5. Taylor-polynomi

Sisältö

Taylor-polynomi

Esimerkki

Verrataan funktion \(\sin x\) kuvaajaa (punainen) polynomien \[ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \] kuvaajiin (sininen) arvoilla \(n=1,2,3,\dots,12\).

Kokeile. Funktio sin ja polynomi

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}\)

Määritelmä: Taylor-polynomi

Olkoon \(f\) funktio, joka on \(k\) kertaa derivoituva pisteessä \(x_{0}\). Tällöin Taylor-polynomi \begin{align} P_n(x)&=P_n(x;x_0)\\\ &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \\ & \dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\ \end{align} on (derivaattojen suhteen) paras \(n\)-asteinen polynomiapproksimaatio funktiolle \(f\) pisteen \(x_0\) lähellä.

Huom. Tapauksessa \(x_0=0\) käytetään usein nimeä Maclaurin-polynomi.


Jos \(f\) on \(n\) kertaa derivoituva pisteessä \(x_0\), niin Taylor-polynomilla on pisteessä \(x_0\) samat derivaatat kuin funktiolla \(f\), aina (derivaatan) kertalukuun \(n\) saakka.

Syy (tapaus \(x_0=0\)): Olkoon \[ P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\dots +c_nx^n, \] jolloin \begin{align} P_n'(x)&=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\dots +nc_nx^{n-1}, \\ P_n''(x)&=2c_2+3\cdot 2 c_3x\dots +n(n-1)c_nx^{n-2} \\ P_n'''(x)&=3\cdot 2 c_3\dots +n(n-1)(n-2)c_nx^{n-3} \\ \dots && \\ P^{(k)}(x)&=k!c_k + x\text{ termejä} \\ \dots & \\ P^{(n)}(x)&=n!c_n \\ P^{(n+1)}(x)&=0. \end{align}

Tämän avulla kertoimet voidaan ratkaista yksi kerrallaan: \begin{align} c_0= P_n(0)=f(0) &\Rightarrow c_0=f(0) \\ c_1=P_n'(0)=f'(0) &\Rightarrow c_1=f'(0) \\ 2c_2=P_n''(0)=f''(0) &\Rightarrow c_2=\frac{1}{2}f''(0) \\ \vdots & \\ k!c_k=P_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0). \\ \vdots &\\ n!c_n=P_n^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0). \end{align} Kertaluvusta \(k=n+1\) alkaen lisäehtoja ei voi enää asettaa, koska \(P^{(n+1)}(x)=0\).

Taylorin kaava

Jos derivaatta \(f^{(n+1)}\) on olemassa ja jatkuva jollakin välillä \(I=\, ]x_0-\delta,x_0+\delta[\), niin \(f(x)=P_n(x;x_0)+E_n(x)\) ja virhetermille \(E_n(x)\) pätee \[ E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \] jollakin \(c\in [x_0,x]\subset I\). Jos on olemassa sellainen vakio \(M\) (indeksistä \(n\) riippumaton), että \(|f^{(n+1)}(x)|\le M\) kaikilla \(x\in I\), niin \[ |E_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \to 0, \] kun \(n\to\infty\).


Todistus sivuutetaan (mathemaattinen induktio tai osittaisintegrointi).


Examples of Maclaurin polynomial approximations: \begin{align} \frac{1}{1-x} &\approx 1+x+x^2+\dots +x^n =\sum_{k=0}^{n}x^k\\ e^x&\approx 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots + \frac{1}{n!}x^n =\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\\ \ln (1+x)&\approx x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\\ \sin x &\approx x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \cos x &\approx 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \end{align}

Esimerkki

Kuinka mones Taylor-polynomi \(P_n(x)\) approksimoi funktiota \(\sin x\) välillä \([-\pi,\pi]\) niin hyvin, että virheen itseisarvo on alle  \(10^{-6}\)?

Käytetään Taylorin kaavaa funktiolle \(f(x)=\sin x\) pisteen \(x_0=0\) suhteen. Tällöin \(|f^{(n+1)}(c)|\le 1\) riippumatta luvusta \(n\) ja pisteestä \(c\). Lisäksi kyseisellä välillä on \(|x-x_0|=|x|\le \pi\). Ehto toteutuu (ainakin silloin) kun \[ |E_n(x)|\le \frac{1}{(n+1)!}\pi^{n+1} < 10^{-6}. \] Tämä epäyhtälö täytyy ratkaista kokeilemalla luvun \(n\) eri arvoja; ratkaisuksi saadaan \(n\ge 16\).

Vaadittu tarkkuus saadaan siis polynomilla \(P_{16}(x)\), joka on sinifunktion tapauksessa sama kuin \(P_{15}(x)\).

Kuvaajista tms. voi tarkistaa, ettei \(P_{13}(x)\) riitä vaadittuun tarkkuteen, joten teoreettinen raja on tarkka!

