PHYS-A0140 - Aineen rakenne (TFM), Luento-opetus, 19.4.2022-27.5.2022
This course space end date is set to 27.05.2022 Search Courses: PHYS-A0140
Topic outline
-
-
Ihan lyhyt katsaus tulevaan kurssiin.
-
Tarkastellaan kvanttimekaanista hiukkasta, jolla on kaksi vapausastetta (ominaisuutta) joilla on vain kaksi mahdollista arvoa.
-
Hiukkasen kaksi ominaisuutta (ylös-alas ja vasen-oikea) ovat toisistaan riippumattomat. Silti toisen määritys muuttaa toisen arvon.
-
Ei-kommutoivat operaatiot ovat sellaisia, joissa järjestyksellä on merkitystä. Mikäli näihin operaatioihin liittyy jotkin mitattavat suureet (hiukkasen kaksi ominaisuutta) kutsutaan niitä konjugaattimuuttujiksi. Tällaisia ovat esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä, jotka eivät ole yhtä aikaa hyvin määriteltyjä. Vastaavia konjugaattimuuttujia on kuitenkin muitakin.
-
Interferometri on laite, jossa hiukkasella on kaksi tai useampi reitti kulkea havaintolaitteelle. Hiukkasen kulkema reitti interferometrissa ei ole hyvin määritelty. Klassisen maailman ajatustavalla mikään hiukkasen tapa kulkea interferometrin läpi ei selitä havaintoja. Kvanttimekaaninen tulkinta on, että hiukkanen on kahden polun superpositiossa, mille ei ole analogiaa klassisen maailman kokemuspiirissämme.
-
Keskiviikon luennolla käsitellään aaltoliikettä yhdessä ulottuvuudessa.
-
Tarkastellaan etenevää aaltoa slinkyssä. Jouset jaksollinen liikutus saa aikaiseksi vastaavan jaksollisen aallon. Pikaisesti kerrataan käsitteet jaksonaika, taajuus, kulmataajuus, amplitudi ja aallonpituus.
-
Johdamme aaltoyhtälön väliaineella jossa etenevät aallot säilyttävät muotonsa, eli ei-dispersoivalle väliaineelle.
-
Esimerkkinä dispersoivasta aaltoyhtälöstä tarkastellaan jäykän jousen aaltoja. Lisäksi todetaan, että saatu liikeyhtälö kuvaa todellakin aaltoja, eli se on lineaarinen. Lineaarisuudesta seuraa kaikki tutut aaltojen ominaisuudet: superpositioperiaate, interferenssi, diffraktio yms.
-
Ratkaistaan yritteellä jäykän jousen aaltoyhtälö ja johdetaan sen dispersiorelaatio, eli miten aallon taajuus riippuu aaltoluvusta k. Lisäksi demotaan hieman jäykän jousen dispersiota slinkyssä etenevällä äänellä (kuuluu aika heikosti videolla).
-
Maanantain luennolla käsitellään taittumista ja aineen taitekerrointa. Tarkastelemme lisäksi kriittisesti luennon esitehtävän Science Asylum-videon sirontakuvaa.
-
Lyhyt pläjäys tutusta taittumislaista, eli Snellin laista. Aallon siirtyessä kahden väliaineen välillä, joilla on erisuuret taitekertoimet, aallon kulkusuunta muuttuu. Tämä johtuu aallon etenemisnopeuden muuttumisesta.
-
Tarkastellaan aineen taitekerrointa, eli miksi aallon etenemisnopeus riippuu väliaineesta.
-
Jatkamme aallon etenemisen analysointia väliaineessa ja erityisesti harmoniselle aallolle aiheutuvaa vaihesiirtoa. Tämä vaihesiirto näyttäytyy aallon etenemisnopeuden muutoksena. On kuitenkin tärkeä ymmärtää, että kyseessä on vaihenopeus, eli nimenomaan harmonisen aallon eteneminen. Vaihenopeus voi olla väliaineesta riippuen jopa (tyhjiön) valonnopeutta suurempi, mikä vastaisi taitekerrointa jonka suuruus on alle yksi. Taitekerroin voi olla myös kompleksinen, jolloin taitekertoimen imaginaariosa kuvaa aallon absorptiota väliaineeseen.
-
Esitämme vielä Snellin taittumislain tasoaallolle sopivin käsittein. Lisäksi lyhyesti kerrataan kokonaisheijastuminen.
-
Keskiviikon luennolla käsittellään diffraktiota, erityisesti yhden ja kahden raon interferenssikuviota.
-
Käsitellään aluksi maanantain luennon taitekertoimen sovellusta, eli ilmakehän lämpötilaeroista sekä valtamerien paineen ja lämpötilaeroista aiheutuvia 'äänikanavia'.
