Luentovideot
Täällä on vuoden 2021 kurssin luentovideot nähtävänä. Vuoden 2022 kurssi seurailee pitkälti samoja askelmerkkejä, joten näitä videoita voi hyöyntää jos ei syystä tai toisesta pääse luennolle. Luennot pyritään videoimaan tänäkin vuonna, jolloin uusilla luentovideoilla korvataan vanhoja sitä mukaa kun ne saadaan editoitua ja pilveen ladattua.
Viikko 1: tieteellinen esitystapa, suureet, yksiköt, dimensiot. Dimensioanalyysiä.
Lyhyt katsaus kurssin sisältöön. Kurssijärjestelyjä esiteltiin jo aiemmin kurssin ilmoitustaululla (pääsivulla -> Announcements).
Käsitellään hieman tieteellistä esitystapaa: merkitsevät numerot, potenssimerkintä ja erityisesti sopivan yksikön valinta.
Fysiikan yhtälöiden dimensionaalinen homogenisuus tarkoittaa, että yhtälön molemmilla puolilla on sama dimensio, yhteenlaskettavilla termeillä on samat dimensiot ja että funktiot potenssifunktioita lukuunottamatta ovat dimensiottomia. Tarkastellaan asiaa ensin esimerkin kautta.
- Tarinan mukaan G.I.Taylor ratkaisi dimensioanalyysin keinoin Trinity-ydinräjähdyksen energian kokeesta julkaistun kuvasarjan perusteella. Toistetaan Taylorin artikkelissaankin tekemä dimensioanalyyttinen tarkastelu. Linkki hänen artikkeleihin (niitä on kaksi) löytyy Viikko 1-sivulta.
Esitehtävävideon hengessä tarkastelemme kysymystä kuinka suurella nopeudella paperikartio putoaisi Marsissa? Ratkaisemme ongelman dimensioanalyysin keinoin.
Varsinainen dimensioanalyyttinen lasku/päättely.
- Videoimalla putoavia paperikartioita saadaan mittausdataa. Sopivalla skaalauksella saadaan mittausdataan sovittamalla kokeellinen potenssilakilauseke dimensioanalyysillä johdetulle tuntemattomalle funktiolle.
Ratkotaan lopuksi vielä teoreettinen malli terminaalinopeudelle olettamalla ilmanvastusvoiman, jonka suuruus riippuu nopeuden toisesta potenssista.
Viikko 2: systeemi ja ympäristö, energia ja työ ja ehkä hieman elastisuusteoriaa.
Betonipalkin taivutus voidaan korvata jollakin muulla materiaalilla.
Katsotaan pikaisesti päivän aiheet, eli elastisuusteoriaa ja jousivoimaa.
Käydään pikaisesti läpi keskeisimmät asiasta jousivoimasta (Hooken laki) sekä jousien sarjaan- ja rinnankytkennästä.
Laaditaan mekaaninen malli kiinteä kappaleen muodonmuutoksille, jossa kappale koostuu pienenpienistä rinnakkain ja sarjassa olevista jousista. Jouset kuvaavat materiaalin ionien tai atomien välisiä sähköisiä vuorovaikutuksia ja niiden harmonista approksimaatiota. Kysymyksissä ja vastauksissa käsitellään hieman harmonisen approksimaation merkitystä.
Määritellään elastisuusteorian keskeiset käsitteet: jännitys, suhteellinen venymä ja kimmokerroin. Lyhyt katsaus jännitys-venymä-kuvaajaan.
Demona verrataan betonista sekä raudoitetusta betonista tehtyjen palkkien kestoa kun niitä taivutetaan.
- Esitellään pikaisesti päivän aiheiden pääkohdat: työ, potentiaalienergia sekä systeemi.
Kerrataan lukion työn määritelmä ja yleistetään se tapaukseen jossa voima ei välttämättä olekaan vakio ja/tai siirtymä ei ole suoraviivainen.
- Fysiikassa monesti puhutaan 'differentiaaleista'. Näillä tarkoitetaan yleisesti hyvin pieniä muutoksia (raja-arvo kun muutoksen suuruus -> 0). Käsitellään esimerkkinä termodynamiikasta tuttua ideaalikaasulain differentiointia.
Konservatiiviselle voimalle voidaan määritellä potentiaalienergia. Potentiaalienergiasta puolestaan voidaan määritellä kentän potentiaali. Ajatus potentiaalissa on, että se on voimakentän ominaisuus ja riippumaton siis siitä onko jokin kappale voimakentän kokemassa vai ei.
