9. Taso- ja avaruusintegraalit

9.1. Epäoleelliset integraalit. Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Epäoleelliset integraalit

Tähän asti integrointi on tapahtunut rajoitetussa alueessa rajoitetulle funktiolle (integrandille). Joskus voidaan kuitenkin integroida rajoittamattomia funktioita ja/tai rajoittamattomassa alueessa.

Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f(u)0 kaikilla uD. Lasketaan funktion f(x,y)=ex2 integraali alueessa suorien y=±x rajoittamassa rajoittamattomassa alueessa D, jossa x>0. Mikäli integraali on suppenee, sen arvo saadaan laskemalla Dex2dA=0xxex2dydx=02xex2dx =limRR02xex2dx. Integraalin laskemiseksi huomataan, että ddxex2=2xex2. Siten limRR02xex2dx=limRex2|Rx=0=limR1eR2=1.

Esimerkki

Olkoon D1={(x,)R2:0<x<1,|y|x2} ja rajoittamaton funktio f(x,y)=1/x2.

(i) Lasketaan integraali D11x2dA=10x2x21x2dydx =102dx=2.

Alue D_1
Alue D1

(ii) Lasketaan saman funktion integraali alueessa D2={(x,y)R2:0<x<1,|y|x}. D21x2dA=10xx1x2dydx =102x1x2dx=102x3/2dx=limϵ0+2x1/21/2|1x=ϵ=. Suppeneminen riippuu integroitavan funktion lisäksi myös alueesta!

Alue D_2
Alue D2

Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Tutkitaan funktiota F:GD, missä D ja G ovat R2:n osajoukkoja. Oletetaan, että funktion F kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Lisäksi oletetaan, että F on bijektio: Jokaista pistettä (x,y)D vastaa yksikäsitteinen piste (u,v)G, jolle F(u,v)=(x,y). Tällöin erityisesti D=F(G).

muuttujanvaihto 
(x(u,v),y(u,v))=F(u,v)

Tutkitaan aluksi muuttujanvaihtoa tasointegraalin tapauksessa: Df(x,y)dxdy=G???dudv. Tarvitaan tieto siitä, miten pinta-ala skaalautuu funktiossa (x,y)=F(u,v).

muuttujanvaihto
Kuvassa a (vast. b) sijaitsee käyrällä, jolla v (vast. u) on vakio. Koska funktiolla F on jatkuvat osittaisderivaatat, käyrät ovat sileitä.

Ketjusäännöllä dx=xudu+xvdv ja dy=yudu+yvdv. Edettäessä vektorin a suuntaan (x,y)-koordinaateissa, koordinaatti v on vakio ja siten dv=0. Saadaan axudui+yuduj. Samaan tapaan voidaan päätellä, että bxvdvi+yvdvj. Tässä i ja j ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit.

Approksimaatiokaava pinta-alaelementin dA muutokselle siis on dA=dxdy|a×b|=ijkxuduyudu0xvdvyvdv0 Käytetään merkintää (huom. neliömatriiseille detA=detAT) xuxvyuyvdudv:=|detDF(u,v)|dudv. Determinantti detDF(u,v) on funktion F:R2R2 Jacobin determinantti. Sille käytetään myös merkintää detDF(u,v)=(x,y)(u,v) kun (x,y)=F(u,v).

Jacobin determinantin itseisarvo |detDF(u,v)| kertoo paikallisen pinta-alan muutoksen kuvattaessa (u,v)-koordinaattien infinitesimaalinen pinta-ala dudv vastaavalle (x,y)-koordinaateissa lausutulle pinta-alalle dxdy funktion (x,y)=F(u,v) välityksellä.

Tasointegraalin muuttujanvaihtokaavaksi siis saadaan Df(x,y)dxdy=Gg(u,v)|detDF(u,v)|dudv missä g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) ja D=F(G). Tässä F on integroimisalueiden D ja G välinen bijektio. Jacobin determinantin etumerkki kertoo, onko F suunnan säilyttävä vai kääntävä. Itseisarvo tarvitaan, jotta positiivisen funktion integraali ei muuttuisi negatiiviseksi eräillä F.

Esimerkki

Lasketaan neljän paraabelin y=x2, y=2x2, x=y2 ja x=3y2 rajoittamaan alueen D pinta-ala.

Huomataan, että integroimisalue kuvautuu suorakulmioksi G=[1/2,1]×[1/3,1] muunnoksella G(x,y)=ui+vj,u(x,y)=x2y,v(x,y)=y2x.

muuttujanvaihto
Integrointi suorakulmion yli on paljon helpompaa.

Halutaan kuitenkin käänteiskuvaus F=G1:GD, joka vie koordinaatit (u,v) käyräviivaisille (x,y)-koordinaateille. Lineaarialgebran perusteella detDF(u,v)=1detDG(x,y). Lasketaan ux=2xy,uy=x2y2. Saadaan myös vx=y2x2,vy=2yx.

Lasketaan edelleen detDG(x,y)=|uxuyvxvy|=|2xyx2y2y2x22yx| =41=3, eli |detDF(u,v)|=13. Tulokseksi siis saadaan D1dxdy=G13dudv=132312=19. Yleensä ei käy niin onnellisesti, että sama koordinaatistomuunnos vie integroitavan alueen suorakulmiolle samalla kun integroitava funktio menee vakioksi.