Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
Site: | MyCourses |
Course: | MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024 |
Book: | Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 |
Printed by: | Guest user |
Date: | Wednesday, 11 December 2024, 10:29 AM |
1. Taso- ja avaruuskäyrät
1.1. Parametrisointi
Parametrisointi
Muodollisesti käyrällä tarkoitetaan parametrisoitua joukkoa , joka voidaan esittää muodossa missä on väli ja funktio on jatkuva. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus tarkoittaa, että sen kaikki koordinaattifunktiot ovat jatkuvia missä tahansa kantaesityksessä.
Funktio on eräs käyrän parametrisointi ja on tätä parametrisointia vastaava parametriväli. Väli voi olla avoin , suljettu tai puoliavoin ja myös rajoittamaton.
Avaruuskäyrän () parametrisointi voidaan antaa muodossa Vaihtoehtoisesti voidaan myös käyttää koordinaattimuotoa tai vektorimuotoa jossa ja ovat :n luonnolliset kantavektorit. Myös pystyvektoriesitys voi olla hyödyllinen, jos parametrisointiin halutaan soveltaa matriisioperaatioita kuten kiertoja tai peilauksia.
Edellä funktion jatkuvuus tarkoittaa siis koordinaattifunktioiden jatkuvuutta parametrivälillä .
Huomautus. Samalla käyrällä on useita eri parametrisointeja. Miksi? Kuinka pääset yhdestä parametrisoinnista toiseen?
Esimerkki, suora tasossa
Kahden -tason pisteen ja kautta kulkeva suora voidaan parametrsioida Havaitaan, että joten valitsemalla parametriväliksi saadaan pisteitä ja yhdistävä jana.
Esimerkki, reaalifunktion kuvaaja
Jatkuvan funktion kuvaaja voidaan ajatella -tason käyränä. Tämä käyrä voidaan parametrisoida missä . Tai vastaavasti vektorimuodossa
Esimerkki, Helix-käyrä eli kierrejousi
Helix-käyrä eli kierrejousi voidaan parametrisoida missä ovat parametreja. Parametri on jousen säde ja parametria voidaan ajatella jousen venymänä.
Vaihtoehtoisesti voidaan tietysti tässäkin käyttää myös vektorimuotoa
Suunta
Usein parametriväli on suljettu väli . On lisäksi mahdollista, että tai .
Parametrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnan, jolloin on käyrän alkupiste ja sen päätepiste. Käyrää, jonka alku- ja päätepiste ovat samoja kutsutaan umpinaiseksi (engl. 'closed').
Voidaan muodostaa myös vastakkainen parametrisointi, jossa käyrä pysyy samana, mutta sen kulkusuunta vaihtuu. Tällöin myös parametrisointiin liittyvät alku- ja päätepiste vaihtuvat toisikseen.
Esimerkiksi tapauksessa vastakkainen parametrisointi saadaan helposti kaavalla
Esimerkki, ympyrän kehä tasossa
Olkoon ja . -keskisen ja -säteisen ympyrän kehän parametrisoinniksi saadaan Jos halutaan parametrisoida koko kehä, voidaan parametriväliksi valita esimerkiksi tai . Lisäksi havaitaan, että ja joten käyrä on umpinainen.
Suunnistus voidaan vaihtaa päinvastaiseksi korvaamalla parametrisoinnissa. Tällöin , ja
Implisiittinen muoto
Tasokäyrän yhtälö voidaan usein ilmaista myös implisiittisessä muodossa , missä on jokin kahden muuttujan lauseke. Konkreettisia esimerkkejä ovat funktion kuvaaja , joka voidaan määritellä muodossa , ja -säteinen ympyrä .
Huomautus. Yleisessä tapauksessa yhtälön määräämä tasojoukko voi olla hyvin yllättävän näköinen. Jos esimerkiksi on mikä tahansa suljettu tasojoukko (reunapisteet kuuluvat joukkoon), niin funktio on jatkuva, mutta yhtälö esittää koko alkuperäistä joukkoa .
1.2. Tangenttivektori
Käyrän tangentti
Tarkastellaan 3-ulotteista parametrisointia , joka on derivoituva. Tämä tarkoittaa, että vektorin jokaisen koordinaattifunktion täytyy olla derivoituva.
Parametriväliä vastaava käyrän sekantti on vektori Kun , niin kääntyy yhä enemmän käyrän tangentin suuntaiseksi, mutta samalla sen pituus kutistuu kohti nollaa. Skaalamalla kertoimella saadaan kuitenkin erotusosamäärää vastaava lauseke, josta nähdään, että raja-arvo on olemassa ja se voidaan käytännössä laskea kaavalla Vektorin ensimmäinen koordinaatti on nimittäin ja samoin käy myös muissa koordinaateissa. Tämän vuoksi määritelmä näyttää järkevältä.
Määritelmä. Jos käyrällä on derivoituva parametrisointi , niin pisteessä vektori on käyrän tangenttivektori. Tason tapauksessa -koordinaatti jää tietysti pois.
Fysikaalisessa tulkinnassa on käyrää pitkin liikkuvan kappaleen hetkellinen nopeus ja kappaleen vauhti hetkellä . Lisäksi on kappaleen hetkellinen kiihtyvyys.
Huomautus. Tangenttivektorin määritelmästä saadaan lisäksi hyödyllinen approksimaatio: Muistisääntö: Siirtymä on suunnilleen sama kuin alkunopeus kertaa aikavälin pituus.
Esimerkki
Sykloidi kuvaa vierivään renkaaseen tarttuneen hiukkasen ratakäyrää. Se voidaan parametrisoida kulman avulla muodossa Tangenttivektoriksi saadaan tällöin ja edelleen voidaan ratkaista kiihtyvyys Tästä seuraa tasaisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys.
Huomautus. Sykloidin parametrisoinnissa , eli hetkellinen nopeus on nolla (niissä kohdissa, joissa hiukkanen koskettaa vierimisalustaa, vrt. yllä.). Tällöin käyrän suunta voi muuttua jyrkästi, vaikka sen parametrisointi onkin jatkuvasti derivoituva.
1.3. Kaarenpituus
Kaarenpituus
Olkoon käyrän jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan havaita murtoviivan pituuden suppenevan kohti kaaren pituutta .
Kaarenpituus (tai käyränpituus) voidaankin määrittää integraalina missä merkintä tarkoittaa vektorin (euklidista) normia eli pituutta avaruudessa . Tapauksessa on siis .
Perustelu. Olkoot välin ositus. Tällöin vektorien ja välisen sekanttivektorin lauseke on (vrt. aiempaan määritelmään, kun ).
Toisaalta sekanttivektorien pituudelle pätee approksimaatio joten kaarenpituuden approksimaatioksi kappaleella sekanttivektoreita saadaan Vaaditaan lisäksi, että jokaisen jakovälin pituus suppenee kohti nollaa, kun , jolloin edellinen lauseke on funktion Riemannin summa. Toisaalta, kun jakovälejä tihennetään, lähestyy approksimaatio kaaren todellista pituutta. Näin ollen integraalin määritelmästä seuraa
Jos käyrän parametrisointi on ainoastaan paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän kaarenpituus laskemalla osien kaarenpituudet yhteen.
