VERKKOKIRJA

Huom. Koska \(\mathbb{N}\) on järjestetty joukko, niin myös jonon termeillä \( f(n)\) on vastaava järjestys. Sen sijaan joukon alkioilla ei yleisessä tapauksessa ole määrättyä järjestystä.

 Funktion \[\begin{aligned} f:\mathbb{N} \rightarrow & M \\ n \mapsto & a_{n}\end{aligned}\] perusteella jokaiseen jonon termiin liittyy yksikäsitteinen lukua \(n\in\mathbb{N}\) to each term. Se merkitään alaindeksinä ja sitä kutsutaan vastaavan jonon termin indeksiksi; jokainen jonon termi voidaan siis tunnistaa sen indeksin avulla.

Suppeneminen

Jonosta \((a_k)\) voidaan muodostaa sen osasummia asettamalla \[s_n =a_1+a_2+\dots+a_n.\]

Jos osasumminen jonolla \((s_n)\) on raja-arvo \(s\in \mathbb{R}\), niin luvuista \((a_k)\) muodostettu sarja suppenee ja sen summa on \(s\). Tällöin merkitään \[ a_1+a_2+\dots =\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty}\underbrace{\sum_{k=1}^{n} a_k}_{=s_{n}} = s. \]

Indeksöinti

Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin alkuperäinen jono \((a_k)\); esimerkiksi jonon \((a_k)_{k=0}^{\infty}\) osasummat ovat \(s_0= a_0, s_1=a_0+a_1\) jne.

Sarjaan voidaan tehdä indeksinsiirtoja ilman että varsinainen sarja muuttuu: \[\sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1} = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-1}.\]

Konkreettinen esimerkki: \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^2}\]

Sarjan hajaantuminen

Sarja, joka ei suppene, on hajaantuva. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla:

1. sarjan osasummat kasvavat rajatta kohti ääretöntä
   
2. sarjan osasummat pienenevät rajatta kohti miinus ääretöntä
   
3. osasummien jono heilahtelee niin, ettei sillä ole raja-arvoa.

Hajaantuvan sarjan kohdalla merkintä \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ei oikeastaan tarkoita mitään (se ei ole reaaliluku). Tällöin voidaan tulkita, että merkintä tarkoittaa osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty.

Geometrinen sarja

Geometrinen sarja \[\sum_{k=0}^{\infty} aq^k\] suppenee, jos \(|q|<1\) (tai \(a=0\)), jolloin sen summa on \(\frac{a}{1-q}\). Jos \(|q|\ge 1\), niin sarja hajaantuu.

Todistus. Osasummille on voimassa \[\sum_{k=0}^{n} aq^k =\frac{a(1-q^{n+1})}{1-q},\] josta väite seuraa.
\(\square\)

Yleisemmin \[\sum_{k=i}^{\infty} aq^k = \frac{aq^i}{1-q} = \frac{\text{sarjan 1. termi}}{1-q},\text{ jos } |q|<1.\]

Esimerkki 1.

Määritä sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{4^{k+1}}\] summa.

Ratkaisu. Koska \[\frac{3}{4^{k+1}} = \frac{3}{4}\cdot \left( \frac{1}{4}\right)^k,\] niin kyseessä on geometrinen sarja. Sen summa on \[\frac{3}{4}\cdot \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1}{4}.\]

Laskusääntöjä

• \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k}\)
• \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (c\, a_k) = c\sum_{k=1}^{\infty} a_k}\), kun \(c\in \mathbb{R}\) on vakio
  

Todistus. Nämä seuraavat vastaavista tuloksista jonojen raja-arvolle.
\(\square\)

Huomautus: Sarjoilla ei ole jonojen kaltaista tulosääntöä, koska jo kahden termin summille \[(a_1+a_2)(b_1+b_2) \neq a_1b_1 +a_2b_2.\] Tulosäännön oikea muoto on sarjojen Cauchy-tulo, jossa myös ristitermit otetaan huomioon.

Katso esimerkiksi https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

Todistus.

Huomautus: Ominaisuutta \(\lim_{k\to \infty} a_k = 0\) ei voi käyttää sarjan suppenemisen osoittamiseen; vrt. seuraavat esimerkit. Tämä on eräs yleisimmistä päättelyvirheistä sarjojen kohdalla!

Esimerkki

Tutki sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\dots\] suppenemista.

Ratkaisu. Sarjan yleisen termin raja-arvo on \[\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1} = 1.\] Koska raja-arvo ei ole nolla, niin sarja hajaantuu.

Harmoninen sarja

Harmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots\] hajaantuu, vaikka yleisen termin \(a_k=1/k\) raja-arvo on nolla.

Todistus.