-
Demotaan laserilla yhden raon diffraktiota sekä kahden raon diffraktiota. Kahden raon diffraktiokuvio syntyy kun kahdesta raosta tulevat 'yhden raon diffraktiokuviot' yhdistyvät eli interferoivat.
-
Selitetään Huygensin palloaaltojen hengessä yhden raon diffraktiokuvio: se syntyy kun kaikista raon pisteistä lähtevät aallot interferoivat varjostimella.
-
Pieni sivupolku jolla laskemme elektronin muodostaman sähkökentän kokonaisenergian.
-
Demotaan vielä yhtä interferometrikoeasetelmaa eli Mach-Zehnder interferometri. Tulemme käyttämään tätä myös seuraavalla viikolla.
-
Maanantain luennolla käsitellään massallisen hiukkasen (elektroni, fullereeni) diffraktiokokeita.
-
Jatketaan vielä kuitenkin hieman edellisviikkoista elektronin sähkökentän tarkastelua. Sauter-Schwinger efekti on relativistisen kvanttimekaniikan ennuste, että riittävän voimakkaassa sähkökentässä voi spontaanisti syntyä positroni-elektroni-pareja. Tämä hypoteettinen efekti voidaan kuitenkin havaita analogisessa systeemissä, eli puolijohteissa jossa fotoni voi synnyttää elektroni-aukko-parin.
-
de Broglien relaatiot massallisille (ja massattomille!) hiukkasille määrittävät hiukkaselle aallonpituuden (tai aaltoluvun) sekä kulmataajuuden. Näistä relaatioista seuraa sitten esimerkiksi hiukkasen aaltofunktion dispersiorelaatio.
-
Tarkastellaan hieman hiukkasen diffraktiokuviota kaksoisrakojärjestelmässä sekä vaihtoehtoista Talbot-Lau-interferometria, jota käytännössä on käytetty isojen molekyylien aaltoluonteen määrittämiseen.
-
Hiukkasten diffraktiokuvio katoaa mikäli hiukkasten kulkema reitti mitataan. Esimerkiksi reitillä olevat hiukkaset (sillä koelaitteen tyhjiö ei ole täydellinen!) voivat vuorovaikuttaa diffraktoituvien hiukkasten kanssa, mikä kadottaa diffraktiokuvion.
-
Toinen diffraktoituvien hiukkasten reitin määrittävä tekijä on hiukkasen itsensä lähettämä lämpösäteily. Hiukkasen emittoima infrapunafotoni määrittää aallonpituutensa tarkkuudella hiukkasen paikan, mikä saattaa aallonpituudesta ja rakojen välisestä etäisyydestä riippuen paljastaa hiukkasen reitin. Infrapunafotonin aallonpituus riippuu hiukkasen lämpötilasta.
-
Keskiviikon luennolla esitellään kvanttimekaaninen aaltofunktio ja keskustellaan hieman mittauksen käsitteen ongelmia.
-
Kokeiden havaitsemat hiukkasten interferenssi-ilmiöt edellyttävät jonkinlaisen kvanttimekaanisen aaltofunktion käsitettä. Yksittäisen hiukkasen tapauksessa aaltofunktio kertoo todennäköisyysjakauman mittaustuloksille. Klassiset todennäköisyydet eivät kuitenkaan mahdollista esimerkiksi destruktiivista interferenssiä, joten aaltofunktion ja mittaustuloksen todennäköisyysjakauman yhteys ei ole aivan itsestään selvä.
-
Demotaan hieman matlab-simulaatiolla aaltopaketin aikakehitystä. Erityisesti tärkeää on ymmärtää kompleksisen aaltofunktion sekä mittaustulosten todennäköisyysjakauman välinen yhteys ja miten aaltofunktion käyttäytyminen selittää interferenssi-ilmiöt.
-
Pohditaan hieman tarkemmin mitä tarkoittaa 'mittaus', eli kvanttimekaanisen systeemin tilan lomittumista mittaavan systeemin kanssa. Mittauksessa on kyse systeemin ja mittaajan välisestä korrelaatiosta.
-
Demotaan mittauksen aiheuttamaa aaltopaketin romahdusta matlab-simulaatiolla. Heisenbergin mikroskoopissa hiukkasen paikan paljastaa hiukkasen lähettämä fotoni. Fotonin aallonpituus rajoittaa tarkkuutta millä hiukkasen (eli emission) paikka voidaan määrittää ja tällä on suoraan yhteys aaltofunktion romahdukseen.
