MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 10.1.2023-20.2.2023

Lagrangen kertoimet

Usein optimointitehtävissä halutaan asettaa rajoitusehtoja optimoitaville muuttujille. Tyypillinen esimerkki tällaisesta tehtävästä on peltipurkin muodon optimointi: Halutaan minimoida purkin pinta-ala (eli käytetty materiaali) $A(h,r)=2\pi rh+2\pi r^2$ niin, että tilavuus $V(r,h)=\pi r^2 h$ on vakio.

Duaalitehtävä: Halutaan maksimoida purkin tilavuus $V(r,h)$ siten, että pinta-ala $A(h,r)$ on vakio. Primaali- ja duaalitehtävillä on sama ratkaisu. Tämän sanoo maalaisjärkikin, mutta itse asiassa ratkaisuun johtavat yhtälötkin ovat (olennaisesti) samoja.

Havaitaan, että mikäli ongelmalla on ratkaisu, niin ratkaisupisteessä $(a,b)$ vektorien $\nabla f$ ja $\nabla g$ on oltava joko yhdensuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia (mikäli $\nabla g(a,b) \neq 0$). Miksi? Koska muussa tapauksessa funktiolla $f$ olisi nollasta poikkeva suunnattu derivaatta käyrän $g(x,y)=0$ tangentin suuntaan pisteessä $(a,b)$, ja siis minimi ei voi olla pisteessä $(a,b)$.

Entä jos tehtävänä olisi maksimoida $f(x,y)$ ehdolla $g(x,y)=0$? Entä jos tehtävänä olisi maksimoida $g(x,y)$ ehdolla $f(x,y)=c$?

Mikäli optimipiste on olemassa, se on Lagrangen funktion $L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$ kriittinen piste (eli gradientin nollakohta). Menetelmä yleistyy myös useammalle muuttujalle. Esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa Lagrangen funktio on $L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda g(x,y,z) + \mu h(x,y,z),$ missä $f$ on minimoitava funktio ja rajoite-ehdot ovat $g(x,y,z)=0$ sekä $h(x,y,z)=0$.

Esimerkki

Minimoidaan funktio $f(x,y)=x^2+y^2$ ehdolla $g(x,y)=x^2y-16=0$. Muodostetaan aluksi Lagrangen funktio $L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x^2y-16).$ Yhtälöt kriittisille pisteille ovat \begin{align*} 0 &=\frac{\partial L}{\partial x} = 2x(1+\lambda y),\\ 0 &=\frac{\partial L}{\partial y} = 2y+\lambda x^2,\\ 0 &=\frac{\partial L}{\partial \lambda}= x^2y-16,\\ \end{align*} joista viimeinen on aina itse rajoitusehto.

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $x=0$ tai $\lambda y=-1$, mutta $x=0$ on ristiriidassa kolmannen yhtälön kanssa. Siten toisesta yhtälöstä $0=2y^2+\lambda yx^2 = 2y^2-x^2.$ Tästä saadaan edelleen $x=\pm \sqrt{2}y$, ja $2y^3=16$ eli $y=2$. Ääriarvoja (mahdollisia minimejä) on siis kaksi $(x,y) = (\pm 2\sqrt{2},2)$. Pitää selvittää muilla keinoin, ovatko nämä minimejä vai maksimeja.

Esimerkki

Yritetään etsiä Lagrangen kertoimien menetelmällä funktion $f(x,y)=y$ minimi ehdolla $g(x,y)=y^3-x^2=0$. Helposti havaitaan, että minimi $f(x,y)=0$ saavutetaan pisteessä $(0,0)$.

Muodostetaan Lagrangen funktio $L(x,y,\lambda)=y+\lambda(y^3-x^2).$ Saadaan yhtälöt $-2\lambda x =0,\quad 1+3\lambda y^2=0,\text{ ja } y^3-x^2=0.$ Nämä yhtälöt ovat keskenään ristiriidassa, joten ratkaisua niille ei ole. Huomaa, että $\nabla g(0,0) =\mathbf{0}$ minimipisteessä. Tästä nähdään, että Lagrangen kertoimet näkevät ääriarvoja vain pisteissä, joissa $\nabla g(0,0) \neq \mathbf{0}$.

Esimerkki

Etsitään ääriarvot funktiolle $f(x,y,z)=xy+2z$ ehdoilla $x+y+z=0$ ja $x^2+y^2+z^2=24$.

Koska $f$ on jatkuva ja annettujen leikkausjoukkojen leikkaus on ympyräviiva (eli rajoitettu ja suljettu joukko), niin ääriarvot ovat olemassa. Muodostetaan Lagrangen funktio $L(x,y,z,\lambda,\mu)=xy+2z+\lambda(x+y+z)+\mu(x^2+y^2+z^2-24).$ Lagrangen funktion osittaisderivaatoista saadaan yhtälöt \begin{align*} & y+\lambda+2\mu x=0, \\ & x+\lambda+2\mu y=0, \\ & 2+\lambda+2\mu z=0, \\ & x+y+z = 0,\text{ ja } \\ & x^2+y^2+z^2-24=0. \end{align*} Kahden ensimmäisen yhtälön erotus johtaa yhtälöön $(x-y)(1-2\mu)=0$, joten joko $\mu = 1/2$ tai $x=y$. Tutkitaan molemmat tapaukset.

Tapaus I ($\mu = 1/2$): Toisen ja kolmannen yhtälön perusteella $x+\lambda +y =0\textrm{ ja } 2+\lambda +z =0,\text{ siis }x+y=2+z.$ Neljännestä yhtälöstä saadaan $z=-1$ ja $x+y=1$. Viimeisen yhtälön perusteella $x^2+y^2=24-z^2=23$. Koska $x^2+y^2+2xy=(x+y)^2 =1$, saadaan $2xy=1-23=-22$ ja $xy=-11$. Nyt $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 23+22=45$, joten $x-y=\pm 3\sqrt{5}$. Yhdessä yhtälön $x+y=1$ kanssa tästä saadaan kaksi kriittistä pistettä $P_1 = \big((1+3\sqrt{5})/2,(1-3\sqrt{5})/2,-1\big)\text{ ja } P_2 = \big((1-3\sqrt{5})/2,(1+3\sqrt{5})/2,-1\big).$ Kummassakin pisteessä $f(x,y,z)=-11-2 = -13$.

Tapaus II ($x=y$): Neljännestä yhtälöstä nähdään, että $z=-2x$, ja viimeisen yhtälön perusteella $6x^2=24$ eli $x=\pm 2$. Näin ollen, kriittiset pisteet ovat $P_3=(2,2,-4)\text{ ja } P_4=(-2,-2,4).$ Saadaan $f(2,2,-4)=4-8=-4\text{ ja } f(-2,-2,4)=4+8=12.$ Siten funktion $f$ maksimi on $12$ ja minimi $-13$.