Positiiviset sarjat

Sarjan summan laskeminen on usein vaikeata ja monesti jopa mahdotonta, jos vaatimuksena on summan eksplisiittinen lauseke. Moniin sovelluksiin riittää myös summan likiarvo, mutta sitä ennen olisi syytä selvittää, onko sarja suppeneva vai hajaantuva.

Sarja \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} p_k}\) on positiivinen (tai positiiviterminen), jos \(p_k > 0\) kaikilla \(k\).

Positiivisten sarjojen suppeneminen on hyvin selväpiirteistä:

Esimerkki

Osoita, että superharmonisen sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\] osasummille pätee \(s_n<2\) kaikilla \(n\), joten sarja suppenee.

Ratkaisu. Ratkaisu perustuu epäyhtälöön \[\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\] kun \(k\ge 2\), koska sen mukaan \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} < 1+ \sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)} =2-\frac{1}{n}< 2\] kaikilla \(n\ge 2\).

Tämän päättelyn voi tehdä myös integraalin avulla.

Leonhard Euler selvitti vuonna 1735, että sarjan summa on \(\pi^2/6\). Perusteluna hän käytti sinifunktion sarja- ja tulokehitelmien vertailua.

Todistus.

Esimerkki

Tutki vuorottelevan (= etumerkit vaihtelevat vuorotellen + ja -) sarjan \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\dots\] suppenemista.

Ratkaisu. Koska \[\displaystyle{\left| \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\right| =\frac{1}{k^2}}\] ja superharmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\] suppenee, niin tutkittava sarja suppenee itseisesti, ja sen vuoksi myös tavallisessa mielessä.

Vuorotteleva harmoninen sarja

Itseinen suppeneminen ei kuitenkaan tarkoita samaa kuin tavallinen suppeneminen:

Esimerkki

Vuorotteleva harmoninen sarja \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots\] suppenee, mutta ei itseisesti.

(Idea) Piirretään osasummajonon \((s_n)\) kuvaaja, josta huomataan, että parillisten ja parittomien indeksien osasummat \(s_{2n}\) ja \(s_{2n+1}\) ovat monotonisia ja suppenevat kohti samaa raja-arvoa.

Sarjan summa on \(\ln 2\), joka saadaan selville integroimalla geometrisen sarjan summakaavaa.

Vertailutestit

Edelliset tarkastelut yleistyvät seuraavalla tavalla:

Todistus.

Esimerkki

Tutki sarjojen \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+k^3} \ \text{ ja }\ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} \] suppenemista.

Ratkaisu. Koska\[0<\frac{1}{1+k^3} < \frac{1}{k^3}\le \frac{1}{k^2}\] kaikilla \(k\in \mathbb{N}\), niin ensimmäinen sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

Toisaalta \[\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{k}}\ge \frac{1}{k}}\] kaikilla \(k\in\mathbb{N}\), joten toisella sarjalla on hajaantuva harmoninen minorantti, joten se hajaantuu.

Suhdetesti

Käytännössä eräs parhaista tavoista tutkia suppenemista on suhdetesti, jossa sarjan peräkkäisten termien käyttäytymistä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan:

Todistus.

Suhdetestin raja-arvomuoto

(Idea) Geometriselle sarjalle kahden peräkkäisen termin suhde on täsmälleen \(q\). Suhdetestin mukaan muidenkin sarjojen suppenemista voidaan (usein) tutkia samalla periaatteella, kun suhdeluku \(q\) korvataan tällä raja-arvolla.

Todistus.

Olkoon \(S\) reaalilukujen osajoukko ja \(x_0\) sellainen piste, että on olemassa jono pisteitä \((x_k)\in S\setminus \{x_0\}\), joille \(x_k\to x_0\), kun \(k\to \infty\). Usein \(S\) on kaikkien reaalilukujen joukko, mutta toisinaan myös väli (avoin, puoliavoin tai suljettu).

Esimerkki 1.

Pisteen \(x_0\) ei tarvitse kuulua joukkoon \(S\). Esimerkiksi jono \(x_k = 1/k\to 0\) joukossa \(S=\, ]0,2[\), kun \(k\to \infty\), ja \(x_k\in S\) kaikilla \(k=1,2,\ldots\), mutta \(0\) ei kuulu joukkoon \(S\).

Funktion \(f\colon S\to \mathbb{R}\) raja-arvo pisteessä \(x_0\) määritellään seuraavalla tavalla.

Functiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\), on raja-arvo \(0\) pisteessä \(x_0=0\).

Funktiolla \(g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \[g(x)= \left\{\begin{array}{rl}0, & \text{ kun }x<0, \\ 1, & \text{ kun }x\ge 0,\end{array}\right.\] ei ole raja-arvoa pisteessä \(x_0=0\). Tämän todistamiseksi määritellään jonot \((x_k)\), \((y_k)\) asettamalla \(x_k=1/k\) ja \(y_k=-1/k\), kun \(k=1,2,\ldots\). Silloin molemmat jonot sisältyvät joukkoon \(S=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\) ja niillä on raja-arvona tutkittava piste \(x_0=0\). Kuitenkin \(f(x_k)=1\) ja \(f(y_k)=0\) kaikilla \(k\), joten funktion arvoista muodostetuilla jonoilla on eri raja-arvot.

