CHEM-A2600 - Kemiantekniikan ohjelmointikurssi, 31.05.2021-23.08.2021

scipy.linalg (Lineaarialgebra)

Moduuli scipy.linalg sisältää suuren määrän lineaarialgebraan liittyviä työkaluja (esim. matriisioperaatiot, ominaisarvo-ongelmien ratkaiseminen). Kappaleessa NumPyn matemaattiset funktiot mainittiin aiemmin moduuli numpy.linalg, joka sisältää samoja työkaluja. SciPyn lineaarialgebramoduuli on huomattavasti NumPy-moduulia laajempi.

Tämän kurssin puitteissa tutustumme vain funktioon scipy.linalg.solve, jolla voi ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä.

Hieman teoriaa

Tutustutaan yhtälöryhmien ratkaisemiseen Wikipedian sisältämän esimerkin avulla.

Määritellään lineaarinen kolmen yhtälön yhtälöryhmä:

Yhtälöryhmässä on siis kolme (tuntematonta) muuttujaa x, y ja z. Ratkaistaan muuttujien arvot muuntamalla yhtälöryhmä matriisiyhtälöksi ja soveltamalla scipy.linalg.solve-funktiota.

Yhtälöryhmä, jossa on m kappaletta yhtälöitä ja n kappaletta muuttujia voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa

missä x₁, x₂, ..., x_n ovat yhtälöryhmän tuntemattomat muuttujat,
a₁₁, a₁₂, ..., a_mn ovat yhtälöryhmän kertoimet ja
b₁, b₂, ..., b_m ovat yhtälöryhmän vakiotermit.

Yhtälöryhmän ylläoleva yleinen muoto voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa

missä kertoimia ja vakiotermejä kuvataan sarakevektoreilla. Tämä vektorimuoto taas voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä

missä

A on siis neliömatriisi, x ja b vektoreita. Nyt kun yhtälöryhmä on saatu matriisimuotoon, sen ratkaisemisessa voidaan hyödyntää lineaarialgebraa. Emme käsittele teoriaa tämän enempää vaan toteamme vain, että kun meillä on yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b, voimme ratkaista sen scipy.linalg.solve-funktiolla näin helposti:

x = scipy.linalg.solve(A, b) 

Esimerkki

Käytetään esimerkissä yllä esiteltyä yhtälöryhmää

Nyt siis muuttujat x, y ja z vastaavat yhtälöryhmän yleisen muodon muuttujia x₁, x₂ ja x₃. Ratkaistaan tuntemattomat:

import numpy as np
from scipy.linalg import solve

# A on 3x3 neliömatriisi 
A = np.array([[ 3,   2, -1],
              [ 2,  -2,  4],
              [-1, 1/2, -1]])

# b on kolmen alkion vektori
b = np.array([1, -2, 0])

# Ratkaistaan tuntemattomat muuttujat
x = solve(A, b)
print(x)

Koodi tulostaa

[ 1. -2. -2.]

Eli
x₁ = x = 1,
x₂ = y = -2 ja
x₃ = z = -2

Ratkaisu on täsmälleen sama kuin Wikipediassa: