MS-A0201 Diff. int. 2 (TFM)

Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

Harri Hakula  /Kevät 2022

Yksinkertaisia esimerkkejä: Tavallinen funktio

r (t) = t i + sin (π t) j, t ∈ [-1, 1]

ParametricPlot[{t,Sin[Pi t]},{t,-1,1}]

Yksinkertaisia esimerkkejä: Avaruuskäyrä

Helix: r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j + b t k, t ∈ I, a,b > 0

ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],0.2 t},{t,-2Pi,2Pi},PlotLabel->"a=1, b=1/5, t ∈ [-2π,2π]",LabelStyle->16]

Yksinkertaisia esimerkkejä: Avaruuskäyrä

Helix: r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j + b t k, t ∈ I, a,b > 0

Manipulate[ParametricPlot3D[{a Cos[t],a Sin[t],b t},{t,-2Pi,2Pi}],{a,1,10,1},{b,0.1,1}]

Avaruuskäyrän tangenttivektori

Helix: 
r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j + b t k, t ∈ I, a,b > 0
r’(c) = -a sin(c) i + a cos(c) j + b k, c ∈ I, a,b > 0

Manipulate[Show[
ParametricPlot3D[
{a Cos[t],a Sin[t],b t},{t,-2Pi,2Pi}],
Graphics3D[{Thick,Arrow[{{a Cos[c],a Sin[c],b c},{a Cos[c],a Sin[c],b c}+{-a Sin[c],a Cos[c],b}}]}],PlotRange->All
],{a,1,10,1},{b,0.1,1},{c,-2Pi,2Pi}]

Avaruuskäyrän pituus

Helix: 
r(t) = a cos(t) i + a sin(t) j + b t k, t ∈ I, a,b > 0
r’(t) = -a sin(t) i + a cos(t) j + b k, t ∈ I, a,b > 0
||r’(t)||=(Sqrt[(a^2) + (b^2)])
Kaarenpituus l(c) = (∫_(-2π)^c)||r'(t)||dt

Manipulate[Show[
ParametricPlot3D[
{a Cos[t],a Sin[t],b t},{t,-2Pi,2Pi},PlotStyle->Thin],
ParametricPlot3D[
{a Cos[t],a Sin[t],b t},{t,-2Pi,c},PlotStyle->{Thick,Red}],PlotRange->All,PlotLabel->"l(c) = "<> ToString@NIntegrate[Sqrt[a^2+b^2],{t,-2Pi,c}],LabelStyle->16
],{a,1,10,1},{b,0.1,1},{c,-2Pi+.1,2Pi}]