PHYS-A0110 - Yliopistofysiikan perusteet (TFM), Luento-opetus, 4.9.2023-13.10.2023
Kurssiasetusten perusteella kurssi on päättynyt 13.10.2023 Etsi kursseja: PHYS-A0110
Osion kuvaus
-
Täällä on vuoden 2022 kurssin luentovideot nähtävänä. Vuoden 2023 kurssi seurailee pitkälti samoja askelmerkkejä, joten näitä videoita voi hyödyntää jos ei syystä tai toisesta pääse luennolle. Luennot pyritään videoimaan tänäkin vuonna, jolloin uusilla luentovideoilla korvataan vanhoja sitä mukaa kun ne saadaan editoitua ja pilveen ladattua.
-
Lyhyt katsaus kurssin sisältöön. Kurssijärjestelyjä esiteltiin jo aiemmin kurssin ilmoitustaululla (pääsivulla -> Announcements).
-
Käsitellään hieman tieteellistä esitystapaa: merkitsevät numerot, potenssimerkintä ja erityisesti sopivan yksikön valinta.
-
Fysiikan yhtälöiden dimensionaalinen homogenisuus tarkoittaa, että yhtälön molemmilla puolilla on sama dimensio, yhteenlaskettavilla termeillä on samat dimensiot ja että funktiot potenssifunktioita lukuunottamatta ovat dimensiottomia. Tarkastellaan asiaa ensin esimerkin kautta.
-
Tarinan mukaan G.I.Taylor ratkaisi dimensioanalyysin keinoin Trinity-ydinräjähdyksen energian kokeesta julkaistun kuvasarjan perusteella. Toistetaan Taylorin artikkelissaankin tekemä dimensioanalyyttinen tarkastelu. Linkki hänen artikkeleihin (niitä on kaksi) löytyy Viikko 1-sivulta.
-
Esitehtävävideon hengessä tarkastelemme kysymystä kuinka suurella nopeudella paperikartio putoaisi Marsissa? Ratkaisemme ongelman dimensioanalyysin keinoin.
-
Tarkastellaan dimensioanalyyttisen laskun oleellisia (ja epäoleellisia) muuttujia.
-
Varsinainen dimensioanalyyttinen lasku/päättely. Alkuun vielä hankkiudutaan eroon turhista lämpötila (T) ja paine (P) muuttujista.
-
Videoimalla putoavia paperikartioita saadaan mittausdataa. Sopivalla skaalauksella saadaan mittausdataan sovittamalla kokeellinen potenssilakilauseke dimensioanalyysillä johdetulle tuntemattomalle funktiolle.
-
Ratkaistaan vielä lopullinen kartion nopeus Marsissa ja keskustellaan vain yleisesti dimensioanalyysin merkityksestä.
-
Systeemi on keskeinen fysiikan käsite, joka kuitenkin jää monesti heikosti määriteltyä. Systeemi voidaan valita monella tavalla ja se määrää millaisia energiamuotoja siinä on, säilyykö systeemin energia ja millaisia voimia ja energiansiirtomekanismeja sillä on ympäristönsä kanssa.
-
Esimerkki sisäisistä voimista, ulkoisista voimista ja niiden yhteydestä systeemin liikkeeseen.
-
Kerrataan lukion työn määritelmä ja yleistetään se tapaukseen jossa voima ei välttämättä olekaan vakio ja/tai siirtymä ei ole suoraviivainen. Myös vähän keskustelua konservatiivista voimista.
-
Työn määritelmän kautta konservatiiviselle voimalle voidaan määritellä potentiaalienergia. Potentiaalienergiasta puolestaan voidaan määritellä kentän potentiaali. Ajatus potentiaalissa on, että se on voimakentän ominaisuus ja riippumaton siis siitä onko jokin kappale voimakentän kokemassa vai ei.
-
Konservatiivisesta voimakentästä saadaan integroimalla potentiaalienergia mutta vastaavasti potentiaalienergian avulla voidaan määrittää derivoimalla voima(kenttä). Kolmessa ulottuvuudessa derivaattana toimii gradientti -- emme tarvitse gradienttia tällä kurssilla.
-
Tarkastellaan harmonista potentiaalia ja sitä vastaavaa jousivoimaa. Harmoninen potentiaali kuvaa jousien lisäksi useimpia fysikaalisia systeemejä jotka ovat tasapainotilassa tai sen lähistössä.
-
Johdetaan lyhyesti jousien sarjaan- ja rinnankytkentöjen efektiiviset jousivakiot.
-
Esimerkkinä konservatiivisista voimakentistä (gravitaatio ja jousivoima) käsitellään kävelyä ja juoksua. Kävelyssä liike-energia ja gravitaatiopotentiaalienergia vuorottelevat kun taas juoksussa liike-energia ja gravitaatiopotentiaalienergia yhdessä vuorottelevat jänteisiin sitoutuneen (jousi)potentiaalienergian kanssa.