Vaikka käyrällä onkin aina äärettömän monta eri parametrisointia, voidaan osoittaa, ettei kaarenpituus riipu (injektiivisen) parametrisoinnin valinnasta eikä suunnasta.
Esimerkki
Määritetään Helix-käyrän kaarenpituus parametrivälillä . Tangenttivektoriksi saadaan
joten Kaarenpituudeksi saadaanEsimerkki
Johdetaan kaava funktion kuvaajan kaarenpituudelle välillä . Asetetaan , kun . Tällöin joten kaarenpituudeksi saadaan
Huomautus. Kaarenpituutta voidaan tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä tai käyrä on "rajoittamaton" tai "itsensä päälle laskostuva" avoimen parametrivälinsä päätepisteen läheisyydessä. Kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää kutsutaan suoristuvaksi.
Esimerkki
Olkoot käyrällä parametrisointi , kun . Lasketaan tälle kaarenpituus.
Tangenttivektorin pituus on , joten kaarenpituudeksi saadaan nyt
(Huom: Kyseinen käyrä on yksikköneliön puoliavoin lävistäjä, joten tulos lienee muutenkin selvä. Toisaalta siinä näkyy myös kaarenpituuden riippumattomuus parametrisoinnin valinnasta.)2. Usean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot
Usean muuttujan reaaliarvoisella funktiolla tarkoitetaan funktiota , missä , on funktion määrittelyjoukko. Tällainen funktio siis liittää reaalisiin parametreihin reaaliluvun . Joskus (erityisesti fysiikassa) tällaista funktiota sanotaan skalaarikentäksi.
Esimerkiksi kaava määrittelee kahden muuttujan funktion. Tämän funktion arvo on sylinterin tilavuus, kun on sen säde ja korkeus. Tähän sovellukseen liittyvä funktion määrittelyjoukko on tason ensimmäinen neljännes, mutta funktion määräävä matemaattinen kaava on kuitenkin määritelty ja mielekäs kaikilla , siis myös negatiivisilla luvuilla.
2.1. Osittaisderivaatta
Avoin joukko
Avoimessa joukossa voidaan jokaisesta pisteestä siirtyä ainakin lyhyt etäisyys kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Tällaisessa joukossa määritellyn funktion arvojen muutosta voidaan siis tutkia kaikissa eri suunnissa, mikä on tärkeää funktion osittaisderivaattojen tapauksessa. Tarkemmin:Määritelmä
Joukko on avoin, jos sen jokaille pisteelle löytyy sellainen , että Joukko on pallo(n sisäpuoli), jonka keskipiste on ja säde . Tasossa käytetään myös nimitystä kiekko, mutta merkintä = 'ball' sopii kaikkiin ulottuvuuksiin. Englannin kielen sana 'sphere' käännetään myös palloksi, mutta sekaannusten välttämiseksi siitä on matematiikassa toisinaan hyvä käyttää nimitystä "pallopinta".Osittaisderivaatta
Olkoon , avoin ja funktio. Tällöin kaikille funktion osittaisderivaatta muuttujan suhteen on jos kyseinen raja-arvo on olemassa. Tässä on :s yksikkökantavektori.Huom. Erityisesti tapauksissa ja tai käytetään osittaisderivaatoille yleensä merkintöjä
Esimerkiksi kahden muuttujan funktiolle on jaKäytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain tulkita kaikki muut muuttujat ikään kuin vakioiksi.
Syy: Esimerkiksi kahden muuttujan funktiosta voidaan muodostaa yhden muuttujan funktio kiinnittämällä muuttuja . Tällöin funktion tavallinen yhden muuttujan erotusosamäärä on sama lauseke kuin funktion erotusosamäärässä ensimmäisen muuttujan suhteen:
Esimerkki
Esimerkki
Olkoon funktio , Sen osittaisderivaatat ovat
Merkintätavat osittaisderivaatoille
Funktion osittaisderivaattaa muuttujan suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla
Tapauksessa usein kirjoitetaan , jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä
Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia ("doo"), jotta se ei sekoittuisi tavalliseen derivaattaan. Tähän palataan vähän myöhemmin ketjusäännön yhteydessä.
Osittaisderivaatan arvo
Funktion osittaisderivaatan arvoa pisteessä merkitään jossa muuttuja määritellään .
Esimerkiksi, jos ja , niin \begin{align} f_{u}(\mathbf{w})&=f_{u}(x^2,xy) =\left.\bigg(\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)\bigg)\right|_{(x^2,xy)} \\ &=2uv\Big|_{u=x^2,\,v=xy}= 2(x^2)(xy)=2x^3y. \end{align}
Esimerkki
Lasketaan kun . Tällöin saadaan
Esimerkki
Etsitään , kun . Tästä saadaan Siten
Ketjusäännön soveltaminen
Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa. Jos esimerkiksi ja niin ja Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille.
Esimerkki
Osoitetaan, että derivoituva funktio toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun : Ketjusäännön perusteella Siten
Korkeammat osittaisderivaatat
Funktiolle voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja. Jos , niin saadaan esimerkiksi ja Vastaavasti, jos , saadaan vaikkapa
Esimerkki
Etsitään funktion toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi Siten \begin{align*} f_{xx}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}3x^2y^4=6xy^4, \\ f_{yx}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}4x^3y^3=12x^2y^3, \\ f_{xy}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}3x^2y^4=12x^2y^3, \\ f_{yy}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial y}4x^3y^3=12x^3y^2. \end{align*}
Huom. Edellisestä voidaan havaita, että . Tämä ei ole sattumaa!
Jos funktio sekä sen osittaisderivaatat ja ovat kaikki jatkuvia, niin Toisin sanoen derivoimisjärjestyksellä ei ole tällöin väliä. Vastaava tulos pätee myös yleisesti kaikilla .
2.2. Tangenttitaso ja normaalisuora
Pinnan tangentti ja normaali
Yhden muuttujan tapauksessa derivaatan avulla voidaan löytää lauseke derivoituvan funktion tangentille annetussa pisteessä. Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Pinnalle saadaan puolestaan kaksi tangenttivektoria pisteessä käyrien ja tangentteina:
Pinnan (ylä)normaalivektori on kohtisuorassa näitä molempia tangenttivektoreita vastaan. Siksi se saadaan ristitulona \begin{align*} \mathbf{N} &= \mathbf{T}_1\times \mathbf{T}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_{x}(a,b) \\ 0 & 1 & f_{y}(a,b) \end{vmatrix} =-f_{x}(a,b)\mathbf{i} - f_{y}(a,b)\mathbf{j} + \mathbf{k}. \end{align*} Pinnan yksikkönormaali saadaan normaalista skaalaamalla sen pituudella: sillä yllä olevan kaavan perusteella ei voi olla nollavektori.
Tangenttitaso
Olkoon , ja . Pinnan tangenttitaso pisteessä on aina kohtisuorassa normaalia vastaan ja se kulkee pisteen kautta. Merkitään pisteen paikkavektoria . Tällaisen tason vektorit toteuttavat yhtälön sillä tason suuntaiset vektorin ovat kohtisuorassa normaalia vastaan. Tangenttitasolle saadaan siis yhtälö
Normaalisuoran yhtälöt
Normaalisuora pinnalle pisteessä on normaalivektorin suuntainen.