Esimerkki 0.

Alla oleva kuvaaja kertoo, kuinka kauaksi pyöräilijä on edennyt lähtöpisteestään.

a) Tarkastellaan punaista viivaa. Huomataan, että kolmen tunnin aikana pyöräilijä on edennyt \(20\) km. Hänen keskinopeutensa on \(6{,}7\) km/h.
b) Tarkastellaan sitten vihreää viivaa. Huomataan, että kolmannen tunnin aikana pyöräilijä on edennyt \(10\) km. Tällä aikavälillä hänen keskinopeutensa on siis \(10\) km/h.
 Huomaa, että punaisen viivan kulmakerroin on \(20/3 \approx 6{,}7\) ja vihreän viivan kulmakerroin on \(10\). Lukuarvot ovat samat kuin vastaavat keskinopeudet.
c) Tarkastellaan vielä sinistä viivaa. Se on kuvaajan tangentti kohdassa \(x=2\) h. Kuten keskinopeuksien kohdalla, voidaan päätellä, että kaksi tuntia lähdön jälkeen pyöräilijän nopeus oli \(30/2\) km/h \(= 15\) km/h.

Siirrytään sitten yleiseen määritelmään:

Huom: Koska \(x = x_0+h\), niin \(h=x-x_0\), joten määritelmä voidaan kirjoittaa myös muodossa \[f'(x_0):=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]

Derivaatalle käytetään erilaisia merkintöjä: \[ f'(x_0)=Df(x_0) =\left. \frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}, \ \ f'=Df =\frac{df}{dx}. \]

Tulkinta. Tarkastellaan käyrää \(y = f(x)\). Jos piirretään suora viiva pisteiden \((x_0,f(x_0))\) ja \((x_0+h, f(x_0+h))\) kautta, niin tämän suoran kulmakerroin on \[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\] Kun \(h \to 0\), tämä suora sivuaa käyrää \(y = f(x)\) pisteessä \((x_0, f(x_0))\). Tämä suora on käyrän \(y=f(x)\) tangentti pisteessä \((x_0,f(x_0))\) ja sen kulmakerroin on \[\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\] joka on funktion \(f\) derivaatta pisteessä \( x_0\). Tangentin yhtälö on siis muotoa \[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]

Kokeile. Tutki tangentin muuttumista siirtämällä sivuamispistettä.

Olkoon \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) määritelty kaavalla \(f(x) = x^3 + 1\). Funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(x_0 = 1\) on \[\begin{aligned}f'(1) &=\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 + 1 - 1^3 - 1}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{h(3+3h+h^2)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} 3+3h+h^2 \\ &= 3. \end{aligned}\]

Olkoon \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=ax+b\). Lasketaan funktion \(f\) derivaatta.

Määritelmän mukaan saadaan: \[\begin{aligned}f'(x) &=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0} \frac{[a(x+h)+b]-[ax+b]}{h} \\ &=\lim_{h\to 0} a \\ &=a.\end{aligned}\]

Tässä \(a\) on tangentin kulmakerroin kaikissa pisteissä. Huomaa, ettei se riipu muuttujasta \(x\), koska \(y=ax+b\) on suoran yhtälö.

Huom. Kun \(a=0\), niin \(f(x) = b\) ja \(f'(x) = 0\). Vakiofunktion derivaatta on siis nolla.

Olkoon \(g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x)=|x|\). Onko \(g\) derivoituva pisteessä \(0\)?

Nyt \[g'(x_0)= \begin{cases}+1, & \text{kun $x_{0}>0$} \\ -1, & \text{kun $x_{0}<0$}\end{cases}\]

Kuvaajalla \(y=g(x)\) ei ole tangenttia pisteessä \(x_0=0\): \[\frac{g(0+h)-g(0)}{h}= \frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}+1, & \text{kun $h>0$}, \\ -1, & \text{kun $h<0$}.\end{cases}\] Näin ollen \(g'(0)\) ei ole olemassa.

Johtopäätös. Funktio \(g\) ei ole derivoituva pisteessä \(0\).

Huom. Olkoon \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\). Jos \(f'(x)\) on olemassa kaikissa pisteissä \(x\in (a,b)\), niin saadaan uusi funktio \(f'\colon (a,b)\to \mathbb{R}\). Merkitään:

Tässä \(f''(x)\) on funktion \(f\) toisen kertaluvun derivaatta pisteessä \(x\), \(f^{(3)}\) on kolmannen kertaluvun derivaatta jne.

