ELEC-A3110 - Mekaniikka, 07.09.2020-10.12.2020
This course space end date is set to 10.12.2020 Search Courses: ELEC-A3110
17. Aaltoliike
Tässä osassa perehdytään aaltoihin ja aaltoliikkeeseen. Aaltoliikettä voi esiintyä monissa eri väliaineissa, ja jopa ilman väliainetta, kuten valon tapauksessa. Kaikkia näitä tapauksia voidaan kuitenkin kuvata samojen periaatteiden ja matemaattisten lausekkeiden avulla, mikä tekee aaltoliikkeestä toisen äärimmäisen tärkeän fysikaalisen mallin harmonisen liikkeen lisäksi. Itseasiassa aaltoliike muodostuukin jatkuvasta (äärettömästä!) joukosta toisiinsa kytkettyjä harmonisia värähtelijöitä, kuten tullaan näkemään.
Ensimmäisellä videolla perehdytään aaltoliikkeen matemaattiseen kuvaamiseen. Tällä videolla perehdytään erityisesti yksinkertaisimpiin mahdollisiin aaltoihin, siniaaltoihin, joita voidaan kuvata vain kolmen perusparametrin avulla: amplitudi, taajuus ja aallonpituus. Yleisesti ottaen aaltoliikettä avaruudessa kuvataan aaltofunktiolla, joka kertoo väliaineen poikkeaman tasapainoasemastaan paikassa \(x\) ajanhetkellä \(t\). Jotta jokin funktio kelpaisi aaltofunktioksi, niin sen täytyy toteuttaa aaltoyhtälö. Sori vaan kaverit, mutta meillä on standardit. Aaltoyhtälön ilmaantuminen jonkin fysikaalisen systeemin kuvauksessa onkin varma merkki siitä, että systeemissä voi esiintyä jonkinlaista aaltoliikettä. Aaltojen matemaattiseen kuvaamiseen keskitytään myös kurssikirjan kappaleissa 15.2 ja 15.3.
Tällä videolla tarkastellaan erilaisia esimerkkejä mekaanisesta aaltoliikkeestä. Olemmehan mekaniikan kurssilla. Köydessä tai narussa eteneviin poikittaiset aallot toimivat kanoonisena esimerkkinä mekaanisesta aaltoliikkeestä, johon perehdytään hieman syvemmin. Ensinnäkin todistetaan matemaattisen aukottomasti, että köydessä voi edetä aaltoliikettä --- yllätys, yllätys --- johtamalla aaltoyhtälö köydessä eteneville värähdyksille suoraan Newtonin 2. laista köyden eri osille. Samalla nähdään, miten aaltoyhtälöstä voi suoraan päätellä aallon vaihenopeuden väliaineessa, ja miten se riippuu jännitysvoimasta ja köyden massasta köyden tapauksessa. Lisäksi johdetaan yleinen kaava aaltoliikkeen kuljettamalle energialle. Näitä asioita käsitellään myös kurssikirjan kappaleissa 15.1, 15.4 ja 15.5.
No, mitäs sitten, jos väliaineessa liikkuukin useampi aalto yhtäaikaisesti? Miten aallot vuorovaikuttavat keskenään? Lyhyt vastaus on, että ei mitenkään. Aaltoja kuvaavat aaltofunktiot summautuvat kokonaisaaltofunktioksi, ja aaltoyhtälön lineaarisuudesta johtuen osa-aallot kehittyvät ajassa täysin toisistaan riippumatta. Tätä ominaisuutta kutsutaan yleisesti aaltojen superpositioksi. Huolimatta siitä, että osa-aallot eivät suoranaisesti vaikuta toisiinsa, niin erivaiheisten/-taajuuksisten aaltojen summautuminen voi kuitenkin johtaa varsin mielenkiintoisiin lopputuloksiin, mitä kutsutaan interferenssiksi. Riippuen aaltojen suhteellisesta vaiheesta, ne voivat esimerkiksi joko vahvistaa ("konstruktiivinen" interferenssi) tai heikentää ("destruktiivinen" interferenssi) toisiaan. Interferenssiä tutkitaan erityisesti siniaaltojen tapauksessa, ja havainnollistetaan korvia raastavan demonstraation avulla. Superpositiota ja interferenssiä käsitellään myös kurssikirjan kappaleessa 15.6.
Viimeisellä videolla puhutaan yleisemmin aaltoyhtälön ratkaisemisesta erilaisissa tilanteissa. Aaltoyhtälö kuvaa aaltojen etenemistä väliaineessa, mutta kun väliaine vaihtuu tai loppuu, niin tällöin aaltoyhtälön lisäksi tarvitaan rajapintoja kuvaavat reunaehdot. Havainnollistetaan tätä tarkastelemalla erityisesti tilannetta, jossa köysi on kiinnitetty molemmista päistään paikoilleen. Ratkaistaan aaltoyhtälö tässä tapauksessa yksinkertaisella sinimuotoisella yritteellä, ja ratkaisuiksi löydetään ääretön joukko seisovia aaltoja. Näitä seisovia aaltoja kutsutaan köyden aaltoliikkeen normaalitiloiksi, joissa kaikki köyden pisteet värähtelevät samalla taajuudella ja samassa vaiheessa keskenään. Superpositioperiaatteen nojalla mikä tahansa normaalitilojen lineaarikombinaatio on myös aaltoyhtälön ratkaisu. Itseasiassa mikä tahansa muu reunaehdot toteuttava aaltofunktio on normaalitilojen superpositio. Tästä soljutaankin sulavasti ääretön ulotteisiin vektoriavaruuksiin ja Fourier-analyysin perusteisiin, joiden avulla voidaan johtaa aaltoyhtälön yleinen ratkaisu päistään kiinnitetylle köydelle.
Lisämateriaalia
Aaltoliikedemonstraatio - Demossa näytetään, kuinka aallon etenemisnopeus on riippuvainen köyden kireydestä (jännityksestä).