-
Demotaan Mach-Zehnder interferometrillä sekä polarisoivilla linsseillä which way- ja quantum eraser-koetta. Which way-kokeessa fotonin polarisaatio kertoo mitä reittiä fotoni on interferometrissä kulkenut. Quantum eraser-kokeessa (kun fotonin polarisaatio mitataan 45 asteen kulmassa) polarisaation informaatio poistetaan.
-
Demotaan hieman valon polarisaatiota ja erityisesti tarkastellaan ympyräpolarisaatiota.
-
Maanantain luennolla esitellään Schrödingerin yhtälö, sen ajasta riippumattomat stationaariset ratkaisut sekä hieman tarpeellista lineaarialgebraa.
-
Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaanisen aaltofunktion aikakehitykset määräävä aaltoyhtälö. Tarkastellaan hieman keskeisiä oletuksia kurssilla käyttämässämme Schrödingerin yhtälössä.
-
Schrödingerin yhtälön ratkaisun ensimmäinen askel on stationaaristen tilojen ratkaisu, eli käyttämällä separoituvaa (ajassa vs paikassa) yritettä määritetään ajasta riippumattomat ratkaisut. Näin saadaan ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö, joka on samalla myös systeemiä kuvaavan Hamiltonin operaattorin ominaisarvoyhtälö. Tämän ominaisarvoyhtälön ratkaisut antavat stationaariset tilat (=ominaistilat) sekä niiden vaiheen 'pyörimisnopeuden' (=ominaisarvot eli ominaisenergiat).
-
Vilkaistaan hieman kvanttimekaniikassa käytettyä lineaarialgebraa. Kvanttimekaaninen aaltofunktio voidaan ymmärtää funktioavaruuden alkiona. Tämä funktioavaruus puolestaan on vektoriavaruus, jolle voidaan määritellä kantavektorit ja esimerkiksi sisätulorelaatio. Stationaariset tilat ovat esimerkki täydellisestä kannasta, jonka avulla voidaan esittää mielivaltainen kvanttimekaaninen aaltofunktio.
-
Lineaarialgebra osuus jatkuu. Esitellään bra-ket merkintä, jossa ket-vektorit (ja bra-vektorit) ovat kvanttimekaanisen systeemin tiloja.
-
Keskiviikon luennolla käsitellään kvanttimekaanisen aaltofunktion aikakehitystä ja erityisesti hiukkasta yksiulotteisessa potentiaalikuopassa.
-
Tarkastellaan laskareissa ratkottavia yksiulotteisen potentiaalikuopan ominaistiloja ja -energioita.
-
Analysoidaan hieman yksiulotteisen potentiaalikuopan ratkaisuja: miksi ne näyttävät siltä miltä ne näyttävät. Sovelletaan lisäksi näitä kvalitatiivisia havaintoja 'ratkaistaksemme' käsiä heilutellen äärellisen potentiaalikuopan sidotut ja sirontatilat.
-
Lyhyt pläjäys kompleksiluvuista ja luvun vaiheesta. Aluksi pieni katsaus vielä aaltofunktion aikakehitykseen.
-
Käytetään pientä matlab-simulaatiota ymmärtääksemme miten aaltofunktion aikakehitys ratkotaan esittämällä aaltofunktio stationaaristen tilojen lineaarikombinaationa ja kehittämällä kutakin stationaarista tilaa sen energiaa vastaavalla vaihekierrolla.
-
Viidennen viikon aiheena on vetyatomi ja sen energian ominaistilat ja -arvot sekä tilojen degeneraatio.
-
Vetyatomi on käytännössä elektroni Coulombin potentiaalin muotoisessa kolmiulotteisessa potentiaalikuopassa.
-
Monta asiaa meni nyt samaan klippiin. Perehdytään ensiksi siihen miksi elektronilla ensinkään on pienimmän mahdollisen energian ominaistila, eli siihen miten kineettinen energia ja potentiaalienergia kilpailevat keskenään. Sen jälkeen perehdymme muiden tilojen degeneraatioon, eli siihen miten samalla energian arvolla voi olla useita erilaisia tiloja. Degeneraatio on seurausta jonkinlaisista systeemin symmetrioista, jotka Coulombin potentiaalin tapauksessa ovat pallosymmetria sekä hieman abstraktimpi Runge-Lenz-vektorin symmetria. Pallosymmetriasta seuraa pyörimismäärän säilymislaki (kuten klassisessakin fysiikassa!) ja sen avulla voimmekin erottaa energialtaan degeneroituneet tilat toisistaan.
-
Symmetriat, säilymislait ja degeneraatio ovat yhteydessä observaabeleja kuvaavien operaattorien kommutaatiorelaatioihin. Mikäli kaksi operaattoria A ja B kommutoivat voidaan niille kirjoittaa yhteiset ominaistilat.
