9. Taso- ja avaruusintegraalit

9.1. Epäoleelliset integraalit. Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Epäoleelliset integraalit

Tähän asti integrointi on tapahtunut rajoitetussa alueessa rajoitetulle funktiolle (integrandille). Joskus voidaan kuitenkin integroida rajoittamattomia funktioita ja/tai rajoittamattomassa alueessa.

Tarkastellaan ainoastaan tapausta, jossa funktio f on ei-negatiivinen eli f(u)0 kaikilla uD. Lasketaan funktion f(x,y)=ex2 integraali alueessa suorien y=±x rajoittamassa rajoittamattomassa alueessa D, jossa x>0. Mikäli integraali on suppenee, sen arvo saadaan laskemalla Dex2dA=0xxex2dydx=02xex2dx =limRR02xex2dx. Integraalin laskemiseksi huomataan, että ddxex2=2xex2. Siten limRR02xex2dx=limRex2|Rx=0=limR1eR2=1.

Esimerkki

Olkoon D1={(x,)R2:0<x<1,|y|x2} ja rajoittamaton funktio f(x,y)=1/x2.

(i) Lasketaan integraali D11x2dA=10x2x21x2dydx =102dx=2.

Alue D_1
Alue D1

(ii) Lasketaan saman funktion integraali alueessa D2={(x,y)R2:0<x<1,|y|x}. D21x2dA=10xx1x2dydx =102x1x2dx=102x3/2dx=limϵ0+2x1/21/2|1x=ϵ=. Suppeneminen riippuu integroitavan funktion lisäksi myös alueesta!

Alue D_2
Alue D2

Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Tutkitaan funktiota F:GD, missä D ja G ovat R2:n osajoukkoja. Oletetaan, että funktion F kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Lisäksi oletetaan, että F on bijektio: Jokaista pistettä (x,y)D vastaa yksikäsitteinen piste (u,v)G, jolle F(u,v)=(x,y). Tällöin erityisesti D=F(G).

muuttujanvaihto 
(x(u,v),y(u,v))=F(u,v)

Tutkitaan aluksi muuttujanvaihtoa tasointegraalin tapauksessa: Df(x,y)dxdy=G???dudv. Tarvitaan tieto siitä, miten pinta-ala skaalautuu funktiossa (x,y)=F(u,v).

muuttujanvaihto
Kuvassa a (vast. b) sijaitsee käyrällä, jolla v (vast. u) on vakio. Koska funktiolla F on jatkuvat osittaisderivaatat, käyrät ovat sileitä.

Ketjusäännöllä dx=xudu+xvdv ja dy=yudu+yvdv. Edettäessä vektorin a suuntaan (x,y)-koordinaateissa, koordinaatti v on vakio ja siten dv=0. Saadaan axudui+yuduj. Samaan tapaan voidaan päätellä, että bxvdvi+yvdvj. Tässä i ja j ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit.

Approksimaatiokaava pinta-alaelementin dA muutokselle siis on dA=dxdy|a×b|= Käytetään merkintää (huom. neliömatriiseille \det A=\det A^T)  \left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right\|\,du\,dv := \big|\det D \mathbf{F}(u,v)\big|\,du\,dv. Determinantti \det D \mathbf{F}(u,v) on funktion \mathbf{F}\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 Jacobin determinantti. Sille käytetään myös merkintää  \det D \mathbf{F}(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \text{ kun } (x,y) = \mathbf{F}(u,v).

Jacobin determinantin itseisarvo |\det D \mathbf{F}(u,v)| kertoo paikallisen pinta-alan muutoksen kuvattaessa (u,v)-koordinaattien infinitesimaalinen pinta-ala du\,dv vastaavalle (x,y)-koordinaateissa lausutulle pinta-alalle dx\,dy funktion (x,y) = \mathbf{F}(u,v) välityksellä.

Tasointegraalin muuttujanvaihtokaavaksi siis saadaan  \iint_D f(x,y) \,dx\,dy = \iint_{G} g(u,v) \big | \det D\mathbf{F} (u,v)\big| \,du\,dv missä g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) ja D=\mathbf{F}(G). Tässä \mathbf{F} on integroimisalueiden D ja G välinen bijektio. Jacobin determinantin etumerkki kertoo, onko \mathbf{F} suunnan säilyttävä vai kääntävä. Itseisarvo tarvitaan, jotta positiivisen funktion integraali ei muuttuisi negatiiviseksi eräillä \mathbf{F}.

Esimerkki

Lasketaan neljän paraabelin y=x^2, y=2x^2, x=y^2 ja x=3y^2 rajoittamaan alueen D pinta-ala.

Huomataan, että integroimisalue kuvautuu suorakulmioksi G = [1/2 , 1] \times [1/3 , 1] muunnoksella  \mathbf{G}(x,y) = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}, \quad u(x,y)=\frac{x^2}{y},\,\,v(x,y)=\frac{y^2}{x}.

muuttujanvaihto
Integrointi suorakulmion yli on paljon helpompaa.

Halutaan kuitenkin käänteiskuvaus \mathbf{F} = \mathbf{G}^{-1}\colon G\to D, joka vie koordinaatit (u,v) käyräviivaisille (x,y)-koordinaateille. Lineaarialgebran perusteella  \det D {{\mathbf{F}}}(u,v)=\frac{1}{\det D \mathbf{G}(x,y)}. Lasketaan  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2}. Saadaan myös  \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{y^2}{x^2}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2y}{x}.

Lasketaan edelleen  \det D \mathbf{G}(x,y) = \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} \frac{2x}{y} & -\frac{x^2}{y^2} \\ -\frac{y^2}{x^2} & \frac{2y}{x} \end{array}\right|  = 4-1 = 3,\text{ eli } \big|\det D {\mathbf{F}} (u,v)\big|=\frac{1}{3}. Tulokseksi siis saadaan  \iint_D 1\,dx\,dy = \iint_G \frac{1}{3}\,du\,dv = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9}. Yleensä ei käy niin onnellisesti, että sama koordinaatistomuunnos vie integroitavan alueen suorakulmiolle samalla kun integroitava funktio menee vakioksi.