Merkitään taas pisteen paikkavektoria . Tällöin normaalisuoran pisteet ovat pistejoukko Jos sekä ja , niin voidaan eliminoida parametri ja saadaan yhtälöt
Esimerkki
Etsitään tangentti ja normaali pinnalle , kun ja . Tangentti ja normaali kulkevat pisteen kautta.
Lasketaan osittaisderivaatat: Pisteessä saadaan Siten kyseisellä pinnalla on normaalivektori Tangenttitaso on Ja normaalisuoran yhtälöiksi saadaan
Kaltevuuskulma
Pinnan kaltevuuskulma mitataan vaakatasosta, mutta se on sama kuin pinnan ylänormaalin ja yksikkövektorin välinen kulma: piirrä poikkileikkauskuva! Näin ollen2.3. Gradientti ja suunnattu derivaatta
Gradientti
Olkoon , , derivoituva pisteessä .
Määritelmä. Funktion gradientti on vektori Kaikki osittaisderivaatat lasketaan tutkittavassa pisteessä .
Gradientti on tavallisen derivaatan oikea vastine usean muuttujan funktioille, koska se ottaa huomioon kaikki osittaisderivaatat. Myöhemmin nähdään, että gradientti osoittaa siihen suuntaan, johon siirryttäessä funktio kasvaa nopeimmin, vrt. esimerkiksi termi "lämpötilagradientti". Se on vektoriarvoinen funktio . Tapauksessa voidaan kirjoittaa Tapauksessa kolmas termi jää pois. Gradientti on Jacobin matriisin erikoistapaus , vrt. alla.
Esimerkki
Olkoon . Tällöin saadaan . Erityisesti on kohtisuorassa origokeskisen (yksikkö)ympyrän mielivaltaiseen pisteeseen ) piirrettyä tangenttisuoraa vastaan. Tämä on erikoistapaus yleisemmästä tasa-arvokäyriä koskevasta ominaisuudesta.
Tasa-arvokäyrät
Olkoon vakio, ja funktio. Tällöin joukko on usein tasokäyrä. Kyseinen pistejoukko voi olla myös tyhjä (jos ei saa arvoa ) tai vaikkapa koko taso (jos on vakio). Mikäli joukko on tasokäyrä, sitä sanotaan funktion arvoon liittyväksi tasa-arvokäyräksi.
Esimerkiksi korkeuskäyrät kartalla ovat tasa-arvokäyriä funktiolle, joka liittää kartalla olevaan pisteeseen sen korkeuden meren pinnasta.
Lause. Olkoon , ja derivoituva pisteessä ja Tällöin on kohtisuorassa pisteen kautta kulkevaa funktion tasa-arvokäyrää (t.s., sen tangenttia) vasten.
Seuraus: Jos piste on funktion paikallinen ääriarvo (minimi tai maksimi), niin . Gradientin nollakohta ei kuitenkaan välttämättä ole funktion ääriarvo. Edes skalaarifunktion derivaatan nollakohta ei välttämättä ole minimi eikä maksimi, kuten nähdään jos .
Todistus. Olkoon ja tasa-arvokäyrän sellainen parametrisointi, että . Koska on tasa-arvokäyrä, kaikilla pätee eli vakio. Ketjusäännöstä saadaan (koska vakiofunktion derivaatta on nolla) Erityisesti pisteessä tämä tarkoittaa, että eli toisin sanoen vektori ja tangentin suuntainen ovat kohtisuorassa.
Suunnattu derivaatta
Edellinen tulos voidaan tulkita niin, että tasa-arvokäyrän tangentti antaa suunnan, johon edettäessä funktio ei kasva eikä vähene. Niinpä funktio kasvaa jyrkimmin gradienttinsa suuntaan, joka on tasa-arvokäyrän normaalivektori. Muihin suuntiin liikuttessa kasvunopeuden antaa suunnattu derivaatta ja on yksikkösuuntavektori.
Lause. Olkoon funktio, ja sellainen vektori, että . Tällöin funktion suunnattu derivaatta suuntaan saadaan kaavasta
Esimerkki
Lasketaan a) ja siten . Saadaan
Huomaa, että tässä ja ovat yhdensuuntaiset.
b) ja siten . Saadaan Vektorit ja ovat siis kohtisuorassa.
c) ja siten . Saadaan Tämä on sama kuin .
Määritelmä
Olkoon ja vektori, missä jokainen funktion komponentti on funktio ja . Tällainen vektori määrittelee vektoriarvoisen funktion , jota kutsutaan myös vektorikentäksi. Usein käytetään merkintää .
Vektoriarvoisia funktiota esiintyy usein mm. fysiikassa sellaisten suureiden yhteydessä, joilla on voimakkuus ja suunta (esimerkiksi nopeus- ja voimakentät).
Vektoriarvoisen funktion derivointi
Derivaatan luonnollinen vastine vektoriarvoisen funktion tapauksessa on Jacobin matriisi Jos , Jacobin matriisi on neliömatriisi ja sen determinattia sanotaan funktion Jacobin determinantiksi pisteessä . Tätä determinanttia tarvitaan kurssin loppuosassa.
Jacobin matriiseilla ketjusääntö voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa
Sovellus: implisiittifunktiolause
Oletetaan, että skalaarifunktiot ovat derivoituvia. Tutkitaan yhtälöryhmää pisteen lähellä. Muuttujat voidaan esittää muuttujien funktioina pisteen lähellä, jos funktion Jacobin determinatti
Esimerkki
Osoitetaan, että voidaan esittää muuttujien funktiona systeemistä pisteen lähellä.
Selvästi . Muodostetaan Jacobin determinatti Koska determinantti ei ole nolla, voidaan kirjoittaa kolmen muuttujan funktioina. Kaavoja näille funktioille ei kuitenkaan voida yleensä antaa.
2.4. Lineaarinen approksimaatio ja differentiaali
Approksimaatiot
Yksiulotteisessa tapauksessa muotoa olevan funktion kuvaajan tangenttisuora pisteessä saadaan kaavasta Tangenttisuoran lauseke antaa myös tavan approksimoida funktiota pisteen läheisyydessä: .
Miksi approksimaatiota tarvitaan, jos kerran tietokone voi laskea nopeasti ja tarkasti? Kun halutaan löytää "peukalosääntö" päässälaskun helpottamiseksi ja ymmärryksen lisäämiseksi. Kun funktio on olemassa ainoastaan taulukoituna, esimerkiksi mittaustuloksista.
Lineaariset approksimaatiot usean muuttujan funktioille
Tapauksessa saadaan funktiota approksimoiva tangenttitaso , joka voidaan muodostaa osittaisderivaattojen avulla kaavasta Kolmen muuttujan tapauksessa saadaan samannäköinen approksimaatio
Esimerkki
Etsitään lineaarinen approksimaatio funktiolle pisteessä , ja arvioidaan funktion arvoa pisteessä .
Saadaan . Funktion osittaisderivaatat ovat ja Siten Haluttu approksimaatio siis on Vertailun vuoksi funktion todellinen arvo pisteessä on noin .