-
Laaditaan mekaaninen malli kiinteä kappaleen muodonmuutoksille, jossa kappale koostuu pienenpienistä rinnakkain ja sarjassa olevista jousista. Jouset kuvaavat materiaalin ionien tai atomien välisiä sähköisiä vuorovaikutuksia ja niiden harmonista approksimaatiota.
-
Esimerkkinä elastisuusteoriasta ja erityisesti jännityksestä käsitellään betonipylvään päässä olevaa norsua ja betonin murtolujuutta.
-
Demona verrataan betonista sekä raudoitetusta betonista tehtyjen palkkien kestoa kun niitä taivutetaan.
-
Tarkastellaan vektorisuureita ja niiden laskutoimituksia. Millaiset suureet ovat vektoreita?
-
Vektoreille on monesti määriteltynä kaksi 'kertolaskua': pistetulo ja ristitulo. Käsitellään lyhyesti niiden geometrista tulkintaa.
-
Tarkastellaan siirtymää, hetkellistä nopeutta (= paikan aikaderivaatta) ja hetkellistä kiihtyvyyttä (=nopeuden aikaderivaatta = paikan toinen aikaderivaatta). Lisäksi vielä esimerkki heittoliikkeestä.
-
Esimerkkinä tarkastellaan tasaista ympyräliikettä ja osoitetaan että tarkasteltaessa vain liikeen projektiota esimerkiksi y-akselille, saadaan liikeyhtälöksi jousivoiman mukainen harmoninen liike.
-
Määritellään hivenen täsmällisemmin mitä ovat vektorit ja pseudovektorit: vektoreilta edellytetään että ne muuntuvat oikein koordinaatiston siirrossa (ei muutu), kierroissa (sopiva lineaarikuvaus) ja peilauksissa (komponentin merkki vaihtuu). Pseudovektoreilta edellytetään vain kierto-ominaisuutta.
-
Demotaan pyörimisen energiaa vierittämällä erilaisia kappaleita alas kaltevaa tasoa. (Gravitaatio)potentiaalienergia muuntuu massakeskipisteen liike-energiaksi ja pyörimisen energiaksi. Pyörimisenergian kannalta oleellinen suure on hitausmomentti.
-
Jäykkä kappale on kappale jonka muoto ei muutu. Sen paikan&tilan kuvaamiseen riittää kolme paikkamuuttujaa ja kolme kulmamuuttujaa.
-
Hitausmomentti kertoo pyörimisenergian. Keskustellaan kysymys+vastaus-hengessä käsitteestä.
-
Esimerkkinä lasketaan frisbeen (ts. kiekon) hitausmomentti symmetria-akselinsa suhteen.
-
Keskustellaan vähän linearisoinnin ideasta käyttäen esimerkkinä laskuharjoitustehtävää Rapusumun pulsarin säteilyenergiasta.
-
Lyhyt katsaus keskeisiin säilymislakeihin: energian säilymislaki, liikemäärän säilymislaki ja demotaan pyörimismäärän säilymislakia.
-
Pyörimismäärä, eli kulmaliikemäärä eli liikemäärämomentti, on pyörivälle liikkeelle liikemäärää vastaava suure. Määritellään pistemäisen massan pyörimismäärä.
-
Esimerkkinä pyörimismäärän ja sen säilymislain käytöstä tarkastellaan hiekkapussia, joka heitetään oveen. Lopussa myös vähän keskustelua hitausmomentin laskemisesta.
-
Vääntö, eli voiman momentti, muuttaa systeemin pyörimismäärää.
-
Tarkastellaan kuiun rataliikkeen pyörimismäärää eri koordinaatistoissa. Havaitaan, että jotta kuun ratapyörimismäärä säilyy, pitää huomioida myös kuun maapalloon kohdistama gravitaatiovoima. Kokonaissysteemin (kuu + maa) pyörimismäärä säilyy.
-
Kuu kiertää maata suunnilleen ympyrärataa. Maapallon kuuhun kohdistama painovoima ei aiheuta vääntöä, jolloin kuun pyörimismäärä säilyy. Toisaalta, jos otetaan vuorovesi-ilmiö huomioon, niin nyt nähdäänkin että johtuen maapallon nopeammasta pyörimisestä oman akselinsa ympäri (verrattuna kuun kiertoon maapallon ympäri) vuorovesi-ilmiö aiheuttaa kuuhun sen kiertoa kiihdyttävän väännön. Kuun ratanopeus siis kasvaa ja se loittonee hitaasti pois päin maasta (noin 4 cm vuodessa).
-
Lopuksi vielä tarkastellaan gyroskooppista prekessiota: pyörivään narusta roikkuvaan renkaaseen kohdistuva painovoima aiheuttaa pyörimismäärävektorille kohtisuoran väännön. Analogisesti keskihakukiihtyvyyden kanssa tasaisessa ympyräliikkessä, tämä vääntö ei muuta pyörimismäärän suuruuden muutosta vaan ainoastaan kääntää pyörimismäärävektoria.