Taylorin polynomi ja ääriarvot

Jos \(f'(x_0)=0\), niin myös osa korkeamman kertaluvun derivaatoista voi olla nollia: \[ f'(x_0)=f''(x_0)= \dots = f^{(n-1)}(x_0) =0,\ f^{(n)}(x_0) \neq 0. \] Tällöin funktion \(f\) käyttäytyminen pisteen \(x=x_0\) lähellä määräytyy (vakiotermi \(f(x_0)\) ei vaikuta) Taylor-polynomin johtavasta termistä \[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}. \].

Tämä johtaa seuraavaan tulokseen:

Ääriarvot
  • Jos \(n\) on pariton, niin \(x_0\) ei ole funktion \(f\) paikallinen ääriarvokohta.
  • Jos \(n\) on parillinen ja \(f^{(n)}(x_0)>0\), niin funktiolla \(f\) on paikallinen minimi pisteessä \(x_0\).
  • Jos \(n\) parillinen ja \(f^{(n)}(x_0)<0\), niin funktiolla \(f\) on paikallinen maksimi pisteessä \(x_0\).

Newtonin menetelmä

The first Taylor polynomial \(P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) is the same as the linearization of \(f\) at the point \(x_0\). This can be used in some simple approximations and numerical methods.

Newtonin menetelmä

Yhtälö \(f(x)=0\) voidaan ratkaista likimääräisesti valitsemalla jokin alkupiste \(x_0\) (esimerkiksi kuvaajan perusteella) ja määrittelemällä lukujono palautuskaavalla \[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] for \(n=0,1,2,\dots\) Tämä johtaa jonoon \((x_0,x_1,x_2,\dots )\), jonka termit approksimoivat yleensä funktion \(f\) nollakohtaa yhä paremmin indeksin \(n\) kasvaessa.


Palautuskaava perustuu geometriseen ideaan, jossa funktion nollakohtaa approksimoidaan sen tangenttisuoran nollakohdan avulla. Kyseessä on funktion linearisointi eli 1. asteen Taylor-polynomi edellisen pisteen \(x_n\) suhteen.

Esimerkki

Määritä luvun \(\sqrt{2}\) likiarvo Newtonin menetelmän avulla.

Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle \(f(x)=x^2-2\) ja alkuarvoa \(x_0=2\). Palautuskaava tulee muotoon \[ x_{n+1}= x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right), \] josta saadaan \(x_1=1{,}5\), \(x_2\approx 1{,}41667\), \(x_3\approx 1{,}4142157\) jne.

Kokeilemalla huomataan (esim. Maple), että oikeiden desimaalien lukumäärä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella askeleella, ja \(x_7\) tuottaa yli 100 oikeaa desimaalia, kunhan välivaiheet lasketaan riittävällä tarkkuudella.

Taylor-sarja

Taylor-sarja

Jos Taylorin kaavan virhetermi \(E_n(x)\) lähestyy nollaa, kun \(n\) kasvaa, niin Taylor-polynomin raja-arvona saadaan Taylor-sarja \(f\) (= Maclaurin-sarja tapauksessa \(x_0=0\)).

Funktion \(f\) Taylor-sarja on muotoa \[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k . \] Tämä on esimerkki potenssisarjasta.


Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, kun funktiolla \(f\) on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä \(x_0\) ja nämä sijoitetaan ym. kaavaan. Tähän liittyy kuitenkin kaksi ongelmaa: 1. Suppeneeko Taylor-sarja kaikilla muuttujan arvoilla \(x\)?

Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktion \[ f(x)=\frac{1}{1-x} \] Maclaurin-sarja (= geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla \(-1 < x < 1\), vaikka alkuperäinen funktio on derivoituva  pisteissä \(x\neq 1\): \[ f(x)=\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+\dots \]

Kokeile. Newtonin menetelmä. Valitse alkukohta \(x_{0}\) ja iteroi (monta kertaa) funktion nollakohdan likiarvon selvittämiseksi.
\(x_{0}=~\)

2. Jos sarja suppenee jollakin arvolla \(x\), niin onko sarjan summa sama kuin \(f(x)\)? Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktiolle \[ f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0,\\ \end{cases} \] pätee \(f^{(k)}(0)=0\) kaikilla \(k\in \mathbf{N}\) (alkeellinen, mutta teknisesti hieman hankala lasku). Näin ollen sen Maclaurin-sarja on identtisesti nolla ja suppenee kohti arvoa \(f(x)\) vain kohdassa \(x=0\).

Johtopäätös: Taylor-sarjoja pitäisi aina tutkia huolellisesti analysoimalla virhetermejä. Käytännössä voidaan kuitenkin usein käyttää tunnettuja sarjakehitelmiä apuna.

