukujen jono määritellään kaavalla
. Tämän jonon termejä voidaan havainnollistaa asettelemalla kolikoita neliön muotoon.
Yksi mielenkiintoinen havainto on se, että kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku. Esimerkiksi ja
. Yleisesti määritelmiä käyttämällä
voidaan osoittaa, että
Esimerkki 4: Kuutiolukujen jono
Määritelmä: Erotusjono (differenssijono)
Jonon termeistä voidaan myös muodostaa peräkkäisten termien erotuksia:
on nimeltään alkuperäisen jonon
ensimmäinen differenssijono.
Ensimmäisen differenssijonon ensimmäinen differenssijono on alkuperäisen jonon toinen differenssijono. sequence. Vastaavalla tavalla määritellään jonon differenssijono.
Esimerkki 6.
Eräitä tärkeitä jonoja
Eräät jonot ovat keskeisiä monille matemaattisille malleille ja niiden käytännön sovelluksille muilla aloilla kuten luonnontieteissä ja taloustieteissä.) Seuraavassa tarkastellaan kolme tällaista jonoa: aritmeettinen jono, geometrinen jono ja Fibonaccin lukujono.
Aritmeettinen jono
Aritmeettinen jono voidaan määritellä monella eri tavalla:Määritelmä A: Aritmeettinen jono
Jono on aritmeettinen, jos sen peräkkäisten termien erotus
on vakio, t.s.
Huomautus: Aritmeettisen jonon eksplisiittinen kaava seuraa suoraan määritelmästä A:
Aritmeettisen jonon
termi voidaan laskea myös palautuskaavan (eli rekursiokaavan) avulla:
Määritelmä B: Aritmeettinen jono
Jono on aritmeettinen jono, jos sen ensimmäinen differenssijono on vakiojono.
Tämä määritelmä selventää myös aritmeettisen jonon nimen: Kolmen peräkkäisen termin keskimmäinen luku on kahden muun termin aritmeettinen keskiarvo; esimerkiksi
Geometrinen jono
Myös geometrisella jonolla on useita erilaisia määritelmiä:
Määritelmä: Geometrinen jono
Jono on geometrinen, jos kahden präkkäisen termin suhde on aina vakio
, t.s.
Huomautus. Palautuskaava geometrisen jonon termeille ja myös eksplisiittinen lauseke
seuraavat suoraan määritelmästä.
Myös tässä jonon nimityksellä on looginen tausta: Kolmen peräkkäisen termin keskimmäinen luku on aina kahden muun termin geometrinen keskiarvo; esimerkiksi
Esimerkki 2.
Olkoon ja
. Jono
, jolle
, eli
on geometrinen jono. Jos
ja
, niin jono on aidosti
kasvava. Jos
ja
, niin se on aidosti vähenevä. Jonon alkioiden muodostama joukko
on äärellinen, jos
(jolloin sen ainoa alkio on
), muuten tämä joukko on ääretön.
Fibonaccin jono
Fibonaccin lukujono on kuuluisa sen biologisten sovellusten vuoksi. Se esiintyy mm.eliöiden populaation kasvun yhteydessä ja kasvien rakenteessa. Palautuskaavaan perustuva määritelmä on seuraava:
Määritelmä: Fibonaccin jono
Olkoon ja
kun
. Jono
on Fibonaccin lukujono. Jonon termit ovat Fibonaccin lukuja.
Jonon nimen takana on italialainen Leonardo Pisano (1200-luvulla), latinalaiselta nimeltään Filius Bonacci. Hän tutki kaniparien lisääntymistä idealisoidussa tilanteessa, jossa kanit eivät kuole ja kaikki vanhat sekä uudet parit
lisääntyvät säännöllisin väliajoin. Näin hän päätyi jonoon
Esimerkki 3.
Auringonkukan kukat muodostuvat kahdesta spiraalista, jotka aukeavat keskeltä vastakkaisiin suuntiin: 55 spiraalia myötäpäivään ja 34 vastapäivään.
Myös ananashedelmän pinta käyttäytyy samalla tavalla. Siinä on 21 spiraalia yhteen suuntaan ja 34 vastakkaiseen. Myös joissakin kaktuksissa ja havupuiden kävyissä on samanlaisia rakenteita.

Suppeneminen, hajaantuminen ja raja-arvo
Tässä luvussa käsitellään jonon suppenemista. Aloitamme nollajonon käsitteestä ja siirrymme sen avulla yleiseen suppenemisen käsitteeseen.
Huomautus: Itseisarvo joukossa 
Itseisarvofunktio on keskeisessä asemassa jonojen suppenemisen tutkimisessa. Seuraavassa käydään läpi sen tärkeimmät ominaisuudet:
Lause: Itseisarvon laskusääntöjä
Kohdat 1.-3. Results follow directly from the definition and by dividing it up into separate cases of the different signs of and
Kohta 4. Tämä kohta voidaan todistaa neliöön korottamalla tai tutkimalla kaikki eri vaihtoehdot kuten alla.
Tapaus 1.
Olkoot . Silloin
ja kaava pätee.
Tutkitaan lopuksi tapaus and
, joka jakaantuu kahteen alakohtaan:
Jos ja
, niin väite seuraa samalla periaatteella kuin tapauksessa 3, kun vaihdetaan keskenään
ja
.
Nollajono
Esimerkki 1.
Jono , joka on määritelty kaavalla
, eli
on nimeltään harmoninen jono. Jonon termit ovat positiivisia kaikilla
, mutta indeksin
kasvaessa jonon termit pienenevät yhä lähemmäksi
nollaa.
Jos esimerkiksi , niin valinnalla
pätee
aina, kun
.
Harmoninen jono suppenee kohti nollaa
Esimerkki 2.
Tarkastellaan jonoa Olkoon
. Tällöin valinnalla
kaikille termeille
, joissa
, pätee
.
Note. Tutkittaessa nollajono-ominaisuutta täytyy tutkia mielivaltaista lukua , jolle
. Sen jälkeen
yritetään valita sellainen indeksi
, josta alkaen jokainen
on pienempi kuin
.
Esimerkki 3.
Kerrointen vuoksi jonon kaksi peräkkäistä termiä ovat aina erimerkkisiä; tällaista jonoa kutsutaan yleisemmin vuorottelevaksi jonoksi.
Osoitetaan, että kyseessä on nollajono. Määritelmän mukaan jokaista täytyy vastata sellainen
, että epäyhtälö
pätee kaikille niille termeille
, joissa
.
Lause: Nollajonojen ominaisuuksia
Parts 1 and 2. If is a zero sequence, then according to the definition there is an index
, such that
for every
and an arbitrary
. But then we have
; this
proves parts 1 and 2 are correct.
Part 3. If , then the result is trivial. Let
and choose
such that
for all
. Rearranging we get:
Part 4.
Because is a zero sequence, by the definition we have
for all
. Analogously,
for the zero sequence
there is a
with
for all
.
Then for all it follows (using the triangle inequality) that:
Suppeneminen ja hajaantuminen
Nollajonoja voidaan käyttää tutkimaan jonojen suppenemista yleisemmin:
Esimerkki 4.
Tarkastellaan jonoa , jossa
Laskemalla jonon termejä suurilla
, huomataan, että ilmeisesti
, kun
, joten jonon raja-arvo voisi olla
.
For a rigorous proof, we show that for every there exists an index
, such that for every term
with
the following relationship holds:
Firstly we estimate the inequality:
Now, let be an arbitrary constant. We then choose the index
, such that
Finally from the above inequality we have:
Thus we have proven the claim and so by definition
is
the limit of the sequence.
Jos jono suppenee, niin sillä voi olla vain yksi raja-arvo.
Lause: Raja-arvon yksikäsitteisyys
Oletetaan, että jono 



Assume ; choose
with
Then in particular
Because converges to
, there is, according to the definition of convergence, a index
with
for
Furthermore, because
converges to
there is also a
with
for
For
we have:
Consequently we have obtained
, which is a contradiction as
.
Therefore the assumption must be wrong, so
.
Suppenevien jonojen ominaisuuksia
Lause: Laskusääntöjä
Olkoot ja
suppenevia jonoja, joille
ja
.
Silloin kaikille
pätee:
Sanallisesti: Suppenevien jonojen summat ja tulot ovat suppenevia jonoja.
Part 1. Let . We must show, that for all
it follows that:
The left hand side we estimate using:
Because and
converge, for each given
it holds true that:
Therefore
for all numbers
. Therefore the sequence
is a zero sequence and the desired inequality is shown.
Part 2. Let . We have to show, that for all
Furthermore an estimation of the left hand side follows:
We choose a number
, such that
for all
and
. Such a value of
exists by the Theorem of convergent sequences being bounded. We can then use the estimation:
For all
we have
and
, and - putting everything together - the desired inequality it shown.