Yleisesti merkitään \begin{eqnarray} C^n\bigl( ]a,b[\bigr) =\{ f\colon \, ]a,b[\, \to \mathbb{R} & \mid & f \text{ on } n \text{ kertaa derivoituva välillä } ]a,b[ \nonumber \\ & & \text{ ja } f^{(n)} \text{ on jatkuva}\}. \nonumber \end{eqnarray} Tällaiset funktiot ovat n kertaa jatkuvasti derivoituvia.

Pyöräilijän paikkaa kuvaa funktio \(s(t)\). Pöyräilijän nopeus hetkellä \(t\) on \(s'(t)\) ja kiihtyvyys on \(s''(t)\).

Jos \(f\) on derivoituva pisteessä \(x_0\), niin \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_0\): \[ \lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0).\] Miksi? Jos \(f\) on derivoituva, niin \[f(x_0)+h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \rightarrow f(x_0)+0\cdot f'(x_0)=f(x_0),\] kun \(h \to 0\).

Note. Jos funktio on jatkuva pisteessä \(x_0\), ei se välttämättä ole derivoituva tässä pisteessä. Esimerkiksi \(g(x) = |x|\) on jatkuva, muttei derivoituva pisteessä \(0\).

Seuraavien laskusääntöjen avulla monimutkaisempien funktioiden derivaattojen laskeminen palautuu helpompiin tapauksiin.

Oletetaan, että \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia pisteessä \(x\).

Todistus.

Todistus.

Todistus.

Todistus.

Todistus.

Todistus.

Esimerkki 1.

\[\frac{d}{dx}(x^{2006}+5x^3+42)=\frac{d}{dx}x^{2006}+5\frac{d}{dx}x^3+42\frac{d}{dx}1=2006x^{2005}+5\cdot 3x^2.\]

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] &= \frac{d}{dx}(x^4-2) \cdot (2x+1) + (x^4-2) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \\ &= 4x^3(2x+1) + 2(x^4-2) \\ &= 8x^4+4x^3+2x^4-4 \\ &= 10x^4+4x^3-4.\end{aligned}\]

Toinen tapa: \[\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] = \frac{d}{dx} (2x^5 +x^4 -4x -2) = 10x^4 +4x^3 -4.\]

 Alueessa \(x \neq 0\) on \[\frac{d}{dx} \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} = -3 \cdot \frac{\frac{d}{dx} x^3}{(x^3)^2} = -3 \cdot \frac{3x^2}{x^6}= - \frac{9}{x^4}.\]

Toinen tapa: Koska\(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\), niin \[\frac{d}{dx} \ \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} x^{-3} = 3 \cdot (-3x^{-4})= - \frac{9}{x^4}\]

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \frac{x^3}{1+x^2} & = \frac{(\frac{d}{dx}x^3)(1+x^2)-x^3\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2(1+x^2)-x^3(2x)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}.\end{aligned}\]

Todistus.

Esimerkki 1.

\[\frac{d}{dx} (3 \sin(x)) = 3 \sin'(x) = 3 \cos(x).\]

Esimerkki 2.

\[\frac{d}{dx} \cos^2 (x) = \cos'(x) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \cos'(x) = -2\sin(x)\cos(x).\]

Esimerkki 3.

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \frac{\sin(x) + 1}{\cos(x)} &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{1}{\cos(x)} \right) \\ &= \tan'(x) - \frac{\cos'(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1+\sin(x)}{\cos^2 (x)}.\end{aligned}\]

Ketjusääntö.

Lasketaan funktion \((2x-1)^3\) derivaatta. Merkitään \(f(x) = x^3\) ja \(g(x) = 2x-1\), jolloin kyseessä on yhdistetty funktio \(f(g(x))\). Koska \[f'(x) = 3x^2 \text{ ja } g'(x) = 2,\] niin \[\frac{d}{dx} (2x-1)^3 = 3(2x-1)^2 \cdot 2 = 6(4x^2-4x+1) = 24x^2-24x+6.\]

Lasketaan funktion \(\sin 3x\) derivaatta. Merkitään \(f(x) = \sin x\) ja \(g(x) = 3x\), jolloin kyseessä on yhdistetty funktio \(f(g(x))\). Näin ollen \[\frac{d}{dx} \sin 3x = \cos 3x \cdot 3 = 3 \cos 3x.\]

Huom. Olkoon \(h\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) ja \(f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\). Tällöin \[\frac{d}{dx}f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))\frac{d}{dx}g(h(x))=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x).\] Vastaavalla tavalla saadaan monimutkaisempia kaavoja, mutta tärkeämpää on muistaa yleinen periaate.