 
Funktion \(e^{-1/x^2}\) kuvaaja.
Esimerkkejä

\begin{align} \frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} x^k,\ \ |x|< 1 \\ e^x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k, \ \ x\in \mathbb{R} \\ \sin x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}, \ \ x\in \mathbb{R} \\ \cos x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k},\ \ x\in \mathbb{R} \\ (1+x)^r &= 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{r(r-1)(r-2)\dots (r-k+1)}{k!}x^k, |x|<1 \end{align} Viimeinen on nimeltään binomisarja ja se  voidaan muodostaa kaikilla \(r\in \mathbb{R}\). Jos \(r=n \in \mathbb{N}\), niin indeksistä \(k=n+1\) alkaen kaikki kertoimet ovat nollia, ja alkuosassa \[ \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}. \]

Vertaa binomikaavaan: \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^{n-k}b^k =a^n +na^{n-1}b+\dots +b^n, \] kun \(n\in\mathbb{N}\).

Potenssisarja

Määritelmä: Potenssisarja

Potenssisarja on muotoa \[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}c_k(x-x_0)^k. \] Piste \(x_0\) on sarjan keskus luvut \(c_k\) ovat potenssisarjan kertoimet.

Sarja suppenee pisteessä \(x\), jos ym. raja-arvo on olemassa ja äärellinen.

Suppenemisen suhteen on vain kolme olennaisesti erilaista tapausta:

Abelin lause.
  •  Sarja suppenee vain arvolla \(x=x_0\) (jolloin siinä esiintyy pelkästään vakio \(c_0\))
  •  Sarja suppenee kaikilla \(x\in \mathbb{R}\)
  •  Sarja supppenee jollakin välillä \(]x_0-R,x_0+R[\) (ja mahdollisesti yhdessä tai molemmissa päätepisteissä), ja hajaantuu muilla muuttujan \(x\) arvoilla.

Luku \(R\) on potenssisarjan suppenemissäde. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa merkitään \(R=0\) tai \(R=\infty\).

Esimerkki

Millä muuttujan \(x\) arvoilla potenssisarja \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}x^k\] suppenee?

Käytetään suhdetestiä lausekkeelle \(a_k=kx^k/2^k\). Silloin \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \left| \frac{(k+1)x^{k+1}/2^{k+1}}{kx^k/2^k} \right| = \frac{k+1}{2k}|x| \to \frac{|x|}{2}, \] kun \(k\to\infty\). Suhdetestin perusteella sarja suppenee, kun \(|x|/2<1\), ja hajaantuu arvoilla \(|x|/2>1\). Rajatapauksissa \(|x|/2= 1\Leftrightarrow x=\pm 2\) sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.

Tulos: Sarja suppenee arvoilla \(-2< x< 2\), ja hajaantuu muuten.

Määritelmä: Summafunktio

Sarjan suppenemisvälillä \(I\) voidaan määritellä funktio \(f\colon I\to \mathbb{R}\) asettamalla \begin{equation} \label{summafunktio} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k, \tag{1} \end{equation} jota kutsutaan potenssisarjan summafunktioksi.

Summafunktio \(f\) on jatkuva ja derivoituva avoimella välillä \(]x_0-R,x_0+R[\). Lisäksi derivaatta \(f'(x)\) voidaan laskea derivoimalla potenssisarja termeittäin: \[ f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}kc_k(x-x_0)^{k-1}. \] Huom. Vakiotermi \(c_0\) häviää derivoinnissa, joten summaus alkaa kohdasta \(k=1\). Derivoitu sarja suppenee samalla välillä \(x\in \, ]x_0-R,x_0+R[\) kuin alkuperäinen potenssisarja; tämä voi tuntua hieman yllättävältä kertoimen \(k\) vuoksi.

Esimerkki

Määritä potenssisarjan \(1+2x+3x^2+4x^3+\dots\) summafunktio.

Tämä sarja saadaan derivoimalla termeittäin geometrinen sarja (kun \(q=x\)). Näin ollen \begin{align} 1+2x+3x^2+4x^3+\dots &= D(1+x+x^2+x^3+x^4+\dots ) \\ &= \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}. \end{align} Kerrotaan molemmat puolet termillä \(x\), jolloin saadaan \[ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k} = x+2x^2+3x^3+4x^4+\dots = \frac{x}{(1-x)^2}, \] joka on voimassa arvoilla \(|x|<1\).

Tapauksessa \([a,b]\subset\ ]x_0-R,x_0+R[\) sarjan voi myös integroida termeittäin: \[ \int_a^b f(x)\, dx = \sum_{k=0}^{\infty}c_k\int_a^b (x-x_0)^k\, dx. \] Usein integroinnin voi ulottaa myös sarjan suppenemisvälin päätepisteeseen saakka, mutta tämä ei pidä paikkaansa yleisesti.

Esimerkki

Lasketaan vuorottelevan harmonisen sarjan summa.

 Sijoitetaan aluksi \(q=-x\) geometrisen sarjan summakaavaan. Näin saadaan \[ 1-x+x^2-x^3+x^4-\dots =\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}. \] Integroidaan yhtälön molemmat puolet pisteestä \(x=0\) pisteeseen \(x=1\), jolloin saadaan \[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots =\int_0^1\frac{1}{1+x} =\ln 2. \] Huom. Integroinnin ulottaminen pisteeseen \(x=1\) saakka pitäisi perustella tarkemmin. Integrointiin palataan myöhemmin tällä kurssilla.