2. Sarjat
Suppeneminen
Suppeneminen
Jonosta voidaan muodostaa sen osasummia asettamalla
Jos osasumminen jonolla on raja-arvo
, niin luvuista
muodostettu sarja suppenee ja sen summa on
. Tällöin merkitään
Sarjan hajaantuminen
Sarja, joka ei suppene, on hajaantuva. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla:
- sarjan osasummat kasvavat rajatta kohti ääretöntä
- sarjan osasummat pienenevät rajatta kohti miinus ääretöntä
- osasummien jono heilahtelee niin, ettei sillä ole raja-arvoa.
Hajaantuvan sarjan kohdalla merkintä ei oikeastaan tarkoita mitään (se ei ole reaaliluku). Tällöin voidaan tulkita, että merkintä tarkoittaa osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty.
Perustuloksia
Geometrinen sarja
Geometrinen sarja
suppenee, jos
(tai
), jolloin sen summa on
. Jos
, niin sarja hajaantuu.
Laskusääntöjä
Suppenevien sarjojen ominaisuuksia:
Todistus. Nämä seuraavat vastaavista tuloksista jonojen raja-arvolle.
Huomautus: Sarjoilla ei ole jonojen kaltaista tulosääntöä, koska jo kahden termin summille
Tulosäännön oikea muoto on sarjojen Cauchy-tulo, jossa myös ristitermit otetaan huomioon.
Katso esimerkiksi https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product
Huomautus: Ominaisuutta ei voi käyttää sarjan suppenemisen osoittamiseen; vrt. seuraavat esimerkit.
Tämä on eräs yleisimmistä päättelyvirheistä sarjojen kohdalla!
Esimerkki
Ratkaisu. Sarjan yleisen termin raja-arvo on
Koska raja-arvo ei ole nolla, niin sarja hajaantuu.
Tämän klassisen tuloksen todisti ensimmäisenä 14. vuosisadalla Nicole Oresme, jonka jälkeen monia muitakin perusteluja on keksitty. Tässä esimerkkinä kaksi erilaista päättelyä.
i) Alkeellinen todistus. Oletetaan, että sarja suppenee ja yritetään johtaa tästä ristiriita. Olkoon siis harmonisen sarjan summa:
. Tällöin
Selvästi
joten
Päädyimme siis epäyhtälöön
, joka on ristiriita. Alkuperäinen oletus suppenemisesta on siis väärä, joten sarja hajaantuu.
ii) Todistus integraalin avulla: Pylvään korkeuksia vastaavan histogrammin alapuolelle jää funktion
kuvaaja, joten pinta-aloja vertaamalla saadaan
kun
.
Positiiviset sarjat
Sarjan summan laskeminen on usein vaikeata ja monesti jopa mahdotonta, jos vaatimuksena on summan eksplisiittinen lauseke. Moniin sovelluksiin riittää myös summan likiarvo, mutta sitä ennen olisi syytä selvittää, onko sarja suppeneva vai hajaantuva.
Sarja on positiivinen (tai positiiviterminen), jos
kaikilla
.
Positiivisten sarjojen suppeneminen on hyvin selväpiirteistä:
Lause 2.
Positiivinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu.
Syy: Osasummien jono on nouseva.
Esimerkki
Osoita, että superharmonisen sarjan
osasummille pätee
kaikilla
, joten sarja suppenee.
Ratkaisu. Ratkaisu perustuu epäyhtälöön
kun
, koska sen mukaan
kaikilla
.
Tämän päättelyn voi tehdä myös integraalin avulla.
Leonhard Euler selvitti vuonna 1735, että sarjan summa on . Perusteluna hän käytti sinifunktion sarja- ja tulokehitelmien vertailua.
Itseinen suppeneminen
Lause 3.
Itseisesti suppeneva sarja suppenee (tavallisessa mielessä) ja
Tämä on erikoistapaus majoranttiperiaatteesta, josta lisää myöhemmin.
Oletetaan, että suppenee. Tarkastellaan erikseen sarjan
positiivista ja negatiivista osaa: Olkoon
Koska
, niin positiiviset sarjat
ja
suppenevat lauseen 2 perusteella. Lisäksi
, joten
suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena.
Esimerkki
Tutki vuorottelevan (= etumerkit vaihtelevat vuorotellen + ja -) sarjan suppenemista.
Ratkaisu. Koska
ja superharmoninen sarja
suppenee, niin tutkittava sarja suppenee itseisesti, ja sen vuoksi myös tavallisessa mielessä.
Vuorotteleva harmoninen sarja
Itseinen suppeneminen ei kuitenkaan tarkoita samaa kuin tavallinen suppeneminen:
Esimerkki
Vuorotteleva harmoninen sarja
suppenee, mutta ei itseisesti.
(Idea) Piirretään osasummajonon kuvaaja, josta huomataan, että parillisten ja parittomien indeksien osasummat
ja
ovat monotonisia ja suppenevat kohti samaa raja-arvoa.
Sarjan summa on , joka saadaan selville integroimalla geometrisen sarjan summakaavaa.
pisteet on yhdistetty janoilla havainnollisuuden vuoksi
Suppenemistestejä
Vertailutestit
Edelliset tarkastelut yleistyvät seuraavalla tavalla:
Esimerkki
Ratkaisu. Koska kaikilla
, niin ensimmäinen sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.
Toisaalta kaikilla
, joten toisella sarjalla on hajaantuva harmoninen minorantti, joten se hajaantuu.
Suhdetesti
Käytännössä eräs parhaista tavoista tutkia suppenemista on suhdetesti, jossa sarjan peräkkäisten termien käyttäytymistä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan:
Suhdetestin raja-arvomuoto
(Idea) Geometriselle sarjalle kahden peräkkäisen termin suhde on täsmälleen . Suhdetestin mukaan muidenkin sarjojen suppenemista voidaan (usein) tutkia samalla periaatteella, kun
suhdeluku
korvataan tällä raja-arvolla.
Valitaan raja-arvon määritelmässä . Silloin jostakin indeksistä
alkaen pätee
ja väite seuraa lauseesta 4.
Tapauksessa sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.
Viimeinen tapaus ei sisällä mitään informaatiota (eikä myöskään todistettavaa).
Tämä tapaus esiintyy sekä harmonisen (, hajaantuu!) että yliharmonisen (
, suppenee!) sarjan kohdalla. Näissä tapauksissa suppenemista täytyy tutkia joillakin muilla menetelmillä, kuten aikaisemmin tehtiin.
3. Jatkuvuus
Sisältö
- Funktion raja-arvo
- Raja-arvo ja jatkuvuus
- Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia
Tässä luvussa määritellään funktion raja-arvo pisteessä
. Oletamme, että lukija tuntee ennestään reaalimuuttujan funktion käsitteen ja lukujonon raja-arvon.
Funktion raja-arvo
Olkoon reaalilukujen osajoukko ja
sellainen piste, että on olemassa jono pisteitä
, joille
, kun
. Usein
on kaikkien reaalilukujen joukko, mutta toisinaan myös väli (avoin, puoliavoin tai suljettu).
Esimerkki 1.
Pisteen ei tarvitse kuulua joukkoon
. Esimerkiksi jono
joukossa
, kun
, ja
kaikilla
, mutta
ei kuulu joukkoon
.
Toispuoleiset raja-arvot
Raja-arvon tärkeä ominaisuus on sen yksikäsitteisyys. Tämä tarkoittaa sitä, että tapauksessa ja
täytyy olla
. Tästä huolimatta voi usein olla hyödyllistä tutkia funktion käyttäytymistä, kun
lähestyy tutkittavaa pistettä
vain vasemmalta tai oikealta. Näitä kutsutaan funktion
vasemman- tai oikeanpuoleisiksi raja-arvoiksi pisteessä
.
Määritelmä 2: Toispuoleiset raja-arvot
Olkoon ja
funktio, joka on määritelty (ainakin) joukossa
. Tällöin funktiolla
has a vasemmanpuoleinen raja-arvo
pisteessä
, merkitään
jos
, kun
kaikille niille jonoille
joukossa
, joille
, kun
.
Vastaavasti funktiolla on oikeanpuoleinen raja-arvo
pisteessä
, merkitään
, jos
, kun
kaikille niille jonoille
joukossa
, joille
, kun
.
Esimerkki 6.
Laskusääntöjä
Raja-arvojen laskusäännöt seuraavat suoraan vastaavista lukujonojen raja-arvon ominaisuuksista.
Raja-arvot ja jatkuvuus
Tässä kappaleessa määritellään funktion jatkuvuus. Jatkuvuuden intuitiivinen tulkinta on se, että funktion kuvaaja on yhtenäinen viiva. Tämä ei kuitenkaan ole matemaattisesti riittävän tarkka määritelmä, koska se mm. sisältää epämääräisiä (?) käsitteitä kuten "yhtenäinen" ja "viiva". Tämän perusteella voi esimerkiksi olla vaikea päättää, onko funktio jatkuva vai ei.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
Olkoon . Määritellään funktio
asettamalla
Silloin
Tämän vuoksi
ei ole jatkuva pisteessä
.
Seuraavaksi esitellään joitakin jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia. Raja-arvosääntöjen avulla (Lause 2) saadaan:
Lause 3.
Jatkuvien funktioiden summa ja tulo ovat jatkuvia. Erityisesti polynomit ovat jatkuvia funktioita. Jos ja
ovat jatkuvia ja
, niin
on jatkuva pisteessä
.
Jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on jatkuva, kunhan se on määritelty:
Lause 4.
Olkoot ja
. Oletetaan, että
on jatkuva pisteessä
ja
on jatkuva pisteessä
. Tällöin
on jatkuva pisteessä
.
Huom. Jos on jatkuva, niin
on jatkuva.
Miksi?
Huom. Jos and
ovat jatkuvia, niin
ja
ovat jatkuvia. (Tässä
.)
Miksi?



Epsilon-delta määritelmä
Seuraavaksi esitetään jatkuvuuden -määritelmä. Tärkein idea on se, että jos
on jatkuva pisteessä
, niin funktion arvojen
pitäisi lähestyä arvoa
, kun
lähestyy pistettä
.
Tämä määritelmä yleistyy muillekin kuin tällä kurssilla käsitellyille reaalifunktioille.
Esimerkki 3.




Esimerkki 4.
Olkoon . Määritellään funktio
asettamalla
Esimerkissä 2 nähtiin, että tämä funktio on epäjatkuva pisteessä
. Tämän todistamiseksi
-määritelmää käyttämällä täytyy löytää sellainen
ja
, että kaikilla
on voimassa
, mutta
.
Todistus. Olkoon ja
. Valitsemalla
on voimassa
ja
Näin ollen Lauseen 5 perusteella
ei ole jatkuva pisteessä
.




Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia
Tässä kappaleessa tutustutaan jatkuvien funktioiden tärkeimpiin ominaisuuksiin. Aloitamme jatkuvien funktioiden väliarvolauseella, joka tunnetaan myös nimellä Bolzanon lause. Tämän lauseen erään muotoilun mukaan jatkuva funktio saa kaikki arvot sen maksimin ja minimin väliltä. Intuitiivinen perustelu on se, että jatkuvan funtion kuvaaja on yhtenäinen viiva.
Väliarvolause.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2 (kummallinen?).
By the Intermediate Value Theorem we have for
or
. Similarly,
for
or
, because:







Seuraavaksi osoitetaan, että suljetulla välillä jatkuva funktio on rajoitettu. Tässä on tärkeää, että kyseessä on nimenomaan suljettu väli. Lauseen jälkeinen esimerkki osoittaa, ettei väite pidä paikkaansa avoimille väleille.
Huom. Jos on jatkuva, niin se ei välttämättä ole rajoitettu.
Esimerkki 4.
Esimerkki 5.
Olkoon ,
Funktion määrittelyjoukko on
. Funktion arvojoukon määrittämiseksi osoitetaan ensin, että funktio on vähenevä.
Koska ,
niin
ja
Näin ollen oletuksesta
seuraa
, joten funktio
on vahenevä.
Vähenevän funktion minimiarvo on välin päätepisteessä. Näin ollen funktion minimi on
Vastaavasti suurin arvo on väli alkupisteessä, joten funktion
maksimi on
Polynomina funktio on jatkuva, joten se saa kaikki arvot maksimin ja minimin välillä. Näin ollen funktion
arvojoukko on
.
Esimerkki 6.
Olkoon polynomi. Silloin
on jatkuva joukossa
ja lauseen 7 nojalla myös rajoitettu jokaisella suljetulla välillä
, kun
. Lauseen 3 perusteella funktiolla
on maksimi ja minimi
.
Huom. Lause 8 liittyy väliarvolauseeseen seuraavalla tavalla:
Jos on jatkuva, niin on olemassa pisteet
, joille funktion arvojoukko on muotoa
.
4. Derivaatta
Sisältö
- Derivaatta
- Derivaatan ominaisuudet
- Trigonometristen funktioiden derivaatat
- Ketjusääntö
- Ääriarvot
Derivaatta
Tässä luvussa käsitellään derivaattaa ja sen ominaisuuksia. Aloitetaan esimerkillä, joka johdattelee derivaatan määritelmää.
Esimerkki 0.
Alla oleva kuvaaja kertoo, kuinka kauaksi pyöräilijä on edennyt lähtöpisteestään.
a) Tarkastellaan punaista viivaa. Huomataan, että kolmen tunnin aikana pyöräilijä on edennyt km. Hänen keskinopeutensa on
km/h.
b) Tarkastellaan sitten vihreää viivaa. Huomataan, että kolmannen tunnin aikana pyöräilijä on edennyt km. Tällä aikavälillä hänen keskinopeutensa on siis
km/h.
Huomaa, että punaisen viivan kulmakerroin on ja vihreän viivan kulmakerroin on
. Lukuarvot ovat samat kuin vastaavat keskinopeudet.
c) Tarkastellaan vielä sinistä viivaa. Se on kuvaajan tangentti kohdassa h. Kuten keskinopeuksien kohdalla, voidaan päätellä, että kaksi tuntia lähdön jälkeen pyöräilijän nopeus oli
km/h
km/h.
Siirrytään sitten yleiseen määritelmään:
Määritelmä: Derivaatta
Olkoon . Funktion
derivaatta pisteessä
on
Jos
on olemassa, niin
on derivoituva pisteessä
.
Huom: Koska , niin
, joten määritelmä voidaan kirjoittaa myös muodossa
Tulkinta. Tarkastellaan käyrää . Jos piirretään suora viiva pisteiden
ja
kautta, niin tämän suoran kulmakerroin on
Kun
, tämä suora sivuaa käyrää
pisteessä
. Tämä suora on käyrän
tangentti pisteessä
ja sen kulmakerroin on
joka on funktion
derivaatta pisteessä
. Tangentin yhtälö on siis muotoa
Kokeile. Tutki tangentin muuttumista siirtämällä sivuamispistettä.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
Esimerkki 3.
Olkoon ,
. Onko
derivoituva pisteessä
?
Kuvaajalla ei ole tangenttia pisteessä
:
Näin ollen
ei ole olemassa.
Johtopäätös. Funktio ei ole derivoituva pisteessä
.
Huom. Olkoon . Jos
on olemassa kaikissa pisteissä
, niin saadaan uusi funktio
. Merkitään:
(1) | ![]() |
= ![]() |
|
(2) | ![]() |
= ![]() |
= ![]() |
(3) | ![]() |
= ![]() |
= ![]() |
(4) | ![]() |
= ![]() |
= ![]() |
... |
Tässä on funktion
toisen kertaluvun derivaatta pisteessä
,
on kolmannen kertaluvun derivaatta jne.
Yleisesti merkitään \begin{eqnarray} C^n\bigl( ]a,b[\bigr) =\{ f\colon \, ]a,b[\, \to \mathbb{R} & \mid & f \text{ on } n \text{ kertaa derivoituva välillä } ]a,b[ \nonumber \\ & & \text{ ja } f^{(n)} \text{ on jatkuva}\}. \nonumber \end{eqnarray} Tällaiset funktiot ovat n kertaa jatkuvasti derivoituvia.
Esimerkki 4.
Linearisointi ja differentiaali






Derivaatan ominaisuudet
Seuraavaksi käydään läpi derivaatan tärkeimmät ominaisuudet. Näiden avulla voidaan selvittää tärkeimpien alkeisfunktioiden derivaatat.
Jatkuvuus ja derivaatta
Derivointisäännöt
For we repeteadly apply the product rule, and obtain
The case of negative is obtained from this and the product rule applied to the identity
.
From the power rule we obtain a formula for the derivative of a polynomial. Let where
. Then
Suppose that is differentiable at
and
. We determine
From the definition we obtain:
The one-sided limits of the difference quotient have different signs at a local extremum. For example, for a local maximum it holds that \begin{eqnarray} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{\text{negative} }{\text{positive}}&\le& 0, \text{ when } h>0, \nonumber \\ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{\text{negative}}{\text{negative}}&\ge& 0, \text{ when } h<0 \nonumber \end{eqnarray} and is so small that
is a maximum on the interval
.
Trigonometristen funktioiden derivaatat
Tässä kappaleessa johdetaan funktioiden ,
ja
derivaatat.
Ketjusääntö
Ketjusäännöllä tarkoitetaan yhdistettyjen funktioiden derivoimissääntöä. Tämä termin tausta selittyy paremmin usean muuttujan funktioiden (osittais)derivaattojen yhteydessä.
Ketjusääntö.
Todistus.Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
Esimerkki 3.
Ääriarvot
Tässä kappaleessa tarkastellaan derivaatan käyttöä ääriarvotehtävissä.
Määritelmä: Paikallinen maksimi ja minimi
Funktiolla on paikallinen maksimi pisteessä
, jos on olemassa sellainen
, että
aina kun
ja
.
Vastaavasti, funktiolla on paikallinen minimi pisteessä
, jos on olemassa sellainen
, että
aina kun
ja
.
Funktion paikallinen ääriarvo tarkoittaa joko paikallista maksimia tai paikallista minimiä.
Huom. Jos on paikallinen maksimikohta ja
on olemassa, niin
Näin ollen
.
Näin saadaan:

Esimerkki 1.
Globaali maksimi ja minimi
Käytännössä paikallisia ääriarvoja voi esiintyä kolmea eri tyyppiä olevissa pisteissä:
derivaatan nollakohdat
määrittelyvälin päätepisteet
määrittelyvälin sisällä olevat kohdat, joissa funktio ei ol e derivoituva
Jos tiedetään etukäteen, että funktiolla on maksimi tai minimi, niin aluksi etsitään kaikki mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat (yllä oleva lista), lasketaan funktion arvot näissä pisteissä ja valitaan näistä arvoista suurin tai pienin.
Esimerkki 2.
Määritetään funktion ,
, suurin ja pienin arvo. Koska kyseessä on suljetulla välillä jatkuva funktio, niin sillä on maksimi ja minimi. Funktio on myös derivoituva, joten riittää tutkia välin päätepisteet ja välin sisälle jäävät derivaatan nollakohdat.
Derivaatan nollakohdat: . Koska
, täytyy laskea funktion arvot vain kolmessa pisteessä:
,
ja
. Näiden avulla päätellään funktion pienimmäksi arvoksi
ja suurimmaksi arvoksi
.
Seuraavaksi esitetään eräs tärkeimmistä derivoituvia funktioita koskevista tuloksista.
Lause 2.
(Derivoituvien funktioiden väliarvolause). Olkoon jatkuva suljetulla välillä
ja derivoituva avoimella välillä
. Silloin
jollekin
Let be continuous in the interval
and differentiable in the interval
. Let us define
Now and
is differentiable in the interval
. According to Rolle's Theorem, there exists
such that
. Hence
Tärkeitä seurauksia:
Lause 3.
Esimerkki 3.
Esimerkki 4.
Määritetään sellainen suorakulmio, jonka pinta-ala on ja jonka piiri on mahdollisimman pieni.
Olkoot ja
suorakulmion sivut. Silloin
, joten
. Suorakulmion piiri on
Etsitään funktion
pienin arvo. Funktio
on derivoituva, kun
, ja osamäärän derivoimissäännön mukaan
Nyt
, kun
mutta ehdon
perusteella vain
on mahdollinen. Muodotetaan kulkukaavio:
![]() |
![]() |
|
---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
väh. | kasv. |
Koska funktio on jatkuva, niin se saavuttaa miniminsä pisteessä
. Tällöin sen toisen sivun pituus on
.
Esimerkki 5.
Tehtävänä on muodostaa suoran ympyräsylinterin muotoinen yhden litran mitta (ilman kantta) niin, että materiaalia tarvitaan mahdollisimman vähän.
Olkoon sylinterin poikkileikkauksen säde ja
sylinterin korkeus. Sylinterin tilavuus on
dm
, joten saadaan yhtälö
. Tästä voidaan ratkaista
Tarvittavan materiaalin määrää kuvaa pinta-ala
Määritellään siis asettamalla
Tavoitteena on etsiä funktion
minimi, ja kyseessä on alueessa
derivoituva funktio. Derivaataksi saadaan
Nyt
, kun
Muodostetaan kulkukaavio:
![]() |
![]() |
|
---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
väh. | kasv. |
Koska funktio on jatkuva, niin sen pienin arvo saavutetaan kohdassa
. Silloin
Näin ollen optimaalisen mitan poikkileikkauksen läpimitta on dm
dm
cm ja korkeus
dm
cm.












