Föregående
Nästa
Osittaisderivaatta

Osittaisderivaatta

Osittaisderivaatta

Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n \geq 2\) ja \(f\colon D\to \mathbb{R}\) funktio. Tällöin kaikille \(j=1,\ldots,n\) funktion \(f\) osittaisderivaatta muuttujan \(x_j\) suhteen on \[ f_j(\mathbf{x}) = \lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{e}_j) -f(\mathbf{x})}{h}, \]
jos kyseinen raja-arvo on määritelty. Tässä \(\mathbf{e}_j\) on \(j\):s yksikkökantavektori.

Käytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain pitää muita muuttujia ikään kuin ne olisivat vakioita.

Esimerkki
Olkoon funktio \(f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\), \(f(x,y)=x^2\sin y.\) Sen osittaisderivaatat ovat \[ f_1(x,y) = 2x\sin y \quad \text{ ja }\quad f_2(x,y) = x^2 \cos y. \]

Merkintätavat osittaisderivaatoille

Funktion \(f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) osittaisderivaattaa muuttujan \(x_j\) suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla \[ \frac{\partial f}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} f(x_1,\ldots,x_n) = f_j(x_1,\ldots,x_n) = D_jf(x_1,\ldots,x_n).\]
Tapauksessa \(n=2\) usein kirjoitetaan \(z=f(x,y)\), jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä \[ f_1(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x} \quad \text{ ja }\quad f_2(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}. \]
Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia, jotta se ei sekoittuisi tavalliseen (kokonais)derivaattaan. Palataan tähän vähän myöhemmin ketjusäännön yhteydessä.

Osittaisderivaatan arvo

Funktion \(f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) osittaisderivaatan \(f_j\) arvoa pisteessä \(\mathbf{x}_0\in D\) merkitään \[ \frac{\partial z}{\partial x_j}\bigg|_{\mathbf{x}_0} = \bigg(\frac{\partial f}{\partial x_j}\bigg)\bigg|_{\mathbf{x}_0} = f_j(\mathbf{x}_0) = D_jf(\mathbf{x}_0), \]
jossa muuttuja \(z\) määritellään \(z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n)\).

Esimerkiksi, jos \(f(u,v)=u^2v\) ja \(\mathbf{w} = x^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j}\), niin \begin{align} f_1(\mathbf{w})&=f_1(x^2,xy) =\bigg(\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)\bigg)\bigg|_{(x^2,xy)} \\ &=2uv\Big|_{u=x^2,\,v=xy}= 2(x^2)(xy)=2x^3y. \end{align}

Esimerkki
Lasketaan \[ \frac{\partial z}{\partial x}\quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y}, \]
kun \(z=x^3y^2+x^4y + y^4\). Tällöin saadaan \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2+4x^3y \quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3y+x^4+4y^3. \]
Esimerkki
Etsitään \(f_1(0,\pi)\), kun \(f(x,y)=e^{xy}\cos(x+y)\). Tästä saadaan \[ f_1(x,y)=ye^{xy}\cos(x+y)-e^{xy}\sin(x+y). \]
Siten \[ f_1(0,\pi) = \pi e^0\cos(\pi)-e^0\sin(\pi) = -\pi. \]

Ketjusäännön soveltaminen

Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö \[ (f\circ g)'(x)= f'\big(g(x)\big)g'(x) \]
on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa. Jos esimerkiksi \( f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ja \(g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\) niin \[ \frac{\partial }{\partial x}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_1(x,y) \]
ja \[ \frac{\partial }{\partial y}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_2(x,y). \]
Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille.
Esimerkki
Osoitetaan, että derivoituva funktio \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun \(z=f(x/y)\): \[ x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}=0 \]
Ketjusäännön perusteella \[ \frac{\partial z}{\partial x} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{1}{y}\bigg) \text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{-x}{y^2}\bigg). \]
Siten \[ x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(x\cdot \frac{1}{y}+y\cdot\frac{-x}{y^2}\bigg)=0. \]

Pinnan tangentti ja normaali

Yhden muuttujan tapauksessa derivaatan avulla voidaan löytää lauseke derivoituvan funktion tangentille annetussa pisteessä. Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Pinnalle \(z=f(x,y)\) saadaan puolestaan kaksi tangenttivektoria pisteessä \((a,b)\): \[ \mathbf{T}_1 = \mathbf{i} + f_1(a,b)\mathbf{k} \quad\text{ ja }\quad \mathbf{T}_2 = \mathbf{j} + f_2(a,b)\mathbf{k}. \]

