MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 10.1.2023-20.2.2023

Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt:

• Alueen $D \subset \mathbb{R}^2$ pinta-ala $\textrm{A}(D) = \iint_D 1\,dA$

• Kappaleen $D \subset \mathbb{R}^3$ tilavuus $\textrm{V}(D) = \iiint_D 1\,dV$

Mekaniikassa tulevat lisäksi vastaan nämä:

• Kappaleen massa $m(D) = \iiint_D \rho(x,y,z)\,dV$ ja hitausmomentti kappaleen pyöriessä $z$-akselin ympäri: $I_z(D) = \iiint_D\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV.$ Tässä $\rho(x,y,z)$ on materiaalin tiheys pisteessä $(x,y,z)$.

• Kaksiulotteisen tasolevyn keskiön (painopiste) $(\bar x,\bar y)$ laskeminen $\bar x = \frac{1}{A(D)} \iint_D x\,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{A(D)} \iint_D y\,dA,$ jossa pinta-ala $A(D)$ on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin.

  Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä $\rho(x,y)$ $\bar x = \frac{1}{m(D)} \iint_D x \rho(x,y) \,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{m(D)} \iint_D y \rho(x,y) \,dA.$ jossa massa $m(D) = \iint_D \rho(x,y) \,dA$ lasketaan tasointegraalilla.

Massakeskipiste

Kolmiulotteisen kappaleen $D$ massakeskipiste $(\bar x,\bar y, \bar z)$ $\bar x = \frac{1}{m(D)} \iiint_D x \rho(x,y,z)\,dV,$ $\bar y = \frac{1}{m(D)} \iiint_D y \rho(x,y,z)\,dV,$ $\bar z = \frac{1}{m(D)} \iiint_D z \rho(x,y,z)\,dV,$ missä $\rho = \rho(x,y,z)$ on kappaleen tiheys pisteessä $(x,y,z)$ ja $m(D)$ on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa $\bar x\mathbf{i} + \bar y \mathbf{j} + \bar z\mathbf{k} = \frac{\iiint_D \mathbf{r} \rho\, dV}{\iiint_D\rho \,dV},$ missä $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.

Esimerkki

Lasketaan epäyhtälöiden $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$ ja $0\le z\le 1$ määräämän yksikkökuution $D$ massakeskipiste, kun tiheys $\rho(x,y,z)= z$.

Lasketaan ensin massa $\iiint_D \rho \,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z \,dx\,dy\,dz$ $= \int_0^1 z\,dz = \bigg|_{z=0}^1\frac{1}{2}z^2 = \frac{1}{2}.$ Saadaan $\bar x = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big(\Big|_{x=0}^1 \frac{1}{2}x^2\Big)\Big(\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{2}z^2\Big)}{1/2}$ $= \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}.$

Vastaavasti $\bar y = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 yz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}.$ Edelleen voidaan laskea $\bar z = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z^2 \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{3}z^3}{1/2}$ $= \frac{(1/3)}{(1/2)} = \frac{2}{3}.$ Massakeskipisteeksi saadaan $(\bar x, \bar y,\bar z) = (1/2,1/2,2/3).$

Hitausmomentti

Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa $xy$-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella.

Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa $E= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_iv_i^2= \frac{1}{2} \Big[\sum_{i=1}^N m_i r_i^2\Big]\omega^2= \frac{1}{2}\Big[\sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2)\Big]\omega^2,$ missä $\omega$ on kulmanopeus ja $m_i$, $x_i$ sekä $y_i$ ovat $i$:nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa $\sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2) = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2$ kutsutaan hitausmomentiksi. Ajattelemalla $z$-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi "infinitesimaalisen pieniä" pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: $E=\frac{1}{2} \bigg[ \iiint_D (x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV\bigg]\omega^2 =\frac{1}{2} I_z\omega^2,$ missä $I_z = \iiint_D(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV = \iiint_D r_z^2 dm$ on kappaleen hitausmomentti $z$-akselin suhteen ($r_z^2 = x^2 + y^2$ ja massa-alkio $dm = \rho(x,y,z)\,dV$).

Esimerkki

Lasketaan sylinterin $D= \{(x,y,z): x^2+y^2\le a^2\textrm{ ja }0\le z\le 1\},\qquad a>0$ hitausmomentti $z$-akselin suhteen, kun tiheys on vakio $\rho=\rho_0$.

Lasketaan $I_z = \iiint_D (x^2+y^2)\rho_0\,dV$ $= \rho_0 \int_0^1 \int_0^{2\pi}\int_0^a r^2r \,dr\,d\theta\,dz$ $= 2\pi\rho_0\int_0^ar^3\,dr = \frac{1}{2}\pi\rho_0a^4.$ Toisaalta sylinterin massa on $m=\iiint_D \rho_0\,dV = \rho_0\textrm{V}(D)=\rho_0\pi a^2.$ Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa $I_z = \frac{1}{2}(\pi \rho_0a^2)a^2 = \frac{1}{2}ma^2.$