5. Taylor-polynomi
Taylor-polynomi
Määritelmä: Taylor-polynomi
Olkoon funktio, joka on
kertaa derivoituva pisteessä
. Tällöin Taylor-polynomi \begin{align}
P_n(x)&=P_n(x;x_0)\\\
&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \\
& \dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\
\end{align} on (derivaattojen suhteen) paras
-asteinen polynomiapproksimaatio funktiolle
pisteen
lähellä.
Jos on
kertaa derivoituva pisteessä
, niin Taylor-polynomilla on pisteessä
samat derivaatat kuin funktiolla
, aina (derivaatan) kertalukuun
saakka.
Syy (tapaus ): Olkoon
jolloin
\begin{align}
P_n'(x)&=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\dots +nc_nx^{n-1}, \\
P_n''(x)&=2c_2+3\cdot 2 c_3x\dots +n(n-1)c_nx^{n-2} \\
P_n'''(x)&=3\cdot 2 c_3\dots +n(n-1)(n-2)c_nx^{n-3} \\
\dots && \\
P^{(k)}(x)&=k!c_k + x\text{ termejä} \\
\dots & \\
P^{(n)}(x)&=n!c_n \\
P^{(n+1)}(x)&=0.
\end{align}
Tämän avulla kertoimet voidaan ratkaista yksi kerrallaan:
\begin{align}
c_0= P_n(0)=f(0) &\Rightarrow c_0=f(0) \\
c_1=P_n'(0)=f'(0) &\Rightarrow c_1=f'(0) \\
2c_2=P_n''(0)=f''(0) &\Rightarrow c_2=\frac{1}{2}f''(0) \\
\vdots & \\
k!c_k=P_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0). \\
\vdots &\\
n!c_n=P_n^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0).
\end{align} Kertaluvusta alkaen lisäehtoja ei voi enää asettaa, koska
.
Taylorin kaava
Jos derivaatta on olemassa ja jatkuva jollakin välillä
, niin
ja virhetermille
pätee
jollakin
. Jos on olemassa sellainen vakio
(indeksistä
riippumaton), että
kaikilla
, niin
kun
.
Todistus sivuutetaan (mathemaattinen induktio tai osittaisintegrointi).
Examples of Maclaurin polynomial approximations: \begin{align} \frac{1}{1-x} &\approx 1+x+x^2+\dots +x^n =\sum_{k=0}^{n}x^k\\ e^x&\approx 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots + \frac{1}{n!}x^n =\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\\ \ln (1+x)&\approx x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\\ \sin x &\approx x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \cos x &\approx 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \end{align}
Esimerkki
Kuinka mones Taylor-polynomi approksimoi funktiota
välillä
niin hyvin, että virheen itseisarvo on alle
?
Käytetään Taylorin kaavaa funktiolle pisteen
suhteen. Tällöin
riippumatta luvusta
ja pisteestä
. Lisäksi kyseisellä välillä on
. Ehto toteutuu (ainakin silloin) kun
Tämä epäyhtälö täytyy ratkaista kokeilemalla luvun
eri arvoja; ratkaisuksi saadaan
.
Vaadittu tarkkuus saadaan siis polynomilla , joka on sinifunktion tapauksessa sama kuin
.
Kuvaajista tms. voi tarkistaa, ettei riitä vaadittuun tarkkuteen, joten teoreettinen raja on tarkka!
Taylorin polynomi ja ääriarvot
Jos , niin myös osa korkeamman kertaluvun derivaatoista voi olla nollia:
Tällöin funktion
käyttäytyminen pisteen
lähellä määräytyy (vakiotermi
ei vaikuta) Taylor-polynomin johtavasta termistä
.
Tämä johtaa seuraavaan tulokseen:
Ääriarvot
Newtonin menetelmä
The first Taylor polynomial is the same as
the linearization of
at the point
. This can be used
in some simple approximations and numerical methods.
Newtonin menetelmä
Yhtälö voidaan ratkaista likimääräisesti valitsemalla jokin alkupiste
(esimerkiksi kuvaajan perusteella) ja määrittelemällä lukujono palautuskaavalla
for
Tämä johtaa jonoon
, jonka termit approksimoivat yleensä funktion
nollakohtaa yhä paremmin indeksin
kasvaessa.
Palautuskaava perustuu geometriseen ideaan, jossa funktion nollakohtaa approksimoidaan sen tangenttisuoran nollakohdan avulla. Kyseessä on funktion linearisointi eli 1. asteen Taylor-polynomi edellisen pisteen suhteen.
Esimerkki
Määritä luvun likiarvo Newtonin menetelmän avulla.
Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle ja alkuarvoa
. Palautuskaava tulee muotoon
josta saadaan
,
,
jne.
Kokeilemalla huomataan (esim. Maple), että oikeiden desimaalien lukumäärä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella askeleella, ja tuottaa yli 100 oikeaa desimaalia, kunhan välivaiheet lasketaan riittävällä tarkkuudella.
Taylor-sarja
Taylor-sarja
Jos Taylorin kaavan virhetermi lähestyy nollaa, kun
kasvaa, niin Taylor-polynomin raja-arvona saadaan Taylor-sarja
(= Maclaurin-sarja tapauksessa
).
Funktion Taylor-sarja on muotoa
Tämä on esimerkki potenssisarjasta.
Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, kun funktiolla on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä
ja nämä sijoitetaan ym. kaavaan.
Tähän liittyy kuitenkin kaksi ongelmaa: 1. Suppeneeko Taylor-sarja kaikilla muuttujan arvoilla
?
Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktion
Maclaurin-sarja (= geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla
, vaikka alkuperäinen funktio on derivoituva pisteissä
:


2. Jos sarja suppenee jollakin arvolla , niin onko sarjan summa sama kuin
? Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktiolle
pätee
kaikilla
(alkeellinen, mutta teknisesti hieman hankala lasku). Näin ollen
sen Maclaurin-sarja on identtisesti nolla ja suppenee kohti arvoa
vain kohdassa
.
Johtopäätös: Taylor-sarjoja pitäisi aina tutkia huolellisesti analysoimalla virhetermejä. Käytännössä voidaan kuitenkin usein käyttää tunnettuja sarjakehitelmiä apuna.
Esimerkkejä
\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} x^k,\ \ |x|< 1 \\
e^x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k, \ \ x\in \mathbb{R} \\
\sin x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}, \ \ x\in \mathbb{R} \\
\cos x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k},\ \ x\in \mathbb{R} \\
(1+x)^r &= 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{r(r-1)(r-2)\dots (r-k+1)}{k!}x^k,
|x|<1
\end{align} Viimeinen on nimeltään binomisarja ja se voidaan muodostaa kaikilla . Jos
, niin indeksistä
alkaen kaikki kertoimet ovat nollia, ja alkuosassa
Potenssisarja
Määritelmä: Potenssisarja
Potenssisarja on muotoa Piste
on sarjan keskus luvut
ovat potenssisarjan kertoimet.
Sarja suppenee pisteessä , jos ym. raja-arvo on olemassa ja äärellinen.
Suppenemisen suhteen on vain kolme olennaisesti erilaista tapausta:
Abelin lause.
- Sarja suppenee vain arvolla
(jolloin siinä esiintyy pelkästään vakio
)
- Sarja suppenee kaikilla
- Sarja supppenee jollakin välillä
(ja mahdollisesti yhdessä tai molemmissa päätepisteissä), ja hajaantuu muilla muuttujan
arvoilla.
Luku on potenssisarjan suppenemissäde. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa merkitään
tai
.
Esimerkki
Millä muuttujan arvoilla potenssisarja
suppenee?
Käytetään suhdetestiä lausekkeelle . Silloin
kun
. Suhdetestin perusteella sarja suppenee, kun
, ja hajaantuu arvoilla
. Rajatapauksissa
sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.
Tulos: Sarja suppenee arvoilla , ja hajaantuu muuten.
Määritelmä: Summafunktio
Sarjan suppenemisvälillä voidaan määritellä funktio
asettamalla
\begin{equation}
\label{summafunktio}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k, \tag{1}
\end{equation} jota kutsutaan potenssisarjan summafunktioksi.
Summafunktio on jatkuva ja derivoituva avoimella välillä
. Lisäksi derivaatta
voidaan laskea derivoimalla potenssisarja termeittäin:
Huom. Vakiotermi
häviää derivoinnissa, joten summaus alkaa kohdasta
. Derivoitu sarja suppenee samalla välillä
kuin alkuperäinen potenssisarja; tämä voi tuntua hieman yllättävältä kertoimen
vuoksi.
Esimerkki
Määritä potenssisarjan summafunktio.
Tämä sarja saadaan derivoimalla termeittäin geometrinen sarja
(kun ). Näin ollen
\begin{align}
1+2x+3x^2+4x^3+\dots &= D(1+x+x^2+x^3+x^4+\dots ) \\
&= \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}.
\end{align} Kerrotaan molemmat puolet termillä
, jolloin saadaan
joka on voimassa arvoilla
.
Tapauksessa sarjan voi myös integroida termeittäin:
Usein integroinnin voi ulottaa myös sarjan suppenemisvälin päätepisteeseen saakka, mutta tämä ei pidä paikkaansa yleisesti.
Esimerkki
Lasketaan vuorottelevan harmonisen sarjan summa.
Sijoitetaan aluksi geometrisen sarjan summakaavaan. Näin saadaan
Integroidaan yhtälön molemmat puolet pisteestä
pisteeseen
, jolloin saadaan
Huom. Integroinnin ulottaminen pisteeseen
saakka pitäisi perustella tarkemmin. Integrointiin palataan myöhemmin tällä kurssilla.

