MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 10.1.2023-20.2.2023
Kurssiasetusten perusteella kurssi on päättynyt 20.02.2023 Etsi kursseja: MS-A0201
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
9. Taso- ja avaruusintegraalit
9.1. Epäoleelliset integraalit. Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
Epäoleelliset integraalit
Tähän asti integrointi on tapahtunut rajoitetussa alueessa rajoitetulle funktiolle (integrandille). Joskus voidaan kuitenkin integroida rajoittamattomia funktioita ja/tai rajoittamattomassa alueessa.
Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f(u)≥0 kaikilla u∈D. Lasketaan funktion f(x,y)=e−x2 integraali alueessa suorien y=±x rajoittamassa rajoittamattomassa alueessa D, jossa x>0. Mikäli integraali on suppenee, sen arvo saadaan laskemalla ∬De−x2dA=∫∞0∫x−xe−x2dydx=∫∞02xe−x2dx =limR→∞∫R02xe−x2dx. Integraalin laskemiseksi huomataan, että ddxe−x2=−2xe−x2. Siten limR→∞∫R02xe−x2dx=limR→∞−e−x2|Rx=0=limR→∞1−e−R2=1.
Esimerkki
Olkoon D1={(x,)∈R2:0<x<1,|y|≤x2} ja rajoittamaton funktio f(x,y)=1/x2.
(i) Lasketaan integraali ∬D11x2dA=∫10∫x2−x21x2dydx =∫102dx=2.

(ii) Lasketaan saman funktion integraali alueessa D2={(x,y)∈R2:0<x<1,|y|≤√x}. ∬D21x2dA=∫10∫√x−√x1x2dydx =∫102√x1x2dx=∫102x−3/2dx=limϵ→0+2x−1/2−1/2|1x=ϵ=∞. Suppeneminen riippuu integroitavan funktion lisäksi myös alueesta!

Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
Tutkitaan funktiota F:G→D, missä D ja G ovat R2:n osajoukkoja. Oletetaan, että funktion F kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Lisäksi oletetaan, että F on bijektio: Jokaista pistettä (x,y)∈D vastaa yksikäsitteinen piste (u,v)∈G, jolle F(u,v)=(x,y). Tällöin erityisesti D=F(G).

Tutkitaan aluksi muuttujanvaihtoa tasointegraalin tapauksessa: ∬Df(x,y)dxdy=∬G???dudv. Tarvitaan tieto siitä, miten pinta-ala skaalautuu funktiossa (x,y)=F(u,v).

Ketjusäännöllä dx=∂x∂udu+∂x∂vdv ja dy=∂y∂udu+∂y∂vdv. Edettäessä vektorin a suuntaan (x,y)-koordinaateissa, koordinaatti v on vakio ja siten dv=0. Saadaan a≈∂x∂udui+∂y∂uduj. Samaan tapaan voidaan päätellä, että b≈∂x∂vdvi+∂y∂vdvj. Tässä i ja j ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit.
Approksimaatiokaava pinta-alaelementin dA muutokselle siis on dA=dxdy≈|a×b|=‖ijk∂x∂udu∂y∂udu0∂x∂vdv∂y∂vdv0‖ Käytetään merkintää (huom. neliömatriiseille detA=detAT) ‖∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v‖dudv:=|detDF(u,v)|dudv. Determinantti detDF(u,v) on funktion F:R2→R2 Jacobin determinantti. Sille käytetään myös merkintää detDF(u,v)=∂(x,y)∂(u,v) kun (x,y)=F(u,v).
Jacobin determinantin itseisarvo |detDF(u,v)| kertoo paikallisen pinta-alan muutoksen kuvattaessa (u,v)-koordinaattien infinitesimaalinen pinta-ala dudv vastaavalle (x,y)-koordinaateissa lausutulle pinta-alalle dxdy funktion (x,y)=F(u,v) välityksellä.
Tasointegraalin muuttujanvaihtokaavaksi siis saadaan ∬Df(x,y)dxdy=∬Gg(u,v)|detDF(u,v)|dudv missä g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) ja D=F(G). Tässä F on integroimisalueiden D ja G välinen bijektio. Jacobin determinantin etumerkki kertoo, onko F suunnan säilyttävä vai kääntävä. Itseisarvo tarvitaan, jotta positiivisen funktion integraali ei muuttuisi negatiiviseksi eräillä F.
Esimerkki
Lasketaan neljän paraabelin y=x2, y=2x2, x=y2 ja x=3y2 rajoittamaan alueen D pinta-ala.
Huomataan, että integroimisalue kuvautuu suorakulmioksi G=[1/2,1]×[1/3,1] muunnoksella G(x,y)=ui+vj,u(x,y)=x2y,v(x,y)=y2x.

Halutaan kuitenkin käänteiskuvaus F=G−1:G→D, joka vie koordinaatit (u,v) käyräviivaisille (x,y)-koordinaateille. Lineaarialgebran perusteella detDF(u,v)=1detDG(x,y). Lasketaan ∂u∂x=2xy,∂u∂y=−x2y2. Saadaan myös ∂v∂x=−y2x2,∂v∂y=2yx.
Lasketaan edelleen detDG(x,y)=|∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y|=|2xy−x2y2−y2x22yx| =4−1=3, eli |detDF(u,v)|=13. Tulokseksi siis saadaan ∬D1dxdy=∬G13dudv=13⋅23⋅12=19. Yleensä ei käy niin onnellisesti, että sama koordinaatistomuunnos vie integroitavan alueen suorakulmiolle samalla kun integroitava funktio menee vakioksi.