Systeemi on keskeinen fysiikan käsite, joka kuitenkin jää monesti heikosti määriteltyä. Systeemi voidaan valita monella tavalla ja se määrää millaisia energiamuotoja siinä on, säilyykö systeemin energia ja millaisia voimia ja energiansiirtomekanismeja sillä on ympäristönsä kanssa.
- Viikko 3: heittoliike, ympyräliike ja pyörimisen energia.Diffis-I:ssä käsitelty viikolla 2 Taylorin polynomi (sarja vasta viikolla 3). Funktioiden vektoriavaruus olisi mahdollista edelleen käsitellä. Käsitelläänkö?
Päivän ohjelmassa on vektorit ja paikkafunktion derivaatat.
Tarkastellaan vektorisuureita ja niiden laskutoimituksia. Millaiset suureet ovat vektoreita?
Yleistetään tutut kolmiulotteisen karteesisen (paikka)avaruuden vektorit yleisiksi vektoriavaruuden olioiksi. Vektoriavaruuksilla on mukavia yhtymäkohtia esimerkiksi funktioiden Taylor-sarjoihin, jossa 'funktiovektorin' eri komponentit ovat potenssisarjan eri termejä. Nämä asiat eivät ole kurssimme keskeistä asiaa, mutta aikanaan tulevat kyllä tutuiksi -- nyt vain hieman maistiaisia.
Tarkastellaan siirtymää, hetkellistä nopeutta (= paikan aikaderivaatta) ja hetkellistä kiihtyvyyttä (=nopeuden aikaderivaatta = paikan toinen aikaderivaatta).
- Esimerkkinä tarkastellaan tasaista ympyräliikettä ja osoitetaan että kappaleella on (kenties lukiosta?) tuttu keskihakukiihtyvyys.
Toinen esimerkki on heittoliike. Tätä ei käsitelty tänä vuonna, joten tässä on video vuodelta 2021.
- Keskiviikon luennon aiheena on jäykän kappaleen dynamiikka ja erityisesti kappaleen pyörimiseen sisältyvä energia.
- Määritellään keskeiset pyörimisliikkeen käsitteet: kiertokulma, kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys.
- Jäykkä kappale on kappale jonka muoto ei muutu. Sen paikan&tilan kuvaamiseen riittää kolme paikkamuuttujaa ja kolme kulmamuuttujaa. Sillä on siis kuusi vapausastetta.
- Tarkastellaan pyörimisliikkeen sisältämää energiaa ja määritellään jäykän kappaleen hitausmomentti yksinkertaiselle pistemäisistä massoista koostuvalle (jäykälle) kappaleelle.
- Vapausasteet ovat tärkeä käsite niin mekaniikassa kuin termodynamiikassakin. Käsitellään esimerkinomaisesti molekyylin paikka-, pyörimis- ja värähdysvapausasteita.
- Jätetään tämä pois. Kappaleen massan nollas momentti on sen kokonaismassa M. Sen ensimmäinen momentti antaa kappaleen massakeskipisteen ja toinen momentti hitausmomentin.
- Viikko 4: Pyörimismäärä, vääntömomentti. Gyroskooppi.
Päivän ohjelma on pyörimismäärä ja voiman momentti. Aloitetaan kuitenkin vielä edellisen viikon asialla, eli pyörimisen (vierimisen) energiademolla.
- Tarkastellaan vierimisliikkeen energiaa (=massakeskipisteen liike-energia + pyörimisen energia) ja demotaan sitä kaltevalla tasolla vierivillä erilaisilla sylintereillä.
Pyörimismäärä, eli kulmaliikemäärä eli liikemäärämomentti, on pyörivälle liikkeelle liikemäärää vastaava suure. Kuten liikemääräkin, myös pyörimismäärälle on oma säilymislakinsa.
Vääntö, eli voiman momentti, muuttaa systeemin pyörimismäärää.
Kuu kiertää maata suunnilleen ympyrärataa. Maapallon kuuhun kohdistama painovoima ei aiheuta vääntöä, jolloin kuun pyörimismäärä säilyy. Toisaalta, jos otetaan vuorovesi-ilmiö huomioon, niin nyt nähdäänkin että johtuen maapallon nopeammasta pyörimisestä oman akselinsa ympäri (verrattuna kuun kiertoon maapallon ympäri) vuorovesi-ilmiö aiheuttaa kuuhun sen kiertoa kiihdyttävän väännön. Kuun ratanopeus siis kasvaa ja se loittonee hitaasti pois päin maasta (noin 4 cm vuodessa).
Lyhyt katsaus päivän aiheisiin: koordinaatiston valinta ja pyörimismäärän säilyminen, tasapaino pyörimisen suhteen ja gyroskooppinen prekessio ja nutaatio.