6. Elementary functions
This chapter gives some background to the concept of a function. We also consider some elementary functions from a (possibly) new viewpoint. Many of these should already be familiar from high school mathematics, so in some cases we just list the main properties.
Functions
Definition: Function
A function is a rule that
determines for each element
exactly one element
.
We write
.
Definition: Domain and codomain
In the above definition of a function is the domain (of definition) of the function
and
is called the codomain
of
.
Definition: Image of a function
The image of is the subset
of
. An alternative name for image is range.
For example, ,
, has codomain
,
but its image is
.
The function in the previous example can also be defined as
,
, and then the codomain is the same as the image.
In principle, this modification can always be done, but it is not reasonable
in practice.
Inverse functions
Observe: A function becomes surjective if all redundant points of the codomain are left out. A function becomes injective if the domain is reduced so that no value of the function is obtained more than once.
Another way of defining these concepts is based on the number of solutions to an equation:
Definition
Definition: Inverse function
If is bijective, then it has an inverse
, which is uniquely determined by the condition
The inverse satisfies for all
and
for all
.
The graph of the inverse is the mirror image of the graph of with respect to the
line
: A point
lies on the graph of
the point
lies on the
graph of
. The geometric interpretation of
is precisely the
reflection with respect to
.
If and
is strictly monotone, then
the function
has an inverse.
If here is an interval and
is continuous, then also
is
is continuous in the set
.
Theorem: Derivative of the inverse
Let
be differentiable and bijective, so that it has an inverse
. As the graphs
and
are mirror images of each other, it seems geometrically obvious that also
is differentiable, and we actually have
if
.
Transcendental functions
Trigonometric functions
Unit of measurement of an angle = rad: the arclength of the arc on the unit circle, that corresponds to the angle.
The functions
are defined in terms of the unit circle so that
,
, is the point on the unit circle corresponding to the angle
, measured counterclockwise from the point
.
Proof: Pythagorean Theorem.
Addition formulas:
Basic properties (from the unit circle!)
Proof: Geometrically, or more easily with vectors and matrices.
Example
It follows that the functions
and
satisfy the
differential equation
that models harmonic oscillation. Here
is the time variable
and the constant
is the angular frequency of the oscillation.
We will see later that all the solutions of this differential equation
are of the form
with
constants. They will be uniquely determined if we know
the initial location
and the initial velocity
. All solutions
are periodic and their period is
.
Arcus functions
The trigonometric functions have inverses if their domain and codomains are chosen in a suitable way.
Here we will only prove the first result (1). By differentiating
both sides of the equation for
:
The last row follows also directly from the formula for the derivative of an inverse.
Example
Example
Derive the addition formula for tan, and show that
Solutions: Voluntary exercises. The first can be deduced by looking at
a rectangular triangle with the length of the hypotenuse equal to 1
and one leg of length .
Introduction: Radioactive decay
Let model the number of radioactive nuclei at time
.
During a short time interval
the number of decaying nuclei is (approximately) directly proportional to
the length of the interval, and also to the number of nuclei at time
:
The constant
depends on the substance and is called the decay constant.
From this we obtain
and in the limit as
we end up with the differential equation
.
Exponential function
Definition: Exponential function
The Exponential function exp:
This definition (using the series expansion) is based on the conditions
and
, which imply
that
for all
,
so the Maclaurin series is the one above.
The connections between different expressions are surprisingly tedious to prove, and we omit the details here. The main steps include the following:
From here on we write . Properties:

Differential equation 
Theorem
Let be a constant. All solutions
of the ordinary differenial equation (ODE)
are of the form
, where
is a constant. If we know
the value of
at some point
, then the constant
will be uniquely determined.
Euler's formula
Definition: Complex numbers
Imaginary unit : a strange creature satisfying
. The complex numbers
are of the form
, where
. We will return to these later.
Theorem: Euler's formula
If we substitute as a variable in the expontential fuction, and
collect real terms separately, we obtain Euler's formula




As a special case we have Euler's identity .
It connects the most important numbers
,
,
,
ja
and the
three basic operations sum, multiplication, and power.
Logarithms
Hyperbolic functions
Definition: Hyperbolic functions
Hyperbolic sine sinus hyperbolicus ,
hyperbolic cosine cosinus hyperbolicus
and hyperbolic tangent
are defined as
Properties: ; all trigonometric have their hyperbolic counterparts,
which follow from the properties
,
.
In these formulas, the sign of
will change, but the other signs remain the same.
Hyperbolic inverse functions: the so-called area functions;
area and the shortening ar refer to a certain geometrical area
related to the hyperbola :


7. Pinta-ala
Pinta-ala tasossa
Tarkastellaan umpinaisen ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän raamien alueiden pinta-alaa. Pinta-alan yleinen käsite on teoreettisesti paljon hankalampi, mistä antaa viitteen luvun lopussa oleva huomautus.
Tasojoukon pinta-ala määritellään palauttamalla se yksinkertaisempien joukkojen pinta-aloihin. Erityisesti täytyy huomata, ettei pinta-alaa voi "laskea", ellei "pinta-alan" käsitettä ole ensin määritelty (vaikka koulumatematiikassa näin usein tehdäänkin).
Lähtökohta
Monikulmio
(Yksinkertainen) monikulmio on tasojoukko, jota rajaa äärellisestä määrästä peräkkäisiä janoja koostuva suljettu käyrä. Vain peräkkäiset janat saavat leikata toisiaan yhteisessä päätepisteessä.

Määritelmä: Monikulmion pinta-ala
Monikulmion pinta-ala määritellään jakamalla se
äärelliseen määrään kolmioita (monikulmion

Lause.
Kolmioiden pinta-alojen summaf ei riipu monikulmion kolmioinnin valinnasta.
Yleinen tapaus
Tasojoukolle , jota rajaa umpinainen itseään leikkaamaton käyrä, voidaan muodostaa
sisämonikulmioita
ja ulkomonikulmioita
:
.