Lasketaan funktion \(\cos^3 2x\) derivaatta. Merkitään \(f(x) = x^3\), \(g(x) = \cos x\) ja \(h(x) = 2x\), jolloin kyseessä on yhdistetty funktio \(f(g(h(x)))\). Näin ollen \[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \cos^3 2x &= 3(\cos 2x)^2 \cdot \frac{d}{dx} \cos 2x \\ &= 3 \cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \\ &= -6 \sin 2x \cos^2 2x.\end{aligned}\]

Huom. Jos \(x_0\) on paikallinen maksimikohta ja \(f'(x_0)\) on olemassa, niin \[\begin{cases}f'(x_0) & =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \leq 0 \\ f'(x_0) & =\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \geq 0.\end{cases}\] Näin ollen \(f'(x_0)=0\).

Näin saadaan:

Määritellään \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kaavalla \[f(x) = x^3 -3x + 1.\] Silloin \[f'(x) = 3x^2-3\] ja pisteissä \(x_0 = -1\) ja \(x_0 = 1\) funktiolla \(f\) on paikallinen maksimi ja minimi, \[f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 3 = 0 \text{ ja } f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0.\]

Käytännössä paikallisia ääriarvoja voi esiintyä kolmea eri tyyppiä olevissa pisteissä:

1. derivaatan nollakohdat
   

2. määrittelyvälin päätepisteet
   

3. määrittelyvälin sisällä olevat kohdat, joissa funktio ei ol e derivoituva
   

Jos tiedetään etukäteen, että funktiolla on maksimi tai minimi, niin aluksi etsitään kaikki mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat (yllä oleva lista), lasketaan funktion arvot näissä pisteissä ja valitaan näistä arvoista suurin tai pienin.

Määritetään funktion \(f\colon [0,2]\to \mathbf{R}\), \(f(x)=x^3-6x\), suurin ja pienin arvo. Koska kyseessä on suljetulla välillä jatkuva funktio, niin sillä on maksimi ja minimi. Funktio on myös derivoituva, joten riittää tutkia välin päätepisteet ja välin sisälle jäävät derivaatan nollakohdat.

Derivaatan nollakohdat: \(f'(x)=3x^2-6=0 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}\). Koska \(-\sqrt{2}\not\in [0,2]\), täytyy laskea funktion arvot vain kolmessa pisteessä: \(f(0)=0\), \(f(\sqrt{2})=-4\sqrt{2}\) ja \(f(2)=-4\). Näiden avulla päätellään funktion pienimmäksi arvoksi \(-4\sqrt{2}\) ja suurimmaksi arvoksi \(0\).

Seuraavaksi esitetään eräs tärkeimmistä derivoituvia funktioita koskevista tuloksista.

Todistus.

Tärkeitä seurauksia:

Todistus.

Polynomin \(f(x) = \frac{1}{4} x^4-2x^2-7\) derivaatalle pätee  \[f'(x) = x^3-4x = x(x^2-4) = 0,\] kun \(x=0\), \(x=2\) or \(x=-2\). Muodostetaan kulkukaavio:

Määritetään sellainen suorakulmio, jonka pinta-ala on \(9\) ja jonka piiri on mahdollisimman pieni.

Olkoot \(x\ (>0)\) ja \(y\ (>0)\) suorakulmion sivut. Silloin \(x \cdot y = 9\), joten \(y=\frac{9}{x}\). Suorakulmion piiri on \[2x+2y = 2x+2 \frac{9}{x} = \frac{2x^2+18}{x}.\] Etsitään funktion \(f(x) = \frac{2x^2+18}{x}\) pienin arvo. Funktio \(f\) on derivoituva, kun \(x>0\), ja osamäärän derivoimissäännön mukaan \[f'(x) = \frac{4x \cdot x-(2x^2+18) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2-18}{x^2}.\] Nyt \(f'(x) = 0\), kun \[\begin{aligned}2x^2-18 &= 0 \\ 2x^2 &= 18 \\ x^2 &= 9 \\ x &= \pm 3\end{aligned}\] mutta ehdon \(x>0\) perusteella vain \(x=3\) on mahdollinen. Muodotetaan kulkukaavio:

Koska funktio \(f\) on jatkuva, niin se saavuttaa miniminsä pisteessä \(x=3\). Tällöin sen toisen sivun pituus on \(y=\frac{9}{x}=\frac{9}{3}=3\).

Vastaus on siis neliö, jonka sivun pituus on \(3\).

Tehtävänä on muodostaa suoran ympyräsylinterin muotoinen yhden litran mitta (ilman kantta) niin, että materiaalia tarvitaan mahdollisimman vähän.