Tarkastellaan kuiun rataliikkeen pyörimismäärää eri koordinaatistoissa. Havaitaan, että jotta kuun ratapyörimismäärä säilyy, pitää huomioida myös kuun maapalloon kohdistama gravitaatiovoima. Kokonaissysteemin (kuu + maa) pyörimismäärä säilyy.
Systeemi on tasapainossa, jos siihen kohdistuvien voimien summa on nolla sekä voimien momenttien summa on nolla. Jos se ei ole tasapainossa, niin tarkastellaan miten kaatuminen voidaan ymmärtää pyörimisenä. Tarkastellaan tätä arkielämästäkin tuttua asiaa muutamalla esimerkillä.
Lopuksi vielä tarkastellaan gyroskooppista prekessiota: pyörivään narusta roikkuvaan renkaaseen kohdistuva painovoima aiheuttaa pyörimismäärävektorille kohtisuoran väännön. Analogisesti keskihakukiihtyvyyden kanssa tasaisessa ympyräliikkessä, tämä vääntö ei muuta pyörimismäärän suuruuden muutosta vaan ainoastaan kääntää pyörimismäärävektoria.
Nutaatiolla tarkoitetaan gyroskoopin prekession alussa mahdollisesti tapahtuvaa ylimääräistä liikettä, jossa gyroskooppi hakeutuu kohti tasapainotilaa (=prekessointia). Nutaatio on esimerkki yleisemmästä fysiikan käsitteestä transientti, jolla tarkoitetaan fysikaalisen järjestelmän aikakehityksessä alkuehdoista riippuvaa dynamiikkaa, joka kuitenkin lopulta katoaa kun järjestelmän aikakehitys saavuttaa jonkinlaisen tasapainotilan.
Viikko 5: inertiaali- ja epäinertiaalikoordinaatistot. Näennäisvoimat. Keskipakovoima ja Coriolisvoima.
Päivän ja viikon aiheita ovat koordinaatistovalinnat: minne asetamme origon? Mikä on koordinaatistomme liiketila? Onko koordinaatistomme inertiaalinen? Galilein suhteellisuusperiaate, eli että kaikki fysikaaliset ilmiöt ovat riippumattomia inertiaalisen tarkastelukoordinaatiston valinnasta, on tärkeä periaate, joka on toki meille tuttu mutta aikanaan myös välttämätön maakeskisen maailmankuvan murtumiseen.
- Fysikaaliset suureet ovat sellaisia, mitkä voidaan mitata, ja jonka mittauksen arvo ei riipu valitusta koordinaatistosta. Monet fysiikassa käytetyt käsitteet ovatkin itse asiassa koordinaatiston valinnasta riippuvia, mikä tarkoittaa että ne eivät ole tietyssä mielessä 'fysikaalisia', esimerkkeinä tarkastellaan hieman sähkökentän ja magneettikentän epäfysikaalisuutta. Näiden yhdistelmä, sähkömagneettinen kenttä, sen sijaan on täysin fysikaalinen, eli vain tarkastelemalla näitä kahta kenttää yhtenä kokonaisuutena, saadaan koordinaatiston valinnasta riippumaton fysiikan ilmiö esille.
Inertiaalikoordinaatisto voidaan määritellä viitekehykseksi, jossa Newtonin I lain havaitaan pätevän. Galilein muunnos kertoo puolestaa matemaattisen operaation jolla yhdestä inertiaalikoordinaatistosta voidaan siirtyä toiseen inertiaalikoordinaatistoon. Jos koordinaatistoista toinen on kuitenkin epäinertiaalinen (eli kiihtyy suhteessa inertiaaliseen koordinaatistoon), niin silloin havaitsemamme kiihtyvyydet näyttävät siltä kuin kappaleisiin kohdistuisi epäfysikaalisia näennäisvoimia.
Voiman F tekemä työ dW = Fdx riippuu tarkastelukoordinaatistosta: voimat eivät riipu inertiaalikoordinaatiston valinnasta mutta siirtymät riippuvat, joten tästä seuraa se, että yksittäisen voiman tekemä työ on koordinaatistoriippuvainen. Tämä on ihan ok, sillä myös esim. kineettisen energian muutokset ovat koordinaatistoriippuvia. Energian säilymislaki kuitenkin toimii inertiaalikoordinaatiston valinnasta riippumatta, mikäli vain otamme huomioon kaikki 'oleelliset asiat'.
Luentovideon laatu oli jostakin syystä tosi huono 2022, joten jätän tänne viikon 5 keskiviikon luennolta edellisvuotiset videot.