Yllätys: Se, että joukkoa rajoittaa umpinainen (itseään leikkaamaton)
käyrä, ei takaa, että joukon pinta-ala on määritelty: Reunakäyrä voi olla niin "mutkitteleva",
että sillä on positiivinen "pinta-ala". Ensimmäisen esimerkin konstruoi [W.F. Osgood, 1903]:
8. Integral
From sum to integral
Definite integral
Geometric interpretation: Let be such that
for all
. How can we find the area of the region bounded by the function graph
, the
x-axis and the two lines
and
?
The answer to this question is given by the definite integral
Remark. The general definition of the integral does not necessitate the condition
.
Integration of continuous functions
Definition: Partition
Let be continuous. A finite sequence
of real numbers such that
is called a partition of the interval
.
Definition: Upper and lower sum
For each partition we define the related upper sum of the function
as
and the lower sum as
If is a positive function then the upper sum represents the total area of the rectangles circumscribing
the function graph and similarly the lower sum is the total area of the inscribed rectangles.
Properties of partitions
Definition: Integrability
We say that a function is integrable if for every
there exists a corresponding partition
of
such that
Definition: Integral
Integrability implies that there exists a unique real number such that
for every
partition
. This is called the integral of
over the interval
and denoted by
Remark. This definition of the integral is sometimes referred to as the Darboux integral.
For non-negative functions this definition of the integral coincides with the idea of making the difference
between the the areas of the circumscribed and the inscribed rectangles arbitrarily small by using ever finer partitions.
Theorem.
A continuous function on a closed interval is integrable.
Here we will only provide the proof for continuous functions with bounded derivatives.
Suppose that is a continuous function and that there exists a constant
such that
for all
. Let
and define
to be an equally spaced partition of
such that
Let
and
for some suitable points
. The mean value theorem
then states that
and thus
Definition: Riemann integral
Suppose that is a continuous function and let
be a partition of
and
be a sequence of real numbers such that
for all
. The partial sums
are called the Riemann sums of
. Suppose further that the partitions are
such that
as
.
The integral of
can then be defined as the limit
This definition of the integral is called the Riemann integral.
Remark. This definition of the integral turns out to be equivalent to that of the Darboux integral i.e. a function is Riemann-integrable if and only if it is Darboux-integrable and the values of the two integrals are always equal.
Example
Find the integral of over the interval
using Riemann sums.
Let . Then
,
and
for all
. Thus the sequence
is a proper
partition of
. This partition has the pleasant property hat
is a constant. Estimating the Riemann sums we now find that
as
and hence
This is of course the area of the triangular region bounded by the line ,
the
-axis and the lines
and
.
Remark. Any interval can be partitioned into equally spaced subintervals by setting
and
.
Conventions
Piecewise-defined functions
Definition: Piecewise continuity
A function is called piecewise continuous
if it is continuous except at a finite number of points
and the one-sided limits of the function are defined and bounded on each of these
points. It follows that the restriction of
on each subinterval
is continuous if the one-sided limits are taken to
be the values of the function at the end points of the subinterval.
Definition: Piecewise integration
Let be a piecewise continuous function. Then
where
and
is thought as a
continuous function on each subinterval
. Usually
functions which are continuous yet piecewise defined are also integrated using the
same idea.
Important properties
Properties
Suppose that are piecewise continuous
functions. The integral has the following properties
Fundamental theorem of calculus
Theorem: Mean value theorem
Let be a continuous function. Then there exists
such that
This is the mean value of
on the interval
and we denote it with
.
Antiderivative
If on some open interval then
is the antiderivative
(or the primitive function) of
. The fundamental theorem of calculus
guarantees that for every continuous function
there exists an antiderivative
The antiderivative is not necessarily expressible as a combination of elementary
functions even if
were an elementary function, e.g.
.
Such primitives are called nonelementary antiderivatives.
Suppose that for all
. Then the derivative of
is identically zero and thus the difference is a constant.
(Second) Fundamental theorem of calculus
Let be a continuous function and
an antiderivative of
, then
Integrals of elementary functions
Constant Functions
Given the constant function . The integral
has to be determined now.
Solution by finding a antiderivative
From the previous chapter it is known that gives
. This means that
is an antiderivative for
. So the following applies
Remark: Of course, a function would also be an antiderivative of
, since the constant
is omitted in the derivation. For sake of simplicity
can be used, since
can be chosen as
for definite integrals.
Solution by geometry
The area under the constant function forms a rectangle with height and length
. Thus the area is
and this corresponds to the solution of the integral. Illustrate this remark by a sketch.
Linear functions
Given is the linear function . We are looking for the integral
.
Solve by finding a antiderivative
The antiderivative of a linear function is in any case a quadratic function, since . The derivative of a quadratic function results in a linear function. Here, it is important to consider the leading factor as in
Thus the result is
Solving by geometry
The integral can be seen geometrically, as subtracting the triangle with the edges
,
and
from the triangle with the edges
,
and
. Since the area of a triangle ist given by
, the area of the first triangle
and that of the second triangle is analogous
. For the integral the result is
. This is consistent with the integral calculated using the antiderivative. Illustrate this remark by a sketch.
Power functions
In constant and linear functions we have already seen that the exponent of a function decreases by one when it is derived. So it has to get bigger when integrating.
The following applies:
It follows that the antiderivative for
must have the exponent
,
By multiplying the last equation with
we get
Finally the antiderivative is
.
Examples
The formula is also valid, if the exponent of the function is a real number and not equal
.
Examples
Natural Exponential function
The natural exponential function is one of the easiest function to differentiate and integrate.
Since the derivation of
results in
, it follows
Example 1
Determine the value of the integral .
Example 2
Determine the value of the integral . Using the same considerations as above we get
Important is here, that we have to use the factor
.
Natural Logarithm
The derivative of the natural logarithmic function is for
. It even applies
to
. These results together result in for the antiderivative of
An antiderivative can be specified for the natural logarithm:
Trigonometric function
The antiderivatives of and
also result logically if you derive "backwards". We have
since
Furthermore we know
since
applies.
Example 1
Which area is covered by the sine on the interval and the
-axis?
To determination the area we simply have to evaluate the integral
That means
Again make a sketch for this example.
Example 2
How can the integral be expressed analytically?
To determine the integral we use the antiderivative of the cosine: . However, the inner derivativ has to be considered in the
given function and thus we get
Example 1
Solution. The antiderivative of is
so we have that
The antiderivative of
is
and thus
Example 2
Solution. The antiderivative might look something like , where we can find the factor
through differentiation:
hence if
we get the correct antiderivative. Thus
This integral can also be solved using integration by substitution; more on this method later.
Geometric applications
Area of a plane region
Suppose that and
are piecewise continuous functions. The area of a region bounded by the graphs
,
and the vertical lines
and
is given by the integral
Especially if is a non-negative function on the interval
and
for all
then the integral
is the area of the region bounded by the graph
, the
-axis and the vertical lines
and
.
Arc length
Surface of revolution
The area of a surface generated by rotating the graph around the
-axis on the interval
is given by
Heuristic reasoning: An area element of the surface is approximately
Solid of revolution
Suppose that the cross-sectional area of a solid is given by the function when
. Then the volume of the solid is given by the integral
If the graph
is rotated around the
-axis between the lines
and
the volume of the generated figure (the solid of revolution) is
This follows from the fact that the cross-sectional area of the figure at
is a circle with radius
i.e.
.
More generally: Let and suppose that the region bounded by
and
and the lines
and
is rotated around the
-axis. The volume of this solid of revolution is
Improper integral
Definition: Improper integral
One limitation of the improper integration is that the limit must be taken with respect to one endpoint at a time.
Example
Provided that both of the integrals on the right-hand side converge. If either of the two is divergent then so is the integral.
Definition
Let be a piecewise continuous function. Then
provided that the limit exists and is finite. We say that the improper integral of
converges over
.
Likewise for we define
provided that the limit exists and is finite.
Example
Solution. Notice that
as
. Thus the improper integral converges and
Definition
Let be a piecewise continuous function. Then
if both of the two integrals on the right-hand side converge.
However, this doesn't apply in general. For example, let . Note that even though
for all
the improper integral
does not converge.
Improper integrals of the 2nd kind are handled in a similar way using limits. As there are many different (but essentially rather similar) cases, we leave the matter to one example only.
Comparison test
Example 2
Notice that
and that the integral
converges. Thus by the comparison test the integral
also converges and its value is less than or equal to
.
Example 3
Likewise
and because
converges so does
and its value is less than or equal to
.
Note. The choice of the dominating function depends on both the original function and the interval of integration.
Example 4
Determine whether the integral
converges or diverges.
Solution. Notice that for all
and therefore
Now, because the integral
diverges then by the comparison test so does the original integral.
Integration techniques
Logarithmic integration
Given a quotient of differentiable functions, we know to apply the quotient rule. However, this is not so easy with integration. Here only for a few special cases we will state rules in this chapter.
Logarithmic integration As we already know the derivative of , i.e. the natural logarithm to the base
, equal to
. According to the chain rule the derivative of differentiable function with positive function values is
. This means that for a quotient of functions where the numerator is the derivative of the denominator yields the rule: \begin{equation} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\, \mathrm{d} x= \ln \left(|f(x)|\right) +c,\,c\in\mathbb{R}.\end{equation} Using the absolute value of the function is important, since the logarithm is defined on
.
Examples
Integration of rational functions - partial fraction decomposition
The logarithmic integration works well in special cases of broken rational functions where the counter is a multiple of the derivation of the denominator. However, other cases can sometimes be traced back to this. This method is called partial fractional decomposition, which represents rational functions as the sum of proper rational functions.
Example 1
The function cannot be integrated at first glance. However, the denominator
can be written as
and the function can finally reads as
by partial fraction decomposition. This expression can be integrated, as demonstrated now: \begin{eqnarray} \int \dfrac{1}{1-x^2} \,\mathrm dx &= & \int \dfrac{\frac{1}{2}}{1+x} + \dfrac{\frac{1}{2}}{1-x}\, \mathrm dx \\ & =& \frac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+x}\, \mathrm dx - \frac{1}{2} \int \dfrac{-1}{1-x}\, \mathrm dx\\ & = &\frac{1}{2} \ln|1+x| +c_1 - \frac{1}{2} \ln|1-x| +c_2\\ &= &\frac{1}{2} \ln \left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+c,\,c\in\mathbb{R}. \end{eqnarray} This procedure is now described in more detail for some special cases.
Case 1: with
. In this case,
has the representation
and can be transformed to
By multiplying with
it yields ot
and
are now obtained by the method of equating the coefficients.
Example 2
Determe the partial fraction decomposition of .
Start with the equation to get the parameters
and
. Multiplication by
leads to
Now we get the system of linear equations
\begin{eqnarray}A+B & = & 2 \\ 5A - 4 B &=& 3\end{eqnarray} with the solution and
. The representation with proper rational functions is
The integral of the type
is no longer mystic.
With the help of partial fraction decomposition, this integral can now be calculated in the following manner \begin{eqnarray}\int \frac{ax+b}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x &=& \int\frac{A}{(x-\lambda_1)}+\frac{B}{(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x \\ &=&A\int\frac{1}{(x-\lambda_1)}\mathrm{d} x +B\int\frac{1}{(x-\lambda_2)}\mathrm{d} x \\ & = & A\ln(|x-\lambda_1|) + B\ln(|x-\lambda_2|).\end{eqnarray}
Example 3
Determine the antiderivative for , i.e.
From the above example we already know:
Using the idea explained above immediately follow: So is the result
In this case has the representation
and the ansatz
is used.
By multiplying the equation with we get
Again equating the coefficients leads us to a system of linear equations in
and
In this case has the representation
and the representation can not be simplified.
Only the special case is now considered.
Integration by Parts
The derivative of a product of two continuously differentiable functions and
is
This leads us to the following theorem:
Theorem: Integration by Parts
Let and
be continuously differentiable functions on the interval
. Then
Likewise for the indefinite integral it holds that
It follows from the product rule that
or rearranging the terms
Integrating both sides of the equation with respect to
and ignoring the constant of integration now yields
Example
Solution. Set and
. Then
and
and the integration by parts gives
Notice that had we chosen and
the other way around this would have led to an even more complicated integral.
Integration by Substitution
Example 1
Find the value of the integral .
Solution. Making the substitution when
we have
. Solving the limits from the inverse formula i.e.
we find that
and
. Hence
Here the latter integral was solved applying integration by parts in the previous example.
Example 2
![L(f)=' + rsums[1].Value().toFixed(3) + ' L(f)=' + rsums[1].Value().toFixed(3) + '](https://mycourses.aalto.fi/filter/tex/pix.php/7cca90fbd11588571c4518f7bebf98c8.gif)


