MS-A0104 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2, ENG2), Luento-opetus, 23.10.2023-7.12.2023
This course space end date is set to 07.12.2023 Search Courses: MS-A0104
VERKKOKIRJA
Differentiaali- ja integraalilaskenta - verkkokirja, tekijä Pekka Alestalo
Englanninkielisen MOOC-kurssin luentomateriaali, joka perustuu tämän kurssin luentoihin. Mukana on interaktiivisia JSXGraph-kuvia, joita ei ole suomenkielisissä luentokalvoissa. Toistaiseksi vain luvut 1-5, 7 ja 9 ovat suomeksi.
7. Pinta-ala
Pinta-ala tasossa
Tarkastellaan umpinaisen ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän raamien alueiden pinta-alaa. Pinta-alan yleinen käsite on teoreettisesti paljon hankalampi, mistä antaa viitteen luvun lopussa oleva huomautus.
Tasojoukon pinta-ala määritellään palauttamalla se yksinkertaisempien joukkojen pinta-aloihin. Erityisesti täytyy huomata, ettei pinta-alaa voi "laskea", ellei "pinta-alan" käsitettä ole ensin määritelty (vaikka koulumatematiikassa näin usein tehdäänkin).
Lähtökohta
Suorakulmion pinta-ala
Suorakulmion pinta-ala onMääritelmä: Suunnikkaan pinta-ala
Suunnikkaan pinta-ala on
Määritelmä: Kolmion pinta-ala
Kolmion pinta-ala on (määritelmän mukaan) \[ A=\frac{1}{2}ah. \]
Monikulmio
(Yksinkertainen) monikulmio on tasojoukko, jota rajaa äärellisestä määrästä peräkkäisiä janoja koostuva suljettu käyrä. Vain peräkkäiset janat saavat leikata toisiaan yhteisessä päätepisteessä.
Määritelmä: Monikulmion pinta-ala
Monikulmion pinta-ala määritellään jakamalla se
äärelliseen määrään kolmioita (monikulmion
Lause.
Kolmioiden pinta-alojen summaf ei riipu monikulmion kolmioinnin valinnasta.
Yleinen tapaus
Tasojoukolle \(\color{red} D\), jota rajaa umpinainen itseään leikkaamaton käyrä, voidaan muodostaa sisämonikulmioita \(\color{blue}P_i\) ja ulkomonikulmioita \(P_o\): \(\color{blue}P_i\color{black} \subset \color{red}D\color{black}\subset P_o\).
Yllätys: Se, että joukkoa \(D\) rajoittaa umpinainen (itseään leikkaamaton) käyrä, ei takaa, että joukon pinta-ala on määritelty: Reunakäyrä voi olla niin "mutkitteleva", että sillä on positiivinen "pinta-ala". Ensimmäisen esimerkin konstruoi [W.F. Osgood, 1903]:
Wikipedia: Osgood curveEsimerkki
Johda \(R\)-säteisen ympyrän pinta-alan kaava \(A=\pi R^2\) valitsemalla sisä- ja ulkomonikulmioiksi säännöllisiä \(n\)-kulmioita, ja ottamalla lopuksi raja-arvo \(n\to\infty\).
Ratkaisu: vapaaehtoinen lisätehtävä, jossa tarvitaan raja-arvoa \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.\] Vihje: Osoita, että säännöllisten sisä- ja ulkomonikulmioiden pinta-alat ovat \[ \pi R^2\frac{\sin (2\pi/n)}{2\pi/n} \ \text{ ja }\ \pi R^2\frac{\tan \pi/n}{\pi/n}.\]