Differentiaali
Lineaarisen approksimaation lauseketta kutsutaan funktion differentiaaliksi (tai kokonaisdifferentiaaliksi) ja se voidaan kirjoittaa kahden muuttujan tapauksessa muodossa Differentiaalia merkitään . Tarkasti ottaen merkintään liittyy sekä tutkittava piste että siirtymävektori.
Lause. Jos funktiolla on jatkuvat osittaisderivaatat, niin differentiaaliin liittyvä virhetermi voidaan esittää muodossa , jossa , kun . Tässä siis ja . Yleinen differentiaalikaava -ulotteisessa tapauksessa on muotoa Makroskooppisen virheen arviointiin voidaan käyttää approksimaatiota jossa viimeinen muoto koskee tapausta . Tässä merkintä viittaa siihen, että epäyhtälö ei tarkasti ottaen ole voimassa, koska virhetermi on jätetty pois.Huomautuksia
Toisin kuin yksiulotteisessa tapauksessa pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei riitä takaamaan edes funktion jatkuvuutta. Esimerkiksi funktiolle on , mutta funktio on epäjatkuva pisteessä . Toinen samanlainen esimerkki on funktio Siksi tilannetta on tarpeen analysoida tarkemmin. Halutaan ehto, joka kertoo milloin lineaarinen approksimaatio on mielekäs funktiolle lähellä pistettä .
Differentioituvuus
Määritelmä. Funktio on differentioituva pisteessä , jos
Differentiaalikaavan avulla (virhetermi mukana!) voidaan todistaa seuraava tulos:
Lause. Jos ovat jatkuvia jossakin pisteen ympäristössä, niin on differentioituva pisteessä .
Esimerkki
Osittaisderivaatoiksi saadaan ja , joten \begin{align*} &f(x+h,y+k)-f(x,y)-h\,f_{x}(x,y)-k\,f_{y}(x,y) \\ &\quad =(x+h)^3+(x+h)(y+k)^2-x^3-xy^2-(3x^2+y^2)h -2xyk\\ &\quad=3xh^2+h^3+2yhk+hk^2+xk^2. \\ \end{align*} Lausekeen - ja -termit lähestyvät nollaa vähintään samalla nopeudella kuin , kun , joten differentioituvuuden määritelmä selvästi toteutuu.
2.5. Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
Motivaatio
Yleistetään derivoinnin ketjusääntö usean muuttujan funktioille .
Ketjusääntö liittyy suoraan myös moniin käytännön sovelluksiin. Voidaan ajatella fysikaalista suuretta kuten lämpötilaa tai mekaanisen systeemin kokonaisenergiaa, jotka riippuvat useista eri toissijaisista muuttujista (kuten ajasta, paikasta tai nopeudesta). Nämä muuttujat voivat riippua edelleen kolmansista muuttujista (paikka ja nopeus esimerkiksi ajasta). Halutaan tarkastella kiinnostavan fysikaalisen suureen muutosnopeutta mainittujen kolmansien muuttujien suhteen.
Esimerkki
Retkeilijä liikkuu karttaa käyttäen mäkisessä maastossa. Olkoon retkeilijän paikka kartalla, kulloinenkin korkeus meren pinnasta ja retkeilijän paikka kartalla hetkellä . Retkeilijän paikan korkeus eli etäisyys meren pinnan tasosta hetkellä on siis yhdistetty funktio Kuinka nopeasti retkelijän paikan korkeus muuttuu ajan kuluessa?
Ilmeisestikin vastaus kysymykseen on funktion derivaatta. Lasketaan: \begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{g(t+h)-g(t)}{h} &= \lim_{h\to 0}\frac{f(u(t+h),v(t+h))-f(u(t),v(t))}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(u(t+h),v(t+h))-f(u(t),v(t+h))}{h}\\ &\quad + \lim_{h\to 0}\frac{f(u(t),v(t+h))-f(u(t),v(t))}{h} \end{align*} Yhden muuttujan ketjusäännön perusteella
Ketjusäännöt
Olkoon muuttujien jatkuvasti derivoituva funktio (eli funktio, jolla on jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat). Jos ovat muuttujan jatkuvasti derivoituvia funktioita, niin Jos ovat kahden muuttujan jatkuvasti derivoituvia funktioita, niin \begin{equation} \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} \end{equation} ja \begin{equation} \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}. \end{equation}
Ketjusäännöt voidaan todistaa soveltamalla tutkittavaan erotusosamäärään lineaarisen approksimaation kaavoja virhetermeineen.
Huom. Derivaatan ketjusääntö voidaan kirjoittaa myös gradientin avulla: Jos , niin
Keskeisiä kysymyksiä:
Mikä on yleinen idea näissä kaavoissa?
Kuinka voidaan muodostaa yleisessä tapauksessa laskentakaava yhdistetyn funktion (osittais)derivaatoille?
Ajatellaanpa, että , jossa ja . Tarkastellaan graafina "infinitesimaalisen muutoksen etenemistä" muuttujasta muuttujaan kaikkien etenemisreittien kautta.
Kuinka tilanne muuttuu, jos lisäksi ja jolloin ja kysytään kaavaa derivaatalle ? Saadaan ja \begin{align*} \frac{d z}{d t} & = \frac{\partial f}{\partial u} \left ( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{d y}{d t} \right ) \\ &\quad+ \frac{\partial f}{\partial v} \left ( \frac{\partial v }{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{d y}{d t} \right ) + \frac{\partial f}{\partial t}, \end{align*} jossa on yhteensä viisi termiä.
Esimerkki
Olkoon jatkuvasti derivoituva. Etsitään
Saadaan \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} f(x^2y,x+2y) &= f_{x}(x^2y,x+2y)\frac{\partial}{\partial x} (x^2y) \\ &\quad +f_{y}(x^2y,x+2y)\frac{\partial}{\partial x}(x+2y) \\ &= 2xy f_{x}(x^2y,x+2y)+ f_{y}(x^2y,x+2y). \end{align*} Vastaavasti voidaan laskea \begin{align*} \frac{\partial}{\partial y} f(x^2y,x+2y) &= f_{x}(x^2y,x+2y)\frac{\partial}{\partial y} (x^2y) \\ & +f_{y}(x^2y,x+2y)\frac{\partial}{\partial y}(x+2y) \\ &= x^2 f_{x}(x^2y,x+2y)+ 2f_{y}(x^2y,x+2y). \end{align*}
Esimerkki
Lämpötila ilmakehässä C) riippuu paikasta sekä ajasta . Ajatellaan lämpötilaa näistä parametrista riippuvana funktiona . Jos funktio esittää sääpalloon liitetyn lämpömittarin mittaamaa lämpötilaa, määritetään :n muutos ajan suhteen.Määritetään lämpötilan muutos hetkellä , kun ja sääpallo etenee reittiä . Koska lämpömittarin lukeman muutos riippuu kaikista neljästä parametrista, mitään niistä ei voida jättää huomiotta.
