MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), 07.01.2019-18.02.2019
Kurssiasetusten perusteella kurssi on päättynyt 18.02.2019 Etsi kursseja: MS-A0201
Luentomateriaali e-kirjana
Suorituksen vaatimukset
Tätä verkkomateriaalia ovat olleet kehittämässä Harri Hakula, Pekka Alestalo, Jarmo Malinen, Riikka Korte ja Antti Rasila. Verkkomateriaaliksi kääntänyt Miko Karjalainen
Licence/Lisenssi CC BY-SA
Taso- ja avaruusintegraalit
Tasointegraali
Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^2\) joukko tasossa ja \(f\colon D\to \mathbb{R}\) skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali \[ \iint_D f(x,y)\,dA. \]Integraalin arvo on pinnan \(z=f(x,y)\) ja \(xy\)-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta \(D=[a,b]\times [c,d]\).
Yhden muuttujan tapaus
Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona.missä \(a=x_0,x_1,\ldots,x_n=b\) on välin \([a,b]\) tasavälinen jako ja \(\Delta x\) on jakovälin pituus.
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, \(\mathbb{R}^2\))
Jaetaan tason osajoukko \(D=[a,b]\times [c,d]\) tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on \(n\) jakopistettä.missä \(\Delta x\) ja \(\Delta y\) vastaavat jakovälien pituutta \(x\) ja \(y\)-suunnassa: \[ \Delta x= \frac{b-a}{n},\quad \Delta y = \frac{d-c}{n}. \]
Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali, \(\mathbb{R}^3\))
Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: \[ \iiint_D f(x,y,y)\,dV = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n f(x_i,y_j,z_k)\,\Delta x\Delta y\Delta z, \]kun \(D=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times[a_3,b_3] \subset \mathbb{R}^2\) ja \(f\colon D\to \mathbb{R}\). Tässä \[ \Delta x = \frac{b_1-a_1}{n},\quad \Delta y = \frac{b_2-a_2}{n}\text{ ja } \Delta z = \frac{b_3-a_3}{n}. \]
Vieläkin useamman muuttujan funktioita \(f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), missä \(n\ge 2\), voi integroida samaan tapaan.
Huomautuksia
Yhden muuttujan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin (ensimmäinen) peruslause: \[ f(x)=\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt,\textrm{ kun }c,x\in[a,b] \]ja \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei kuitenkaan ole yksikäsitteistä, selkeää vastinetta usean muuttujan tapauksessa.
Moninkertainen integraali
Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) \[ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy,\text{ kun } D=[a,b]\times [c,d]. \]Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) \[ \iiint_D f(x,y,z)\,dV = \int_{a_3}^{b_3}\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz, \]
kun \(D=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]\). Mikäli funktio \(f\colon \mathbb{R}n \to \mathbb{R}\) (\(n=2,3,\ldots\)) on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. \alert{Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on.}
Esimerkki
Olkoon \(f(x,y)=xy^2\). Lasketaan \[ \iint_D f(x,y)\,dA,\text{ missä } D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le1, \,0\le y\le 1\}. \]Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan \begin{align*} \iint_D xy^2\,dA &= \int_0^1\int_0^1 xy^2\,dx\,dy = \int_0^1\bigg[\frac{x^2y^2}{2}\bigg]_{x=0}^{1}\,dy \\ &= \int_0^1 \frac{y^2}{2}\,dy \bigg[\frac{y^3}{6}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{6}. \end{align*}
Esimerkki
Olkoon \(f(x,y,z)=xye^z\). Lasketaan \[ \iiint_D f(x,y,z)\,dV,\text{ missä } D=[0,2]\times [0,1] \times [-1,1]. \]Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan \begin{align*} &\iiint_D xye^z\,dV = \int_{-1}^1\int_0^1\int_0^2 xye^z\,dx\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1\int_0^1 \frac{x^2ye^z}{2}\bigg|_{x=0}^2\,dy\,dz = \int_{-1}^1\int_0^1 2ye^z\,dy\,dz \\ &\quad = \int_{-1}^1 y^2e^z\bigg|_{y=0}^1\,dz = \int_{-1}^1 e^z\,dz = e^z\Big|_{z=-1}^1 = e -e^{-1}. \end{align*}
Integrointi yleisemmissä alueissa
Tutkitaan funktiota \(f\colon D\to \mathbb{R}\), joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa \(D\). Tähän asti on oletettu, että \(D\) on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota \(\hat D\), jolle \(D\subset \hat D\). Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon \(D\) olla ''siisti'' (riittää esimerkiksi, että reuna on paloittain sileä).
Määritellään funktio \(\hat f\colon \hat D \to \mathbb{R}\) seuraavasti:
\[
\hat f(x,y) = \left\{
\begin{array}{rcl} f(x,y), &\text{kun} &(x,y) \in D,\\
0, & \text{kun} & (x,y) \in \hat D \setminus D.
\end{array}\right.
\]
Nyt voidaan määritellä
\[
\iint_D f(x,y)\,dA := \iint_{\hat D} \hat f(x,y)\,dA.
\]
Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa:
\[
\iiint_D f(x,y,z)\,dV := \iiint_{\hat D} \hat f(x,y,z)\,dV,
\]
kun \(\hat D\) on suorakulmainen särmiö ja \(D \subset \hat D\).
Esimerkki
Olkoon \(D=\lbrace(x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1,\, 0 < y < x \rbrace.\) Lasketaan funktion \(f(x,y)=xy\) integraali yli alueen \(D\).\begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_0^x xy\,dy\bigg)dx \\ &\quad \int_0^1\frac{xy^2}{2}\bigg|_{y=0}^x\,dx = \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{x^4}{8}\bigg|_{x=0}^1 =\frac{1}{8}. \end{align*} Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: \begin{align*} &\iint_D xy\,dA = \int_0^1\bigg(\int_y^1 xy\,dx\bigg)dy \\ &\quad = \int_0^1\frac{x^2y}{2}\bigg|_{x=y}^1\,dy = \int_0^1\frac{y}{2}-\frac{y^3}{2}\,dy \\ &\quad = \bigg[\frac{y^2}{4}-\frac{y^4}{8}\bigg]_{y=0}^1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{8} = \frac{1}{8}. \\ \end{align*}
Esimerkki
Lasketaan funktion \(f(x,y)=e^{x^2}\) integraali edellisen esimerkin alueessa. \[ \iint_D e^{x^2}\,dA = \int_0^1\bigg(\int_0^x e^{x^2}\,dy\bigg)dx =\int_0^1 xe^{x^2}\,dx \]Sijoituksella \(t=x^2\), \(dt=2x\,dx\) saadaan \[ \frac{1}{2}\int_0^1e^t\,dt = \frac{1}{2}e^t\bigg|_{t=0}^1 = \frac{e}{2}-\frac{1}{2}. \]
Huomautus. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali
\[
\int_0^1\bigg(\int_y^1e^{x^2}\,dx\bigg)dy
\]
on "hyvin vaikea" laskea.
on "hyvin vaikea" laskea.