Pinnan normaalivektori \(\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)\) on kohtisuorassa näitä molempia tangenttivektoreita vastaan. Siksi se saadaan ristitulona \begin{align*} \mathbf{N} &= \mathbf{T}_2\times \mathbf{T}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & f_2(a,b) \\ 1 & 0 & f_1(a,b) \end{vmatrix} =f_1(a,b)\mathbf{i} +f_2(a,b)\mathbf{j} -\mathbf{k}. \end{align*} Mikä on yksikkönormaali \(\mathbf{n}\)?

Tangenttitaso

Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^2\), \(f\colon D\to \mathbb{R}\) ja \((a,b)\in D\). Pinnan \(z=f(x,y)\) tangenttitaso pisteessä \((a,b)\) on aina kohtisuorassa normaalia \(\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)\) vastaan, ja se kulkee pisteen \(P=(a,b,f(a,b))\) kautta. Tällaisen tason vektorit \(\mathbf{r} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) toteuttavat yhtälön \[(\mathbf{r} - P) \cdot \mathbf{N} = 0. \]
Tangenttitasolle saadaan siis yhtälö \[ z=f(a,b) + f_1(a,b)(x-a) + f_2(a,b)(y-b). \]

Normaalisuoran yhtälöt

Normaalisuora pinnalle \(z=f(x,y)\) pisteessä \(P = (a,b,f(a,b))\) on normaalivektorin \(\mathbf{N}(a,b) = f_1(a,b)\mathbf{i} +f_2(a,b)\mathbf{j} -\mathbf{k}\) suuntainen. Suoran pisteet ovat siis pistejoukko \[ \{ P + t \mathbf{N}(a,b) \, : \, t \in \mathbb{R} \}. \]
Jos sekä \(f_1(a,b) \neq 0\) ja \(f_2(a,b) \neq 0\), niin voidaan eliminoida parametri \(t\) ja saadaan yhtälöt \[ \frac{x-a}{f_1(a,b)} = \frac{y-b}{f_2(a,b)} = \frac{z-f(a,b)}{-1}. \]
Esimerkki
Etsitään tangentti ja normaali pinnalle \(z=\sin(xy)\), kun \(x=\pi/3\) ja \(y=-1\). Tangentti ja normaali kulkevat pisteen \((\pi/3,-1,-\sqrt{3}/2)\) kautta.

Lasketaan osittaisderivaatat: \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} &= y\cos(xy)\text{ ja }\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= x\cos(xy). \end{align*} Pisteessä \((\pi/3,-1)\) saadaan \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{1}{2} \text{ ja }\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\pi}{6}. \end{align*} Siten kyseisellä pinnalla on normaalivektori \[ \mathbf{N} = -(1/2)\mathbf{i}+(\pi/6)\mathbf{j} -\mathbf{k}. \]
Tangenttitaso on \[ z= \frac{-\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\Big(x-\frac{\pi}{3}\Big) + \frac{\pi}{6}(y+1). \]
Ja normaalisuoran yhtälöiksi saadaan \[ \frac{6x-2\pi}{-3} = \frac{6y+6}{\pi} = \frac{6z+3\sqrt{3}}{-6}. \]

Korkeammat osittaisderivaatat

Funktiolle \(f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja. Jos \(z=f(x,y)\), niin saadaan esimerkiksi \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{11}(x,y) \]
ja \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{21}(x,y). \]
Vastaavasti, jos \(w=f(x,y,z)\), saadaan vaikkapa \[ \frac{\partial^5 w}{\partial y\partial x\partial y^2\partial z} = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial w}{\partial z} = f_{32212}(x,y,z). \]
Esimerkki
Etsitään funktion \(f(x,y)=x^3y^4\) toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi \[ f_1(x,y)=3x^2y^4\quad\text{ ja }\quad f_2(x,y)=4x^3y^3. \]
Siten \begin{align*} f_{11}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}3x^2y^4=6xy^4, \\ f_{21}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}4x^3y^3=12x^2y^3, \\ f_{12}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}3x^2y^4=12x^2y^3, \\ f_{22}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial y}4x^3y^3=12x^3y^2. \end{align*}
Föregående
Nästa