Lämpötilan muutoksen kaavaksi saadaan siten Koordinaattifunktioiden arvot hetkellä ovat Koordinaattifunktioiden derivaattojen arvot hetkellä ovat Siten hetkellä saadaan \begin{align*} \frac{\partial T}{\partial x} &= \frac{y}{1+z}(1+t)=4, &&\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{x}{1+z}(1+t)=2, \\ \frac{\partial T}{\partial z} &= \frac{-xy}{(1+z)^2}(1+t)=-4, &&\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{xy}{1+z}=2. \end{align*} Näin ollen,
3. Taylorin polynomi ja sarja
Taylorin kaava
Yhden muuttujan tapauksessa kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota voidaan approksimoida kaavalla kun .
Tämä idea yleistyy usean muuttujan tapaukseen: Jos , ja funktiolla on jatkuvat kertaluvun osittaisderivaatat pisteitä yhdistävällä janalla, niin
Perustelu. Yksinkertaisuuden vuoksi johdetaan tässä kaava tapauksessa riittävän sileille funktioille. Olkoon avoin ja funktio äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. Lisäksi oletetaan, että , kun . Tällöin oleellisesti myös apufunktion kaikki derivaatat ovat jatkuvia suljetulla välillä .
Ketjusäännön nojalla saadaan apufunktiota derivoimalla Tästä havaitaan, että ja siten yhden muuttujan funktion Taylorin sarjakehitelmä on muotoa Asettamalla tässä saadaan haluttu tulos,
Esimerkki
Olkoon ja neljä kertaa jatkuvasti derivoituva kiekossa -keskisessä -säteisessä kiekossa. Etsitään 3. asteen approksimaatio. Jos , niin \begin{align*} f(a+h,b+k)&\approx f(a,b) + (hD_1+kD_2)f(a,b) +\frac{1}{2!}(hD_1+kD_2)^2f(a,b) \\ &\quad +\frac{1}{3!}(hD_1+kD_2)^3f(a,b) \\ &= f(a,b) + hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \\ &\quad+ \frac{1}{2!}\Big(h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b)\Big) \\ &\quad+\frac{1}{3!}\Big(h^3f_{xxx}(a,b)+ 3h^2kf_{xxy}(a,b)+3hk^2f_{xyy}(a,b)+k^3f_{yyy}(a,b)\Big). \end{align*}
Huom. 1. asteen Taylor-approksimaatio on sama kuin tangenttitaso.
Esimerkki
Etsitään 2. asteen Taylor-approksimaatio funktiolle pisteen ympäristössä.
Lasketaan , eli ja . Edelleen Siten \begin{align*} f(1+h,2+k) &\approx 3 + \frac{1}{3}h + 2k + \frac{1}{2!}\Big(\frac{8}{27}h^2+2\Big(-\frac{2}{9}\Big)hk+\frac{2}{3}k^2\Big) \\ &= \frac{4}{27}h^2-\frac{2}{9}hk+\frac{1}{3}k^2+\frac{1}{3}h + 2k + 3. \end{align*}
4. Ääriarvot
Kertausta: ääriarvot yhden muuttujan tapauksessa
Funktiolla on lokaali (paikallinen) maksimi pisteessä , jos kaikilla :n arvoilla jossakin :n ympäristössä (eli riittävän lähellä pistettä ). Vastaavasti lokaali minimi tarkoittaa sitä, että jossakin :n ympäristössä. Maksimi tai minimi on globaali, jos kyseinen epäyhtälö on voimassa kaikilla .Ääriarvoja voi esiintyä:
Seuraavaksi yleistetään vastaavat ehdot funktion tapaukseen.
Ääriarvot ja usean muuttujan funktiot
Funktiolla on pisteessä lokaali maksimi, jos jossakin pisteen ympäristössä pätee kaikilla . Vastaavasti on pisteessä lokaali minimi, jos löytyy sellainen pisteen ympäristö , että kaikilla . Ääriarvo on globaali eli absoluuttinen, jos kyseinen epäyhtälö on voimassa kaikilla .Ääriarvoja voi esiintyä:
Esimerkki
Funktiolla on globaali maksimi pisteessä . Tämä piste on funktion kriittinen piste, koska
Esimerkki
Esimerkki
Esimerkki
Esimerkki
4.1. Kriittisten pisteiden luokittelu
Johdanto
Ääriarvojen luokittelu perustuu suureen tarkasteluun kriittisessä pisteessä . Jos saa vain positiivisia arvoja (kun on pieni), on piste minimi ja negatiivisessa tapauksessa maksimi. Jos vaihtaa merkkiä, niin piste ei ole minimi eikä maksimi. Tämä johtaa funktion toisen derivaatan tarkasteluun kriittisessä pisteessä.
Yhden muuttujan tapauksessa:
Hessen matriisi
Olkoon funktio, jolla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Funktion luonnollinen derivaattakäsite on gradientti, joka itsessään on vektoriarvoinen funktio . Siten funktion toinen derivaatta on matriisi, jota nimitetään Hessen matriisiksi Koska on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, derivoinnin järjestystä voidaan vaihtaa, ja kyseinen matriisi on symmetrinen.Miksi Hessen matriisi kiinnostaa meitä? Kun gradientin avulla voidaan kirjoittaa lineaarinen (ensimmäisen asteen) approksimaatio funktiolle , niin Hessen matriisilla saadaan kvadraattinen tarkennus: jossa (vaaka)vektori on pieni.
Tämä kaava on itse asiassa ainoastaan uusi tapa kirjoittaa toisen kertaluvun Taylorin approksimaatio :n muuttujan funktiolle. Muotoa oleva lauseke on -neliömatriisille niin kutsuttu neliömuoto, jossa on -pystyvektori.
Kirjoita kaava auki tapauksessa !
Pisteessä, jossa , on voimassa approksimaatio Tätä voidaan käyttää hyväksi mahdollisen ääriarvon luokittelussa pisteessä ajattelemalla, että .
Matriisin (ja neliömuodon) definiittisyys
Symmetristä -matriisia sanotaan positiividefiniitiksi, jos sen kaikki ominaisarvot ovat positiivisia ja negatiividefiniitiksi, jos on positiividefiniitti. Matriisin sanotaan olevan indefiniitti, jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollasta poikkeavia ja sillä on vähintään yksi positiivinen sekä yksi negatiivinen ominaisarvo. Positiivi/negatiividefiniiteillä matriiseilla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla/negatiivisilla reaaliluvuilla.
Symmetrisen matriisin definiittiys tai indefiniittiys periytyy sitä vastaavalle neliömuodolle.
on positiividefiniitti kaikilla nollasta poikkeavilla pystyvektoreilla .
on negatiividefiniitti kaikilla nollasta poikkeavilla pystyvektoreilla .
on indefiniitti saavuttaa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja pystyvektorin vaihdellessa.
Toisen derivaatan testi monen muuttajan tapauksessa
Lause. Olkoon funktio, jolla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat kriittisen pisteen ympäristössä. Tällöin:Lause seuraa approksimaatiosta kun . Väite täytyy nimittäin ainoastaan tarkastaa Hessen matriisin määräämälle neliömuodolle.
Esimerkki
Etsitään ja luokitellaan funktion kriittiset pisteet.