9. Differentiaaliyhtälöt
Johdanto
Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion, esimerkiksi , ja sen derivaattoja
. Tässä tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio, jolloin puhutaan tavallisista differentiaaliyhtälöistä (ordinary differential equation ODE) tai lyhyesti vain differentiaaliyhtälöistä (DY). Jos tuntematon funktio riippuu useammista muuttujista, niin kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö (partial differential equation PDE), mutta niitä ei käsitellä tällä kurssilla.
Radioaktiivinen hajoaminen on tyyppillinen ilmiö, joka johtaa differentiaaliyhtälöön. Jos on radiaktiivisten ydinten lukumäärä ajan hetkellä
, niin lyhyellä aikavälillä
ydinten lukumäärän muutos on suunnilleen
, jossa
on aineesta riippuva positiivinen vakio (hajoamisvakio). Approksimaatio paranee, kun
, joten
. Näin ollen differentiaaliyhtälö
on radioaktiivisen hajoamisen matemaattinen malli. Todellisuudessa ydinten lukumäärä
on kokonaisluku, joka pienenee hyppäyksittäin, eikä se voi olla derivoituva (tai oikeastaan derivaatta on enimmäkseen pelkkää nollaa!). Näin ollen malli kuvaa jonkin idealisoidun version
käyttäytymistä. Tämä ilmiö toistuu useissa matemaattisissa malleissa.
Kertaluku
Differentiaaliyhtälön ratkaisu
Kertalukua n oleva DY on yleisesti muotoa
DY:n ratkaisu on sellainen n kertaa derivoituva funktio , joka toteuttaa yhtälön kaikilla
, kun
on jokin reaaliakselin avoin väli.
Ratkaisut eivät yleensä ole yksikäsitteisiä, vaan niitä on äärettömän monta. Tarkastellaan esimerkiksi differentiaaliyhtälöä Tämän DY:n ratkaisuja ovat mm.
Tässä ,
ja
ovat yksittäisratkaisuja. DY:n yleinen ratkaisu on muotoa
. Yleisestä ratkaisusta saadaan yksittäisratkaisuja kiinnittämällä parametrille
jokin arvo. Ratkaisuja, joita ei saada tällä tavalla yleisestä ratkaisuta, kutsutaan DY:n erikoisratkaisuiksi.
Kaikilla differentiaaliyhtälöillä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi 1. kertaluvun DY:llä ei ole lainkaan ratkaisuja. Jos 1. kertaluvun DY voidaan kirjoittaa normaalimuodossa
, jossa
on jatkuva kahden muuttujan funktio, niin ratkaisuja on olemassa.
Alkuehdot
Yleisessä ratkaisussa esiintyvät vakiot kiinnittyvät yleensä, jos ratkaisulta vaaditaan joitakin lisäehtoja. Voimme esimerkiksi vaatia, että ratkaisu saa arvon kohdassa
asettamalla alkuehto
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden kohdalla yksi alkuehto riittää (yleensä) takaamaan ratkaisun yksikäsitteisyyden. Toisen kertaluvun DY:iden kohdalla tarvitaan kaksi ehtoa, jos halutaan saada yksikäsitteinen ratkaisu. Tällöin alkuehdot tulevat muotoon
Huom: Reunaehtojen ,
tapauksessa tilanne on hankalampi.
Yleisen kertalukua n olevan differentiaaliyhtälön tapauksessa tarvitaan n lisäehtoa, jotta ratkaisusta tulee yksikäsitteinen. Differentiaaliyhtälöä yhdessä alkuehtojen kanssa kutsutaan alkuarvotehtäväksi.
Esimerkki 1.
Aikaisemmin todettiin, että differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa
Näin ollen alkuarvotehtävän
Kokeile! Yllä on esitetty joitakin ratkaisuja differentiaaliyyhtälölle

Suuntakenttä
Differentiaaliyhtälö voidaan tulkita myös geometrisesti: jos ratkaisukäyrä (eli ratkaisun kuvaaja) kulkee tason pisteen
kautta, niin ratkaisulle pätee
, t.s. ratkaisukäyrän tangentin kulmakerroin voidaan määrittää ilman varsinaista ratkaisua
. Differentiaaliyhtälön suuntakenttä on vektoreiden
muodostama kenttä, kun niitä piirretään sopiviin hilapisteisiin
. Suuntakentästä voidaan usein päätellä ratkaisujen kuvaajien muoto ainakin kvalitatiivisesti..
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
Differentiaaliyhtälöiden teorian suurin vaikeus on siinä, ettei ole olemassa mitään yleispätevää ratkaisumenetelmää, joka toimii kaikissa tai edes yleisemmissä tapauksissa. Monille varsin yksinkertaisillekaan yhtälöille ei ole esimerkiksi mitään ratkaisukaavaa, ja tilanne vaikeutuu entisestään kertaluvun kasvaessa. Tämän vuoksi seuraavassa käsitellään muutamia sellaisia differentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ("integroimalla"). Hankalammissa tapauksissa on joskus hyötyä pelkästään siitä, että tiedetään ratkaisun olemassaolo tai yksikäsitteisyys tietyillä alkuehdoilla.
Lineaarinen 1. kertaluvun DY
Muotoa
olevaa DY:ä kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi. Vasemman puolen lauseke on lineaarikombinaatio tuntemattomasta funktiosta ja se derivativaatoista, joiden kertoimina ovat funktiot . Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on siis muotoa
Jos kaikilla
, niin yhtälö on homogeeninen. Muuten yhtälö on epähomogeeninen.
Lause 1.
Tarkastellan normaalimuotoista differentiaaliyhtälöä
Jos funktiot ja
ovat jatkuvia välillä
, joka sisältää alkuehtokohdan
, niin alkuarvotehtävällä on yksikäsitteinen ratkaisu.
Normaalimuoto on tärkeä vaatimus. Esimerkiksi DY:n ratkaisujen lukumäärä voi olla nolla tai ääretön alkuehdoista riippuen: Sijoittamalla yhtälöön
nähdään heti, että ehto
on välttämätön ratkaisun olemassaololle. Yleisemmin korkeimman derivaatan kerroinfunktion nollakohdat hankaloittavat tilannetta, koska muuten tämä kerroin voidaan jakaa pois, ja yhtälö tulee normaalimuotoon.
1. kertaluvun DY:n ratkaiseminen
Lineaarinen 1. kertaluvun DY voidaan ratkaista ns. integroivan tekijän avulla. Menetelmän ideana idea on kertoa yhtälön
molemmat puolet integroivalla tekijällä
, jolloin yhtälö tulee muotoon
Integroidaan tämän yhtälön molemmat puolet, jolloin saadaan
Tätä kaavaa ei kannata opetella ulkoa, vaan mieluummin yrittää muistaa metelmän olennaiset välivaiheet, jotta niitä pystyy soveltamaan konkreettisiin tapauksiin.
Esimerkki 1.
Ratkaistaan DY Integroiva tehijä on
, joten kerrotaan yhtälö puolittain tällä lausekkeella:
Esimerkki 2.
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
Kirjoitetaan yhtälö ensin normaalimuodossa:
Integroiva tekijä on nyt Näin saadaan
Tämä on DY:n yleinen ratkaisu. Koska
, niin alkuehto ei voi toteutua koskaan, joten alkuarvotehtävällä ei ole ratkaisua. Syy tähän on se, että alkuehto on annettu johdassa
, jossa DY:n normaalimuotoa ei ole määritelty. Mikä tahansa muu kohta
tuottaa yksikäsitteisen ratkaisun.
Esimerkki 3.
Muodosta nähdään, että kyseessä on lineaarinen DY. Integroiva tekijä on