Olkoon \(r > 0\) sylinterin poikkileikkauksen säde ja \(h > 0\) sylinterin korkeus. Sylinterin tilavuus on \(1\) dm\(^3\), joten saadaan yhtälö \(\pi r^2 h = 1\). Tästä voidaan ratkaista \[h = \frac{1}{\pi r^2}.\]

Tarvittavan materiaalin määrää kuvaa pinta-ala \[A_{\text{bottom}} + A_{\text{side}} = \pi r^2 + 2 \pi r h = \pi r^2 + \frac{2 \pi r}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2}{r}.\]

Määritellään siis \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) asettamalla \[f(r) = \pi r^2 + \frac{2}{r}.\] Tavoitteena on etsiä funktion \(f\) minimi, ja kyseessä on alueessa \(r>0\) derivoituva funktio. Derivaataksi saadaan \[f'(r) = 2\pi r -2 \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{2\pi r^3 - 2}{r^2}.\] Nyt \(f'(r) = 0\), kun \[\begin{aligned}2\pi r^3 - 2 &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ r^3 &= \frac{1}{\pi} \\ r &= \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}.\end{aligned}\]

Muodostetaan kulkukaavio:

Koska funktio \(f\) on jatkuva, niin sen pienin arvo saavutetaan kohdassa \(r= \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 0.683\). Silloin \[h = \frac{1}{\pi r^2} = \frac{1}{\pi \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\right)^2} = \frac{1}{\frac{\pi}{\pi^{2/3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 0.683.\]

Näin ollen optimaalisen mitan poikkileikkauksen läpimitta on \(2 \cdot 0.683\) dm \( = 1.366\) dm \( \approx 13.7\) cm ja korkeus \(0.683\) dm \( \approx 6.8\) cm.

Esimerkki

Verrataan funktion \(\sin x\) kuvaajaa (punainen) polynomien \[ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \] kuvaajiin (sininen) arvoilla \(n=1,2,3,\dots,12\).

Jos \(f\) on \(n\) kertaa derivoituva pisteessä \(x_0\), niin Taylor-polynomilla on pisteessä \(x_0\) samat derivaatat kuin funktiolla \(f\), aina (derivaatan) kertalukuun \(n\) saakka.

Syy (tapaus \(x_0=0\)): Olkoon \[ P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\dots +c_nx^n, \] jolloin \begin{align} P_n'(x)&=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\dots +nc_nx^{n-1}, \\ P_n''(x)&=2c_2+3\cdot 2 c_3x\dots +n(n-1)c_nx^{n-2} \\ P_n'''(x)&=3\cdot 2 c_3\dots +n(n-1)(n-2)c_nx^{n-3} \\ \dots && \\ P^{(k)}(x)&=k!c_k + x\text{ termejä} \\ \dots & \\ P^{(n)}(x)&=n!c_n \\ P^{(n+1)}(x)&=0. \end{align}

Tämän avulla kertoimet voidaan ratkaista yksi kerrallaan: \begin{align} c_0= P_n(0)=f(0) &\Rightarrow c_0=f(0) \\ c_1=P_n'(0)=f'(0) &\Rightarrow c_1=f'(0) \\ 2c_2=P_n''(0)=f''(0) &\Rightarrow c_2=\frac{1}{2}f''(0) \\ \vdots & \\ k!c_k=P_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0). \\ \vdots &\\ n!c_n=P_n^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0). \end{align} Kertaluvusta \(k=n+1\) alkaen lisäehtoja ei voi enää asettaa, koska \(P^{(n+1)}(x)=0\).

Esimerkki

Kuinka mones Taylor-polynomi \(P_n(x)\) approksimoi funktiota \(\sin x\) välillä \([-\pi,\pi]\) niin hyvin, että virheen itseisarvo on alle  \(10^{-6}\)?

Käytetään Taylorin kaavaa funktiolle \(f(x)=\sin x\) pisteen \(x_0=0\) suhteen. Tällöin \(|f^{(n+1)}(c)|\le 1\) riippumatta luvusta \(n\) ja pisteestä \(c\). Lisäksi kyseisellä välillä on \(|x-x_0|=|x|\le \pi\). Ehto toteutuu (ainakin silloin) kun \[ |E_n(x)|\le \frac{1}{(n+1)!}\pi^{n+1} < 10^{-6}. \] Tämä epäyhtälö täytyy ratkaista kokeilemalla luvun \(n\) eri arvoja; ratkaisuksi saadaan \(n\ge 16\).

Vaadittu tarkkuus saadaan siis polynomilla \(P_{16}(x)\), joka on sinifunktion tapauksessa sama kuin \(P_{15}(x)\).

Kuvaajista tms. voi tarkistaa, ettei \(P_{13}(x)\) riitä vaadittuun tarkkuteen, joten teoreettinen raja on tarkka!

Taylorin polynomi ja ääriarvot

Jos \(f'(x_0)=0\), niin myös osa korkeamman kertaluvun derivaatoista voi olla nollia: \[ f'(x_0)=f''(x_0)= \dots = f^{(n-1)}(x_0) =0,\ f^{(n)}(x_0) \neq 0. \] Tällöin funktion \(f\) käyttäytyminen pisteen \(x=x_0\) lähellä määräytyy (vakiotermi \(f(x_0)\) ei vaikuta) Taylor-polynomin johtavasta termistä \[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}. \].