Yhtälöt kriittisille pisteille ovat \begin{align*} 0 &= f_{x}(x,y,z)=2xy-2,\\ 0 &= f_{y}(x,y,z)=x^2+2yz,\\ 0 &= f_{z}(x,y,z)=y^2+2z.\\ \end{align*} Nämä yhtälöt ratkaisemalla nähdään, että funktion ainoa kriittinen piste on .
Lasketaan Hessen matriisi ja lasketaan matriisin ominaisarvot vaikkapa MATLABilla
>> a = [2 2 0 ; 2 -1 2 ; 0 2 2] a = 2 2 0 2 -1 2 0 2 2 >> eig(a) ans = -2.7016 2.0000 3.7016
Koska ominaisarvoissa on erimerkkisiä lukuja, niin funktiolla on satulapiste pisteessä .
4.2. Maksimi ja minimi
Puuttuu vielä.4.3. Lagrangen kertoimet
Lagrangen kertoimet
Usein optimointitehtävissä halutaan asettaa rajoitusehtoja optimoitaville muuttujille. Tyypillinen esimerkki tällaisesta tehtävästä on peltipurkin muodon optimointi: Halutaan minimoida purkin pinta-ala (eli käytetty materiaali) niin, että tilavuus on vakio.
Duaalitehtävä: Halutaan maksimoida purkin tilavuus siten, että pinta-ala on vakio. Primaali- ja duaalitehtävillä on sama ratkaisu. Tämän sanoo maalaisjärkikin, mutta itse asiassa ratkaisuun johtavat yhtälötkin ovat (olennaisesti) samoja.
Havaitaan, että mikäli ongelmalla on ratkaisu, niin ratkaisupisteessä vektorien ja on oltava joko yhdensuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia (mikäli ). Miksi? Koska muussa tapauksessa funktiolla olisi nollasta poikkeva suunnattu derivaatta käyrän tangentin suuntaan pisteessä , ja siis minimi ei voi olla pisteessä .
Entä jos tehtävänä olisi maksimoida ehdolla ? Entä jos tehtävänä olisi maksimoida ehdolla ?
Mikäli optimipiste on olemassa, se on Lagrangen funktion kriittinen piste (eli gradientin nollakohta). Menetelmä yleistyy myös useammalle muuttujalle. Esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa Lagrangen funktio on missä on minimoitava funktio ja rajoite-ehdot ovat sekä .
Esimerkki
Minimoidaan funktio ehdolla . Muodostetaan aluksi Lagrangen funktio Yhtälöt kriittisille pisteille ovat \begin{align*} 0 &=\frac{\partial L}{\partial x} = 2x(1+\lambda y),\\ 0 &=\frac{\partial L}{\partial y} = 2y+\lambda x^2,\\ 0 &=\frac{\partial L}{\partial \lambda}= x^2y-16,\\ \end{align*} joista viimeinen on aina itse rajoitusehto.
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan tai , mutta on ristiriidassa kolmannen yhtälön kanssa. Siten toisesta yhtälöstä Tästä saadaan edelleen , ja eli . Ääriarvoja (mahdollisia minimejä) on siis kaksi . Pitää selvittää muilla keinoin, ovatko nämä minimejä vai maksimeja.
Esimerkki
Yritetään etsiä Lagrangen kertoimien menetelmällä funktion minimi ehdolla . Helposti havaitaan, että minimi saavutetaan pisteessä .
Muodostetaan Lagrangen funktio Saadaan yhtälöt Nämä yhtälöt ovat keskenään ristiriidassa, joten ratkaisua niille ei ole. Huomaa, että minimipisteessä. Tästä nähdään, että Lagrangen kertoimet näkevät ääriarvoja vain pisteissä, joissa .
Esimerkki
Etsitään ääriarvot funktiolle ehdoilla ja .
Koska on jatkuva ja annettujen leikkausjoukkojen leikkaus on ympyräviiva (eli rajoitettu ja suljettu joukko), niin ääriarvot ovat olemassa. Muodostetaan Lagrangen funktio Lagrangen funktion osittaisderivaatoista saadaan yhtälöt \begin{align*} & y+\lambda+2\mu x=0, \\ & x+\lambda+2\mu y=0, \\ & 2+\lambda+2\mu z=0, \\ & x+y+z = 0,\text{ ja } \\ & x^2+y^2+z^2-24=0. \end{align*} Kahden ensimmäisen yhtälön erotus johtaa yhtälöön , joten joko tai . Tutkitaan molemmat tapaukset.
Tapaus I (): Toisen ja kolmannen yhtälön perusteella Neljännestä yhtälöstä saadaan ja . Viimeisen yhtälön perusteella . Koska , saadaan ja . Nyt , joten . Yhdessä yhtälön kanssa tästä saadaan kaksi kriittistä pistettä Kummassakin pisteessä .
Tapaus II (): Neljännestä yhtälöstä nähdään, että , ja viimeisen yhtälön perusteella eli . Näin ollen, kriittiset pisteet ovat Saadaan Siten funktion maksimi on ja minimi .
5. PNS-menetelmä
Regressio-ongelma
Regressioanalyysissa pyritään valitsemaan parametrin arvo siten, että käyrä kulkisi mahdollisimman läheltä jokaista havaintopistettä Tällaista optimaalisesti valittua käyrää kutsutaan regressiomalliksi , jossa funktion muoto on valittu tilanteen ja harkinnan mukaan. Kunhan on valittu, niin eräs ratkaisu käyränsovitusongelmaan on pienimmän neliösumman menetelmä.
Pienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmässä pyritään minimoimaan regressiomallin virhetermien neliösummaa eli funktiota muuttamalla parametrivektorin arvoa. Optimaalinen :n arvo on parametrin pienimmän neliösumman estimaatti eli PNS-estimaatti.
Kysymys: Miksi ei minimoitaisi lauseketta neliösumman sijasta?
PNS-sovitus
Kuvassa vihreällä parametreista riippuva sovitettava funktio eräällä kiinteällä parametrin arvolla. Datapisteet ja vastaavat virhetermit , kun .
Lineaarinen regressio
Lineaarisessa regressiossa jossa ja neliösumma on Etsitään piste siten, että .
Lasketaan osittaisderivaatta Ratkaistaan nollakohta missä on datavektorin komponenttien aritmeettinen keskiarvo.
Lasketaan seuraavaksi osittaisderivaatta Sijoittamalla :n lauseke, saadaan Ratkaistaan nollakohta: Tarkista jälkimmäinen yhtälö!
Esimerkki
Sovita PNS-suora dataan
0.0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | |
---|---|---|---|---|---|
2.10 | 1.92 | 1.84 | 1.71 | 1.64 |
ja estimoi (ekstrapoloi) kun .
Saadaan , , ja Siten . Näin ollen , ja kysytty estimaatti pisteessä on .
Esimerkki: Toisen asteen sovitus
Tutkitaan lisäaineen määrän vaikutusta kuivumisaikaan . Eri lisäaineen määrillä (grammaa) saatiin kuivumisajat (tuntia), :
Huomataan, että kuivumisajan riippuvuus lisäaineen määrästä on epälineaarista.