Keskiviikon luennolla käsitellään epäinertiaalisia koordinaatistoja, näennäisvoimia ja erityisesti pyörivässä koordinaatistossa havaittavia keskipako- ja Coriolis-voimaa. Esimerkkeinä käsitellään Eötvösin efektiä sekä hurrikaaneja. Myös pari sanaa pakohuoneesta.
Epäinertiaalisessa koordinaatistossa voidaan havaita näennäisvoimien vaikutus. Kyseessä on kuitenkin vain tapa tulkita ylimääräisenä voimana havaitun kiihtyvyyden epäinertiaalisuudesta johtuvat korjaustermit.
Pyörivässä koordinaatistossa havaitaan kappaleisiin kohdistuvan keskipakovoimaksi kutsutun näennäisvoiman. Se on voima joka kohdistuu aina poispäin pyörimisakselista.
Toinen pyörivässä koordinaatistossa havaittava näennäisvoima on Coriolis-voima. Sen suunta on aina kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan, eli se kääntää kappaleen etenemissuuntaa.
Esimerkkinä keskipakovoimasta käsitellään Eötvös-efektiä, jossa itäänpäin kuljettaessa havaitaan putoamiskiihtyvyyden pienenevän kun taas länteenpäin kuljettaessa havaitaan sen kasvavan.
Esimerkkinä Coriolis-voimasta tai sen vaikutuksesta käsitellään hurrikaaneja ja niiden pyörimistä. Hurrikaanissa oleellista on myrskyn keskellä olevan matalapaineen ja ulkopuolella olevan korkeapaineen aiheuttama voima joka pyrkii työntämään ilmaa kohti keskustaa ja sen kilpailu ja tasapaino Coriolis-voiman kanssa.
- Viikko 6: jaksollinen liike ja differentiaaliyhtälöt mekaniikassa. Vaimeneva harmoninen värähtelijä.2023: Jätetään pois kompleksiluvut. Putoavan kartion liikeyhtälön ratkaisu diffis-I kurssille tai laskareihin. Lisätään rakettiyhtälö ja sen ratkaisu numeerisesti. Demotaan ajettu vaimeneva harmoninen värähtelijä.
Maanantain luennolla käsitellään putoavaa kartiota (painovoima + ilmanvastus), jaksollista liikettä sekä hieman kompleksilukuja.
- Käsitellään ensimmäisenä esimerkkinä differentiaaliyhtälöiden käytöstä viikolla 1 käsiteltyä putoavaa kartiota. Oletaan ilmanvastusvoiman olevan nopeuden toista potenssia. Liikeyhtälö on ensimmäisen asteen separoituva differentiaaliyhtälö.
- Analysoidaan hieman saatua tulosta. Erityisesti määritellään tilanteeseen sopivat aika- ja pituusmittakaavat, eli karatkteristinen aika ja -pituus.
Erilaiset jaksolliset liikkeet (jousen harmoninen värähtely, heilurin heilahtelu, ympyräliike) voidaan kaikki kuvata abstraktin vaiheen avulla -- vaihe kertoo missä kohtaa jaksollisen liikkeen jaksoa värähdys kulloinkin on.
Lyhyt esittely kompleksiluvuista ja niiden laskutoimitusten geometrisesta tulkinnasta kompleksitasossa.
Kompleksilukujen esittäminen kompleksitasossa napakoordinaattien ja Eulerin kaavan avulla tarjoaa geometrisen tavan ymmärtää kompleksilukujen kertolasku venytyksenä/supistuksena ja kiertona.
Tarkastellaan ensiksi ideaalista harmonista värähtelijää ja sen liikeyhtälöä.
Ylivaimennetun värähtelijän ratkaisu koostuu kahdesta eksponentiaalisesti vaimenevasta termistä.
Alivaimennetun harmonisen värähtelijän ratkaisu koostuu kahdesta ekspontenttifunktiosta, jotka kuvaavat kulmanopeudella \omega pyörimistä kompleksitasossa.
Ratkotaan vaimennetun värähtelijän aikakehitystä numeerisesti. Numeerinen ratkaisu mahdollistaa myös sellaisten ongelmien (neliöllinen vastusvoima) ratkaisun, joihin analyyttiset ratkaisumenetelmät eivät pure.
Lopuksi ratkotaan vielä numeerisesti ajetun vaimenevan värähtelijän liikeyhtälöä, eli tapausta jossa vaimenevaa värähtelijää työnnetään ulkoisella voimalla. Tässä tapauksessa ulkoinen voimakin on harmoninen, jolloin pääsemme tarkastelemaan esimerkiksi monessa asiayhteydessä vastaantulevaa resonanssi-ilmiötä sekä ajavan voiman ja systeemin värähtelyn välistä vaihe-eroa.