-
Inertiaalikoordinaatisto voidaan määritellä viitekehykseksi, jossa Newtonin I lain havaitaan pätevän. Galilein muunnos kertoo puolestaa matemaattisen operaation jolla yhdestä inertiaalikoordinaatistosta voidaan siirtyä toiseen inertiaalikoordinaatistoon. Jos koordinaatistoista toinen on kuitenkin epäinertiaalinen (eli kiihtyy suhteessa inertiaaliseen koordinaatistoon), niin silloin havaitsemamme kiihtyvyydet näyttävät siltä kuin kappaleisiin kohdistuisi epäfysikaalisia näennäisvoimia.
-
Voiman F tekemä työ dW = Fdx riippuu tarkastelukoordinaatistosta: voimat eivät riipu inertiaalikoordinaatiston valinnasta mutta siirtymät riippuvat, joten tästä seuraa se, että yksittäisen voiman tekemä työ on koordinaatistoriippuvainen.
-
Myös kineettisen energian muutokset ovat koordinaatistoriippuvia. Energian säilymislaki kuitenkin toimii inertiaalikoordinaatiston valinnasta riippumatta, mikäli vain otamme huomioon kaikki 'oleelliset asiat'.
-
Käsitellään keskeisiä sirontaongelman käsitteitä: sirontapotentiaali, törmäysparametri ja sirontakulma. Lisäksi ratkaistaan yksinkertainen kahden kappaleen sirontaongelma: siirtymällä laboratoriokoordinaatistosta massakeskipistekoordinaatistoon yksinkertaistuu moniulotteinen sirontaongelma. Lopulta siirtymä takaisin laboratoriokoordinaatistoon.
-
Taustoitetaan vielä vähän sirontaongelmaa ja käsitellään esimerkinomaisesti Rutherfordin sirontakoetta, jolla Rutherford osoitti atomin koostuvan pienestä, raskaasta, positiivisesti varatusta ytimestä jota ympäröi kevyet negatiivisesti varatut elektronit.
-
Määritellään ensiksi miten koordinaatisto saadaan pyörimään, eli esitetään kuvaus yksikkövektoreille. Mutta varsinaisena aiheena on ensimmäinen pyörivän koordinaatiston näennäisvoimista, eli keskipakovoima. Se on voima joka kohdistuu aina poispäin pyörimisakselista.
-
Toinen pyörivässä koordinaatistossa havaittava näennäisvoima on Coriolis-voima. Sen suunta on aina kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan, eli se kääntää kappaleen etenemissuuntaa.
-
Tarkastellaan lyhyttä esimerkkiä pyörivän koordinaatiston näennäisvoimista: mitä jos pyörivän pallon lanka katkeaa, eli miltä näyttää oikeasti (inertiaalisesti havaittava) suoraviivainen liike pyörivässä koordinaatistossa?
-
Esimerkkinä keskipakovoimasta käsitellään Eötvös-efektiä, jossa itäänpäin kuljettaessa havaitaan putoamiskiihtyvyyden pienenevän kun taas länteenpäin kuljettaessa havaitaan sen kasvavan.
-
Demotaan vaimentuvaa harmonista värähtelijää sekä tutustutaan siihen myös simulaation avulla (projektorin kuva ei näy, mutta luennon jupyter notebookissa on tuo sama simulaatio).
-
Ratkaistaan vaimenevan harmonisen värähtelijän liikeyhtälö. Hieman kompleksilukuja joudumme hyödyntämään matkan varrella. Matikassa varmasti tulee ratkaisumenetelmä tutuksi.
-
Tarkastellaan vaimenevan värähtelijän kolmea eri ratkaisutyyppiä: alivaimenevaa (oskilloiva + vaimentuva), ylivaimenevaa (eksponentiaalinen vaimentuminen) ja kriittistä värähtelijää (melkein eksponentiaalinen vaimeneminen).
-
Perehdytään vielä uudemman kerran vaimenevan värähtelijän numeeriseen ratkaisuun ja tunnistetaan sieltä analyyttisen ratkaisun eri piirteet. Lisäksi numeerisesti pystymme ratkaisemaan epälineaarisen tapauksen, jossa vastusvoima onkin verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin.
-
Tarkastellaan harmonisesti ajettua vaimenevaa värähtelijää demon avulla ja kirjoitetaan sen liikeyhtälö. Lisäksi lyhyesti perehdytään liikeyhtälön ratkaisuun, joka koostuu vastaavan homogeenisen (ei-ajetun) värähtelijän ratkaisun ja erikoisratkaisun summasta.
-
Ratkaistaan ajetun värähtelijän liikeyhtälö numeerisesti.
-
Ratkaistaan ajetun värähtelijän liikkeen vaihe-ero verrattuna ajavaan voimaan.
-
Ratkaistaan ajetun värähtelijän liikkeen amplitudi analyyttisesti ja tunnistetaan resonanssikäyrä.