Separoituva DY
Ensimmäisen kertaluvun DY on separoituva, jos se voidaan kirjoittaa muodossa , kun
ja
ovat jatkuvia funktioita. Tulkitsemalla
epätäsmällisesti jakolaskuksi, kertomalla symbolilla
ja jakamalla lausekkeella
saadaan
.
Integroidaan vasemmalla puolella muuttujan
suhteen ja oikealla muuttujan
suhteen saadaan
Tämä on ratkaisun implisiittinen muoto, josta voidaan usein ratkaista eksplisiittisesti . Menetelmä voidaan perustella tarkemmin käyttämällä muuttujanvaihtoa integraalissa (eli ilman
-pyörittelyä).
Esimerkki 4.
Ratkaistaan DY separointimenetelmällä. (Tämän DY:n voi poikkeuksellisesti ratkaista myös lineaarisena!)
Viimeisessä vaiheessa merkittiin yksinkertaisuuden vuoksi. Tapaus
on myös sallittu, sillä se johtaa triviaaliratkaisuun
, vrt. alla.
Esimerkki 5.
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
Koska yleistä ratkaisua ei kysytä, voidaan oikaista käyttämällä määrättyä integraalia seuraavalla tavalla:
Separoituvan DY:n eikoisratkaisut
Separointimenetelmällä saadusta yleisestä ratkaisusta puuttuu useinfunktion nollakohtiin liittyviä erikoisratkaisuja. Syy tähän on hyvin luonnollinen, sillä jakolaskussa täytyy olettaa
. Huomataan kuitenkin, että jokaista funktion
nollakohtaa
vastaa DY:n
vakioratkaisu
, koska tällöin
. Näitä ratkaisuja kutsutaan triviaaliratkaisuiksi tai erikoisratkaisuiksi (vrt. yleinen ratkaisu).
Jos seuraavan lauseen ehdot ovat voimassa, niin separoituvan DY:n kaikki ratkaisut saadaan yleisen ratkaisun ja erikoisratkaisujen avulla.
Lause 2.
Tarkastellaan alkuarvotehtävää .
- Jos
on jatkuva (kahden muuttujan funktio), niin on olemassa ainakin yksi ratkaisu jollakin pisteen
sisältävällä välillä.
- Jos lisäksi
on jatkuvasti derivoituva muuttujan
suhteen, niin alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen.
- Yksikäsitteisyys on voimassa myö silloin, kun kohdan (i) lisäksi funktio
on jatkuvasti derivoituva muuttujan
suhteen ja
.
Lauseen todistamisessa voidaan käyttää ns. Picardin-Lindelöfin iterointia, jonka keksi ranskalainen Emile Picard ja jota edelleen kehitti suomalainen mathemaatikko Ernst Lindelöf (1870-1946), ja muutkin.
Separoituvien DY:iden kohdalla edellinen lause saa seuraavan muodon.
Jokaisen pisteen kautta kulkeva ratkaisukäyrä on silloin yksikäsitteinen. Erityisesti kaksi ratkaisukäyrää ei voi leikata toisiaan, eikä yksi ratkaisukäyrä voi haarautua useampaan osaan.
∴ Muut ratkaisukäyrän eivät silloin voi leikata triviaaliratkaisujen kuvaajia eli vaakasuoria . Tällöin ehto
on automaattisesti voimassa muille ratkaisuille.
Lause 6.
Ratkaistaan lineaarinen homogeeninen DY separointimenetelmän avulla.
DY:llä on triviaaliratkaisu . Muut ratkaisut eivät saa arvoa 0, joten:
Separoituvaksi muuntuvat DY:t
Some differential equations can made separable by using a suitable substitution.
i) ODEs of the form 
Example 7.
Let us solve the differential equation The equation is not separable in this form, but we can make if separable by substituting
resulting to
We get
Separating the variables and integrating both sides, we get
Substituting and simplifying yields
Here, it is not possible to derive an expression for y so we have to make do with just the implicit solution. The solutions can be visualized graphically:
As we can see, the solutions are spirals expanding in the positive direction that are suitably cut for demonstration purposes. This is clear from the solutions' polar coordinate representation which we obtain by using the substitution
Hence, the solution is
ii) ODEs of the form 
Another type of differential equation that can be made separable are equations of the form
To rewrite the equation as separable, we use the substitution
Example 8.
Let us find the solution to the differential equation
Eulerin menetelmä
In practice, it is usually not feasible to find analytical solutions to differential equations. In these cases, the only choice for us is to resort to numerical methods. A prominent example of this kind of technique is called Euler's method. The idea behind the method is the observation made earlier with direction fields: even if we do not know the solution itself, we are still able to determine the tangents of the solution curve. In other words, we are seeking solutions for the initial value problem
In Euler's method, we begin the solving process by choosing the step length and using the iteration formula
The iteration starts from the index by substituting the given initial value to the right side of the iteration formula.
Since
is the slope of the tangent of the solution at
, on each step we move the distance expressed by the step length in the direction of the
tangent. Because of this, an error occurs, which grows as the step length is increased.
Esimerkki 9.
Use the gadget on the right to examine the solution to the initial value problem
obtained by using Euler's method and compare the result to the precise solution.
2. ja korkeamman kertaluvun DY
Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöille on usein mahdotonta löytää jollakin yksinkertaisella lausekkeella määriteltyä ratkaisua. Tässä luvussa käsitellään tiettyjä tärkeitä erikoistapauksia, joissa ratkaisun lauseke voidaan muodostaa. Nämä ovat kaikki lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Keskitymme toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin, koska niillä on paljon sovelluksia ja myös niiden ratkaiseminen on helpompaa, vaikkakin teoriassa hyvin samanlaista kuin korkeampien kertalukujen tapauksessa.
Homogeenisen DY:n ratkaiseminen
Toisen kertaluvun lineaariselle differentiaaliyhtälölle ei ole mitään yleistä helppoa ratkaisutapaa. Aloitamme tarkastelun homogeenisesta DY:stä
kun ja
ovat jatkuvia funktioita jollakin avoimella välillä. Tällöin pätee:
1) DY:llä on lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ja
, joita kutsutaan perusratkaisuiksi. Intuitiivinen määritelmä lineaariselle riippumattomuudelle on se, ettei suhde
ole vakio, ts. ratkaisut ovat tietyssä mielessä olennaisesti erilaisia.
2) DY:n yleinen ratkaisu (= kaikki ratkaisut tässä tapauksessa) voidaan esittää perusratkaisujen avulla muodossa , kun
ja
ovat vakioita.
3) Jos kiinnitetään alkuehdot , niin ratkaisu on yksikäsitteinen.
Perusratkaisujen ja
löytämiseen ei ole mitään yleispätevää menetelmää, ellei sarjakehitelmiä niiksi lasketa. Tietyille yhtälötyypeille ratkaisun yleinen muoto voidaan kuitenkin arvata ja tarkistaa sijoittamalla yhtälöön.
Yllä esitetty menetelmä yleistyy korkeampiin kertalukuihin, mutta perusratkaisuja, yleisiä kertoimia ja alkuehtoja tarvitaan aina DY:n kertaluvun osoittama määrä.
Esimerkki 1.
Differentiaaliyhtälön ratkaisuja ovat
ja
Nämä ovat lineaarisesti riippumattomia, joten DY:n yleinen ratkaisu on muotoa
Vakiokertoimiset DY:t
Yksinkertaisimpana tapauksena tarkastellaan differentiaaliyhtälöä
Yhtälön ratkaisemiseksi kokeillaan, onko sillä muotoa olevia ratkaisuja jollakin vakion
arvolla. Sijoittamalla tällainen arvaus differentiaaliyhtälöön saadaan
Viimeinen yhtälö on nimeltään DY:n karakteristinen yhtälö. Karakteristisen yhtälön avulla saadaan alkuperäisen DY:n ratkaisuja. Karakteristisen yhtälön juurten suhteen esiintyy kolme eri tapausta:
1) Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta . Silloin perusratkaisuiksi voidaan valita
ja
2) Karakteristisella yhtälöllä on (reaalinen) kaksoisjuuri . Silloin perusratkaisuiksi voidaan valita
ja
3) Karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksilukuja ja muotoa ,
. Silloin perusratkaisut ovat muotoa
ja
Toinen kohta voidaan perustella (esimerkiksi) sijoittamalla DY:ön ja kolmas kohta Eulerin kaavan avulla. Sama idea yleistyy pienin muutoksin myös korkeampiin kertalukuihin.
Koska karakterisitisen yhtälön kertoimet ovat täsmälleen samat kuin alkuperäisessä DY:ssä, niin sitä ei tarvitse joka kerta johtaa uudelleen, vaan tuloksen voi kirjoittaa suoraan DY:tä katsomalla.
Esimerkki 2.
Ratkaise reuna-arvotehtävä
Karakteristinen yhtälö on muotoa , joten sen juuret ovat
ja
Yleinen ratkaisu on siis muotoa
. Vakiot kiinnittyvät reunaehtojen avulla:
Esimerkki 3.
Tarkastellaan korkeamman kertaluvun DY:ä
Karakteristinen yhtälö on nyt , jonka juuret ovat
ja
. Perusratkaisut ovat
,
,
ja
. Niiden avulla saadaan yleinen ratkaisu
Esimerkki 4.
Olkoon vakio. DY:n
karakteristinen yhtälö on
, jonka juuret ovat
. Näin ollen
ja
kolmannessa kohdassa. Koska kyseessä on ns. harmonisen oskillaattorin DY, niin käytetään muuttujana aikaa
. Näin saadaan yleinen ratkaisu
, jossa
ovat vakioita. Ne määräytyvät yksikäsitteisellä tavalla, jos tiedetään systeemin alkukohta
ja alkunopeus
. Kaikki ratkaisut ovat jaksollisia ja niiden jaksonaika on
. Oikean reunan animaatiossa
; voit itse valita kulmataajuuden
ja alkukohdan
.
Eulerin lineaarinen DY
Toinen melko tavallinen 2. kertaluvun lineaarinen DY on Eulerin differentiaaliyhtälö
jossa ja
ovat vakioita. Tällainen DY voidaan ratkaista kokeilemalla muotoa
. Sijoittamalla tämä yhtälöön saadaan
Tämän yhtälön juurten tyypin perusteella saadaan DY:n perusratkaisut jälleen kolmesta eri vaihtoehdosta:
1) Jos juuret ovat erisuuria reaalilukuja, niin ja
.
2) Jos kyseessä on reaalinen kaksoisjuuri, niin ja
.
3) Jos juuret ovat muotoa , niin
ja
.
Esimerkki 5.
Ratkaistaan DY . Kyseessä on Eulerin differentiaaliyhtälö, joten kokeillaan yritettä
. Sijoittamalla saadaan
joten
. DY:n yleinen ratkaisu on siis
Epähomogeeniset DY:t
Epähomogeenisen toisen kertaluvun DY:n
yleinen ratkaisu on muotoa "vastaavan homogeenisen DY:n yleinen ratkaisu" jokin epähomogeenisen DY:n yksittäinen ratkaisu", t.s.
Yksittäisratkaisu löydetään yleensä kokeilemalla (mutta systemaattisiakin menetelmiä on) muotoa "
yleisillä kertoimilla" olevia lausekkeita. Sijoittamalla tällainen yrite epähomogeeniseen DY:öön, voidaan nämä kertoimet usein ratkaista. Asia selvinnee parhaiten esimerkkien avulla.
Alla oleva taulukko antaa ohjeita yritteen valintaan silloin, kun homogeeninen osa on vakiokertoiminen ja epähomogeeninen termi on jotakin perustyyppiä. Jos sisältää useita erilaisia taulukon funktioita, niin yritteeseen tulee mukaan kaikki vastaavat termit yleisillä kertoimilla. Taulukossa käytetään lyhennysmerkintänä karakteristista polynomia
.
![]() |
Yritteeseen tulee mukaan |
---|---|
![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
Huom. Muista, että toisen asteen polynomille pätee
Esimerkki 6.
Määritä DY:n yleinen ratkaisu, kun
a) Sijoitettamalla yrite saadaan
, josta ratkeaa
.
b) Tässä tapauksessa yrite ei onnistu, koska se on vastaavan homogeenisen DY:n yleisen ratkaisun osa, ja tuottaa pelkän nollan, kun se sijoitetaan epähomogeenisen DY:n vasemmalle puolelle. Oikea yrite on nyt muotoa
. Sijoittamalla saadaan

Näillä vakioiden ja
arvoilla saadaan epähomogeenisen DY:n yleinen ratkaisu, johon jää jäljelle kertoimet
ja
.
Esimerkki 7.
Edellisen esimerkin perusteella yleinen ratkaisu on . Derivoimalla saadaan
. Alkuehdoista saadaan yhtälöpari

jonka ratkaisu on ja
. Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis
.
Example 8.
Tyypillinen 2. kertaluvun DY:n sovellus on ns. RLC-piiri, jossa esiintyy sarjaan kytkettyinä vastus (resistanssi ), käämi ( induktanssi
), kondensaattori (kapasitanssi
) ja ajasta riippuva lähdejännite
. Piirissä kulkeva virta
toteuttaa DY:n
Ratkaistaan tämä DY (keinotekoisilla kertoimilla) tapauksessa
Homogeenisen DY:n karakteristinen yhtälö on , jonka ratkaisut ovat
. Näin saadaan homogeenisen DY:n perusratkaisut
ja
. Etsitään yksittäisratkaisu yritteellä
. Sijoittamalla yrite epähomogeeniseen yhtälöön ja ryhmittelemällä termejä saadaan yhtälö
Tämä yhtälö toteutuu kaikilla
(vain) silloin, kun

josta saadaan ja
. Yleinen ratkaisu on siis muotoa
Huom. Eksponenttitermit menevät nollaan hyvin nopeasti ("transienttivirta") ja jäljelle jää värähtely
