MS-A0201 Diff. int. 2 (TFM)

Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta

Harri Hakula  /Kevät 2022

Suunnattu derivaatta

Tarkastellaan taas kerran satulaa eli kahden muuttujan funktiota f(x,y) = (x^2)-(y^2).

GraphicsGrid[{{Plot3D[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}],ContourPlot[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}]}},ImageSize->Full]

Suunnattu derivaatta

Mikä on kasvunopeus pisteessä (1,1) suuntaan u = (1/(Sqrt[5]))(i + 2 j)?

Show[ContourPlot[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}],Graphics[Arrow[{{1,1},{1+1/Sqrt[5],1+2/Sqrt[5]}}]],ImageSize->Full]

Suunnattu derivaatta

Suora pisteen (1,1) kautta suuntaan u = (1/(Sqrt[5]))(i + 2 j) on y = f(x) = 2(x-1)+1.

Show[ContourPlot[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}],Plot[2(x-1)+1,{x,-5,5},PlotStyle->{Thick,Black}],Graphics[Arrow[{{1,1},{1+1/Sqrt[5],1+2/Sqrt[5]}}]],ImageSize->Full]

Suunnattu derivaatta

pts = Table[{t, 2*(t - 1) + 1, t^2 - (2*(t - 1) + 1)^2}, 
    {t, Range[-2, 4, 1/10]}]; 
GraphicsGrid[{{Show[Plot3D[x^2 - y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}], 
     Graphics3D[{Red, PointSize[0.02], Point[pts]}]], 
    Show[Plot[Interpolation[pts[[All,{1, 3}]], x], 
      {x, -2^(-1), 3/2}], Plot[t^2 - (2*(t - 1) + 1)^2, 
      {t, -2^(-1), 3/2}, PlotStyle -> {Thick, Black}]]}}, 
  ImageSize -> Full]

Suunnattu derivaatta (VÄÄRIN)

Pinnan rajoittuma suoralle, joka kulkee pisteen (1,1) kautta suuntaan u = (1/(Sqrt[5]))(i + 2 j) on z(t) = (((t))^2)-(((2( t-1)+1))^2).
Pitää kuitenkin olla tarkkana!

D[(t)^2-(2((t)-1)+1)^2,t]/.t->1//Simplify

(t)^2-(2((t)-1)+1)^2/.t->1

Show[Plot[(t)^2-(2((t)-1)+1)^2,{t,0,3},PlotStyle->{Thick,Black}],
Plot[(-2)(x-1),{x,0,3},PlotStyle->Red],Axes->False,Frame->True,DataRange->{{0,3Sqrt[5]},All}]

Suunnattu derivaatta (OIKEIN)

Pinnan rajoittuma suoralle, joka kulkee pisteen (1,1) kautta suuntaan u = (1/(Sqrt[5]))(i + 2 j) on z(t) = (((t))^2)-(((2( t-1)+1))^2).
Parametri t muuttuu suunnassa u eli oikea skaalaus (tai nopeus) on t /(Sqrt[5]).

D[(t/Sqrt[5])^2-(2((t/Sqrt[5])-1)+1)^2,t]/.t->Sqrt[5]//Simplify

(t/Sqrt[5])^2-(2((t/Sqrt[5])-1)+1)^2/.t->Sqrt[5]

Show[Plot[(t/Sqrt[5])^2-(2((t/Sqrt[5])-1)+1)^2,{t,0,3},PlotStyle->{Thick,Black}],
Plot[(-2/Sqrt[5])(x-Sqrt[5]),{x,0,3},PlotStyle->Red],Axes->False,Frame->True]