-
Esimerkkinä kommutaatiorelaatioista käsitellään kahta tapausta: liikemäärä operaattori ja kineettisen energian operaattori kommutoivat mutta toisaalta paikkaoperaattori ja liikemääräoperaattori eivät kommutoi.
-
Tarkastellaan hieman elektronin sidottuja ominaistiloja Coulombin potentiaalissa. Erityisesti ominaistilojen separoitumista radiaaliseen sekä kahteen kulmamuuttujaosaan ja miten kvanttiluvut n,l ja m näkyvät näiden funktioiden muodossa.
-
Katsotaan hieman matlab simulaatiota vedyn ominaistilojen radiaalisesta osasta. Lisäksi tutustutaan hieman Rydbergin atomiin, joka on atomi jonka yksi elektroni on viritetty hyvin korkeaenergiseen sidottuun tilaan.
-
Perehdytään vedyn energiatasokaavioon ja energiaspektriin. Vaikka yksinkertaisessa vetyatomimallissa osa energiatasoista on degeneroituneita, todellisuudessa energiatasot poikkeavat hieman toisistaan. Tämä on seurausta mallista puuttuvista korjaustermeistä, erityisesti elektronin spin-rata-vuorovaikutuksesta jossa elektronin spin magneettinen momentti kytkeytyy rataliikkeen muodostamaan magneettikenttään. Tämä synnyttää hienorakenteen energiaspektriin. Lisäksi elektronin ja ytimen (protonin) spinien magneettisten momenttien kytkeytyminen synnyttää hyperhienorakenteen.
-
Maanantain luennolla tarkastellaan elektronien identtisyydestä aiheutuvaa Paulin kieltosääntöä, monielektroniatomeja sekä Stern-Gerlach koeasetelmaa.
-
Hiukkasten identtisyydestä seuraa se, että monen hiukkasen aaltofunktion täytyy olla joko symmetrinen tai antisymmetrinen hiukkasten vaihdon suhteen. Tästä seuraa fermionien, esimerkiksi elektronien, tapauksessa Paulin kieltosääntö, eli kaksi elektronia ei voi olla samalla kvanttitilalla.
-
Tarkastellaan hieman kahden hiukkasen aaltofunktiota matlab-simulaatiolla. Ei-identtisten hiukkasten sekä identtisten fermionien (antisymmetrinen aaltofunktio) ja bosonien (symmetrinen aaltofunktio) eroavat toisistaan merkittävästi. Erityisesti odotusarvoinen etäisyys on symmetriselle aaltofunktiolle pienempi kuin antisymmetriselle aaltofunktiolle.
-
Tarkastellaan monielektroniatomeja ja niiden elektronikuorirakennetta: olettaen että elektronien tilat noudattavat (suunnilleen) vetyatomin tiloja, saadaan monielektroniatomien rakenne kun täytetään kvanttitiloja elektroni kerrallaan.
-
Kiinteän aineen vyörakenne saadaan kun vierekkäisten atomien (ionien) elektronien kvanttitilat kytkeytyvät toisiinsa, mahdollistaen elektronien liikkumisen ionilta toiselle.
-
Esitellään Stern-Gerlach koeasetelma. Kokeella oli tarkoitus testata Bohrin atomimallia.
-
Tarkastellaan klassisen sähkömagnetismin kautta Stern-Gerlach koeasetelmaa.
-
Keskiviikon luennolla käsitellään aineen magneettisuutta sekä viimeistellään Stern-Gerlach kokeen analysointi.
-
Demotaan hieman paramagneettia (alumiini) ja diamagneettia (lasi).
-
Perehdytään hieman mikroskooppisiin syihin mikä tekee aineesta para- tai diamagneettisen.
-
Ferromagnetismin selittämiseksi tarvitsemme vaihtovuorovaikutuksen, joka on seurausta elektronien identtisyydestä.
-
Jatketaan vielä maanantain Stern-Gerlach koeasetelman analysointia. Koelaitteisto käytännössä määrittää hopea-atomin uloimman 5s-kuoren elektronin spintilan z-komponentin. Kääntämällä laitteistoa pystytään toisaalta määrittämään x-komponentti. Eri komponentteja ei voida kuitenkaan yhtä aikaa tietää, koska yhden mittaus sotkee toisen tilan -- kyseessä on konjugaattisuureet.
-
Palaamme vielä tarkastelemaan viikon 1 ajatuskoetta. Ajatuskoe voidaan toteuttaa Stern-Gerlach laitteistoilla, jossa spinin z- ja x-komponentit käyvät kaksitilaisista vapausasteista.