Tämä johtaa seuraavaan tulokseen:

Newtonin menetelmä

The first Taylor polynomial \(P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) is the same as the linearization of \(f\) at the point \(x_0\). This can be used in some simple approximations and numerical methods.

Palautuskaava perustuu geometriseen ideaan, jossa funktion nollakohtaa approksimoidaan sen tangenttisuoran nollakohdan avulla. Kyseessä on funktion linearisointi eli 1. asteen Taylor-polynomi edellisen pisteen \(x_n\) suhteen.

Esimerkki

Määritä luvun \(\sqrt{2}\) likiarvo Newtonin menetelmän avulla.

Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle \(f(x)=x^2-2\) ja alkuarvoa \(x_0=2\). Palautuskaava tulee muotoon \[ x_{n+1}= x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right), \] josta saadaan \(x_1=1{,}5\), \(x_2\approx 1{,}41667\), \(x_3\approx 1{,}4142157\) jne.

Kokeilemalla huomataan (esim. Maple), että oikeiden desimaalien lukumäärä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella askeleella, ja \(x_7\) tuottaa yli 100 oikeaa desimaalia, kunhan välivaiheet lasketaan riittävällä tarkkuudella.

Taylor-sarja

Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, kun funktiolla \(f\) on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä \(x_0\) ja nämä sijoitetaan ym. kaavaan. Tähän liittyy kuitenkin kaksi ongelmaa: 1. Suppeneeko Taylor-sarja kaikilla muuttujan arvoilla \(x\)?

Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktion \[ f(x)=\frac{1}{1-x} \] Maclaurin-sarja (= geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla \(-1 < x < 1\), vaikka alkuperäinen funktio on derivoituva  pisteissä \(x\neq 1\): \[ f(x)=\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+\dots \]

For example, \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\), has codomain \(\mathbb{R}\), but its image is \(f[\mathbb{R} ] =[0,\infty[\).

The function in the previous example can also be defined as \(f\colon \mathbb{R}\to [0,\infty[\), \(f(x)=x^2\), and then the codomain is the same as the image. In principle, this modification can always be done, but it is not reasonable in practice.

Example: Try to do the same for \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^6+x^2+x\), \(x\in\mathbb{R}\).

• If the domain \(A\subset \mathbb{R}\) then \(f\) is a function of one (real) variable: the main object of study in this course.

• If \(A\subset \mathbb{R}^n\), \(n\ge 2\), then \(f\) is a function of several variables (a multivariable function)

Observe: A function becomes surjective if all redundant points of the codomain are left out. A function becomes injective if the domain is reduced so that no value of the function is obtained more than once.

Another way of defining these concepts is based on the number of solutions to an equation:

The inverse satisfies \(f^{-1}(f(a))=a\) for all \(a\in A\) and \(f(f^{-1}(b))=b\) for all \(b\in B\).

The graph of the inverse is the mirror image of the graph of \(f\) with respect to the line \(y=x\): A point \((a,b)\) lies on the graph of \(f\) \(\Leftrightarrow\) \(b=f(a)\) \(\Leftrightarrow\) \(a=f^{-1}(b)\) \(\Leftrightarrow\) the point \((b,a)\) lies on the graph of \(f^{-1}\). The geometric interpretation of \((a,b)\mapsto (b,a)\) is precisely the reflection with respect to \(y=x\).

If \(A \subset \mathbb{R}\) and \(f\colon A\to \mathbb{R}\) is strictly monotone, then the function \(f\colon A \to f[A]\) has an inverse.

If here \(A\) is an interval and \(f\) is continuous, then also \(f^{-1}\) is is continuous in the set \(f[A]\).

Proof.

Note. \(f'(f^{-1}(x))\) is the derivative of \(f\) at the point \(f^{-1}(x)\).

Trigonometric functions

• Unit of measurement of an angle = rad: the arclength of the arc on the unit circle, that corresponds to the angle.

• \(\pi\) rad = \(180\) degrees, i.e. \(1\) rad = \(180/\pi \approx 57,\! 3\) degrees

• The functions \(\sin x, \cos x\) are defined in terms of the unit circle so that \((\cos x,\sin x)\), \(x\in [0,2\pi]\), is the point on the unit circle corresponding to the angle \(x\in\mathbb{R}\), measured counterclockwise from the point \((1,0)\). \[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\ (x\neq \pi /2 +n\pi),\] \[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\ (x\neq n\pi)\]

• Periodicity: \[\sin (x+2\pi) = \sin x,\ \cos (x+2\pi)=\cos x,\] \[\tan (x+\pi) = \tan x\]

Basic properties (from the unit circle!)