Minimikohdan estimoimiseksi sovitetaan havaintoihin paraabeli
Pienimmän neliösumman yhtälöryhmä mallille on Näistä saadaan yhtälöryhmä Laskemalla yhtälöryhmän kertoimet havainnoista saadaan
Ratkaisuna ovat , ja . Pienimmän neliösumman mielessä parhaiten havaintoihin liittyvä paraabeli on siten
6. Newtonin menetelmä
Newtonin iterointi
Newtonin menetelmällä voidaan löytää (vähintäänkin derivoituvan) funktion nollakohta eli yhtälön ratkaisu. Silloin kun menetelmä toimii, se suppenee hyvin nopeasti. Silloin kun ei, niin...
Lähdetään liikkeelle jostakin pisteestä , joka on alkuarvaus yhtälön ratkaisulle. Arvioidaan funktiota sen tangenttisuoralla pisteessä, eli funktiolla . Ratkaistaan yhtälö . Toistetaan edellinen käyttäen alkuarvauksena lukua luvun sijasta jne. Tämä menettely johtaa algoritmiin, jossa iteraatioaskeleet saadaan kaavasta Suppeneminen ja löytyvä nollakohta riippuvat alkuarvauksesta .
Esimerkki
Etsitään likiarvo luvulle .
Koska , niin valitaan läheltä ratkaisua. Tässä , joten . Saadaan
Huomaa, että , eli jo kahdella iteraatiolla saatiin varsin hyvä likiarvo.
Esimerkki
Etsitään funktion nollakohdat.
Piirtämällä kuvaaja nähdään, että funktiolla on vain yksi nollakohta jossain pisteiden ja välissä. Asetetaan .
Koska iteratioksi saadaan Saadaan
Newtonin menetelmä monen muuttujan tapauksessa
Newtonin menetelmä toimii myös funktion tapauksessa. Tällöin iteraatiokaavassa oleva derivaatta pitää korvata Jacobin matriisilla Iteraatioaskeleeksi saadaan missä on :n käänteismatriisi.
Esimerkki
Etsitään , kun ja
Saadaan
ja voidaan laskea
mikä on terveellisintä tehdä tietokoneella.
Nähdään, että iteraatiot konvergoivat kohti pistettä , joka on tehtävän tarkka (ja kaikesta päätellen ainoa) ratkaisu.
7. Taso- ja avaruusintegraalit
7.1. Tasointegraali
Tasointegraali
Olkoon joukko tasossa ja skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali Integraalin arvo on pinnan ja -tason väliin jäävän alueen tilavuus.
Tutkitaan aluksi erikoistapausta .
Yhden muuttujan tapaus
Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona.
Formaalisti missä on välin tasavälinen jako ja on jakovälin pituus.
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, )
Jaetaan tason osajoukko tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on jakopistettä.
Nyt voidaan määritellä missä ja sekä vastaavat jakovälien pituutta ja -suunnassa:
Huomautuksia
Yhden muuttujan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin (ensimmäinen) peruslause: ja on jatkuva funktio.
Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Analyysin peruslauseella ei kuitenkaan ole aivan samanlaista vastinetta usean muuttujan tapauksessa; Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseet ovat kuitenkin sille sukua.
Moninkertainen integraali
Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmio)
Mikäli funktio on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on.
Esimerkki
Olkoon . Lasketaan
Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan \begin{align*} \iint_D xy^2\,dA &= \int_0^1\int_0^1 xy^2\,dx\,dy = \int_0^1\bigg[\frac{x^2y^2}{2}\bigg]_{x=0}^{1}\,dy \\ &= \int_0^1 \frac{y^2}{2}\,dy \bigg[\frac{y^3}{6}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{6}. \end{align*}
Integrointi yleisemmissä alueissa
Tutkitaan funktiota , joka on määritelty tason osajoukossa . Tähän asti on oletettu, että on suorakulmio. Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota , jolle . Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla ''siisti'' (riittää esimerkiksi, että reuna on paloittain sileä).
Määritellään funktio seuraavasti: Nyt voidaan määritellä Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: kun on suorakulmainen särmiö ja .
Esimerkki
Olkoon . Lasketaan funktion integraali yli alueen .
\begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_0^x xy\,dy\bigg)dx \\ &\quad \int_0^1\frac{xy^2}{2}\bigg|_{y=0}^x\,dx = \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{x^4}{8}\bigg|_{x=0}^1 =\frac{1}{8}. \end{align*} Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: \begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_y^1 xy\,dx\bigg)dy \\ &\quad = \int_0^1\frac{x^2y}{2}\bigg|_{x=y}^1\,dy = \int_0^1\frac{y}{2}-\frac{y^3}{2}\,dy \\ &\quad = \bigg[\frac{y^2}{4}-\frac{y^4}{8}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{8} = \frac{1}{8}. \\ \end{align*}
Esimerkki
7.2. Avaruusintegraali
Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali, )
Tasointegraalia mukaillen voidaan samaan tapaan määritellä avaruusintegraali: kun ja . Tässä Vieläkin useamman muuttujan funktioita , missä , voi integroida samaan tapaan.
Huomautuksia
Yhden muuttujan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin (ensimmäinen) peruslause: ja on jatkuva funktio.
Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Analyysin peruslauseella ei kuitenkaan ole aivan samanlaista vastinetta usean muuttujan tapauksessa; Greenin, Gaussin ja Stokesin lauseet ovat kuitenkin sille sukua.
Moninkertainen integraali
Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) kun .
Mikäli funktio on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on.
Esimerkki
Olkoon . LasketaanKirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan \begin{align*} &\iiint_D xye^z\,dV = \int_{-1}^1\int_0^1\int_0^2 xye^z\,dx\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1\int_0^1 \frac{x^2ye^z}{2}\bigg|_{x=0}^2\,dy\,dz = \int_{-1}^1\int_0^1 2ye^z\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1 y^2e^z\bigg|_{y=0}^1\,dz = \int_{-1}^1 e^z\,dz = e^z\Big|_{z=-1}^1 = e -e^{-1}. \end{align*}
Integrointi yleisemmissä alueissa
Tutkitaan funktiota , joka on määritelty avaruuden osajoukossa . Tähän asti on oletettu, että on suorakulmainen särmiö. Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmaista särmiötä , jolle . Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla ''siisti'' (riittää esimerkiksi, että reuna on paloittain sileä).
Määritellään funktio seuraavasti: Nyt voidaan määritellä avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: kun on suorakulmainen särmiö ja .
7.3. Taso- ja avaruusintegraalien sovelluksia
Moninkertaisten integraalien sovelluksia
Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt:
Mekaniikassa tulevat lisäksi vastaan nämä:
Kappaleen massa ja hitausmomentti kappaleen pyöriessä -akselin ympäri: Tässä on materiaalin tiheys pisteessä .
Kaksiulotteisen tasolevyn keskiön (painopiste) laskeminen jossa pinta-ala on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin.
Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä jossa massa lasketaan tasointegraalilla.
Massakeskipiste
Kolmiulotteisen kappaleen massakeskipiste missä on kappaleen tiheys pisteessä ja on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa missä .
Esimerkki
Lasketaan epäyhtälöiden , ja määräämän yksikkökuution massakeskipiste, kun tiheys .