• \(\sin 0 = 0\), \(\sin (\pi/2)=1\)

• \(\cos 0=1\), \(\cos (\pi/2)= 0\)

• Parity: \(\sin\) and \(\tan\) are odd functions, \(\cos\) is an even function: \[\sin (-x) = -\sin x,\] \[\cos(-x) = \cos x,\] \[\tan (-x) = -\tan x.\]

• \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) for all \(x\in\mathbb{R}\)

  Proof: Pythagorean Theorem.

• Addition formulas:

  \(\sin (x+y) = \sin x \cos y +\cos x \sin y\)

  \(\cos (x+y) = \cos x \cos y -\sin x \sin y\)

Proof: Geometrically, or more easily with vectors and matrices.

Derivatives: \[ D(\sin x) = \cos x,\ \ D(\cos x) = -\sin x \]

Example

It follows that the functions \(y(t)=\sin (\omega t)\) and \(y(t)=\cos (\omega t)\) satisfy the differential equation \[ y''(t)+\omega^2y(t)=0, \] that models harmonic oscillation. Here \(t\) is the time variable and the constant \(\omega>0\) is the angular frequency of the oscillation. We will see later that all the solutions of this differential equation are of the form \[ y(t)=A\cos (\omega t) +B\sin (\omega t), \] with \(A,B\) constants. They will be uniquely determined if we know the initial location \(y(0)\) and the initial velocity \(y'(0)\). All solutions are periodic and their period is \(T=2\pi/\omega\).

Arcus functions

The trigonometric functions have inverses if their domain and codomains are chosen in a suitable way.

• The Sine function \[ \sin \colon [-\pi/2,\pi/2]\to [-1,1] \] is strictly increasing and bijective.

• The Cosine function \[ \cos \colon [0,\pi] \to [-1,1] \] is strictly decreasing and bijective.

• The tangent function \[ \tan \colon ]-\pi/2,\pi/2[\, \to \mathbb{R} \] is strictly increasing and bijective.

Tarkastellaan umpinaisen ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän raamien alueiden pinta-alaa. Pinta-alan yleinen käsite on teoreettisesti paljon hankalampi, mistä antaa viitteen luvun lopussa oleva huomautus.

Tasojoukon pinta-ala määritellään palauttamalla se yksinkertaisempien joukkojen pinta-aloihin. Erityisesti täytyy huomata, ettei pinta-alaa voi "laskea", ellei "pinta-alan" käsitettä ole ensin määritelty (vaikka koulumatematiikassa näin usein tehdäänkin).

(Yksinkertainen) monikulmio on tasojoukko, jota rajaa äärellisestä määrästä peräkkäisiä janoja koostuva suljettu käyrä. Vain peräkkäiset janat saavat leikata toisiaan yhteisessä päätepisteessä.

Tasojoukolle \(\color{red} D\), jota rajaa umpinainen itseään leikkaamaton käyrä, voidaan muodostaa sisämonikulmioita \(\color{blue}P_i\) ja ulkomonikulmioita \(P_o\): \(\color{blue}P_i\color{black} \subset \color{red}D\color{black}\subset P_o\).

Yllätys: Se, että joukkoa \(D\) rajoittaa umpinainen (itseään leikkaamaton) käyrä, ei takaa, että joukon pinta-ala on määritelty: Reunakäyrä voi olla niin "mutkitteleva", että sillä on positiivinen "pinta-ala". Ensimmäisen esimerkin konstruoi [W.F. Osgood, 1903]:

Esimerkki

Johda \(R\)-säteisen ympyrän pinta-alan kaava \(A=\pi R^2\) valitsemalla sisä- ja ulkomonikulmioiksi säännöllisiä \(n\)-kulmioita, ja ottamalla lopuksi raja-arvo \(n\to\infty\).

Ratkaisu: vapaaehtoinen lisätehtävä, jossa tarvitaan raja-arvoa \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.\] Vihje: Osoita, että säännöllisten sisä- ja ulkomonikulmioiden pinta-alat ovat \[ \pi R^2\frac{\sin (2\pi/n)}{2\pi/n} \ \text{ ja }\ \pi R^2\frac{\tan \pi/n}{\pi/n}.\]

Geometric interpretation: Let \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\) be such that \(f(x)\ge 0\) for all \(x\in[a,b]\). How can we find the area of the region bounded by the function graph \(y=f(x)\), the x-axis and the two lines \(x=a\) and \(x=b\)?

The answer to this question is given by the definite integral \[\int_{a}^{b}f(x)\,dx\] Remark. The general definition of the integral does not necessitate the condition \(f(x)\ge 0\).

Integration of continuous functions

If \(f\) is a positive function then the upper sum represents the total area of the rectangles circumscribing the function graph and similarly the lower sum is the total area of the inscribed rectangles.