Huomautus. Yksikkökuutio voidaan myös määritellä käyttäen niin kutsuttua karteesista tuloa: Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla.
Vastaavasti Edelleen voidaan laskea Massakeskipisteeksi saadaan
Hitausmomentti
Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa -tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella.
Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa missä on kulmanopeus ja , sekä ovat :nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa kutsutaan hitausmomentiksi. Ajattelemalla -akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi "infinitesimaalisen pieniä" pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: missä on kappaleen hitausmomentti -akselin suhteen ( ja massa-alkio ).
Esimerkki
Lasketaan sylinterin hitausmomentti -akselin suhteen, kun tiheys on vakio .
Lasketaan Toisaalta sylinterin massa on Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa
7.4. Yleinen muuttujanvaihto
Muuttujanvaihto tasointegraaleissa
Tutkitaan funktiota , missä ja ovat :n osajoukkoja. Oletetaan, että funktion kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Lisäksi oletetaan, että on bijektio: Jokaista pistettä vastaa yksikäsitteinen piste , jolle . Tällöin erityisesti .
Tutkitaan aluksi muuttujanvaihtoa tasointegraalin tapauksessa: Tarvitaan tieto siitä, miten pinta-ala skaalautuu funktiossa .
Ketjusäännöllä Edettäessä vektorin suuntaan -koordinaateissa, koordinaatti on vakio ja siten . Saadaan Samaan tapaan voidaan päätellä, että Tässä ja ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit.
Approksimaatiokaava pinta-alaelementin muutokselle siis on Käytetään merkintää (huom. neliömatriiseille ) Determinantti on funktion Jacobin determinantti. Sille käytetään myös merkintää
Jacobin determinantin itseisarvo kertoo paikallisen pinta-alan muutoksen kuvattaessa -koordinaattien infinitesimaalinen pinta-ala vastaavalle -koordinaateissa lausutulle pinta-alalle funktion välityksellä.
Tasointegraalin muuttujanvaihtokaavaksi siis saadaan missä ja . Tässä on integroimisalueiden ja välinen bijektio. Jacobin determinantin etumerkki kertoo, onko suunnan säilyttävä vai kääntävä. Itseisarvo tarvitaan, jotta positiivisen funktion integraali ei muuttuisi negatiiviseksi eräillä .
Esimerkki
Lasketaan neljän paraabelin , , ja rajoittamaan alueen pinta-ala.
Huomataan, että integroimisalue kuvautuu suorakulmioksi muunnoksella
Halutaan kuitenkin käänteiskuvaus , joka vie koordinaatit käyräviivaisille -koordinaateille. Lineaarialgebran perusteella Lasketaan Saadaan myös
Lasketaan edelleen Tulokseksi siis saadaan Yleensä ei käy niin onnellisesti, että sama koordinaatistomuunnos vie integroitavan alueen suorakulmiolle samalla kun integroitava funktio menee vakioksi.
7.5. Muuttujanvaihto tasointegraalissa
Napakoordinaatit
Piste voidaan kirjoittaa muodossa , missä ja . Napakulma on yksikäsitteinen jos .
Alkeisgeometriasta saadaan kaavat Vrt. kompleksiluvun polaarimuoto .
Koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantille saadaan kaava Siten muuttujanvaihtokaavaa varten saadaan pinta-alan venytys Tasointegraali napakoordinaateissa missä .
Esimerkki
(i) Olkoon . Lasketaan napakoordinaateissa integraali Saadaan
(ii) Integraali on erittäin tärkeä mm. todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Tämä integraali on vaikea, koska integraalifunktiota ei ole mahdollista kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla.
Integraali on kuitenkin mahdollista laskea seuraavan tempun avulla: Huomataan aluksi, että Laskemalla epäoleellinen tasointegraali napakoordinaateissa
Nyt , joten integraaliksi saadaan: Viemällä tulee ja siitä alkuperäisen integraalin arvo Miksi temppu toimi?
7.6. Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa
Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa
Muunnoskaavat ovat Tällöin missä Jos siis , niin
Sylinterikoordinaatit
Koordinaatit , missä , , . Suoralla (eli -akselilla) napakulma ei ole yksikäsitteinen.Tällöin muunnoskaavat ovat \begin{align*} \begin{cases} x &= r\cos\theta, \\ y &= r\sin\theta, \\ z &= z. \end{cases} \end{align*} Ja muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan
Sylinterikoordinaateissa on helppo esittää pyörähdyskappaleita -akselin ympäri muodossa missä on ei-negatiivinen funktio. Sylinterisymmetriset tehtävät!
Esimerkki
Lasketaan funktion määräämän pyörähdyskappaleen tilavuus mikä lienee tuttu kaava.
Pallokoordinaatit
Korotus- eli napakulmaa käytetään usein :n sijasta. Atsimuuttikulma ja korotuskulma ovat yksikäsitteisiä, jos pisteen etäisyys -akselista . Muunnoskaavat ovat \begin{align*} \begin{cases} x&=r\sin\phi \cos\theta,\\ y&=r\sin\phi \sin\theta,\\ z&=r\cos\phi, \end{cases} \end{align*} ja muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan
Esimerkki
7.7. Epäoleelliset integraalit. Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
Epäoleelliset integraalit
Tähän asti integrointi on tapahtunut rajoitetussa alueessa rajoitetulle funktiolle (integrandille). Joskus voidaan kuitenkin integroida rajoittamattomia funktioita ja/tai rajoittamattomassa alueessa.
Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio on ei-negatiivinen eli kaikilla . Lasketaan funktion integraali alueessa suorien rajoittamassa rajoittamattomassa alueessa , jossa . Mikäli integraali on suppenee, sen arvo saadaan laskemalla Integraalin laskemiseksi huomataan, että . Siten
Esimerkki
Olkoon ja rajoittamaton funktio .
(ii) Lasketaan saman funktion integraali alueessa Suppeneminen riippuu integroitavan funktion lisäksi myös alueesta!
7.8. Pintaintegraali
Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa
Tutkitaan kaksiulotteista kaareutuvaa pintaa , joka on (piirtämisen helpottamiseksi) -tason yläpuolella avaruudessa .
Tarkastellaan aluksi -tason neliön yläpuolelle jäävän osan pinta-alaa. Se on ilmeisesti suurempi tai yhtäsuuri kuin vastaavan neliön pinta-ala.
Tästä johtuen pinta-aladifferentiaali on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuin . Itseasiassa saadaan, jos projisoidaan -tasoon. Projektio voidaan kirjoittaa kaavana missä on pinnan normaalivektorin ja -akselin suuntaisen yksikkövektorin välinen kulma. Toisaalta pistetulon määritelmästä saadaan ja siis
Aikaisemmin on johdettu pinnan (ylöspäin suunnatulle) normaalivektorille esitys Saadaan Lisäksi ja , joten Kaltevuuden huomioiva korjaustekijä yleistää tasointegraalin pintaintegraaliksi.
Esimerkki
Tarkastellaan sylinterin , leikkaamaa palasta hyperbolisesta paraboloidista . Mikä on palasen pinta-ala?
Lasketaan Siten pinta-aladifferentiaaliksi saadaan napakoordinaateissa ilmaistuna.