3. Jatkuvuus

Sisältö

  • Funktion raja-arvo
  • Raja-arvo ja jatkuvuus
  • Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

Tässä luvussa määritellään funktion \(f\colon S\to \mathbb{R}\) raja-arvo pisteessä \(x_0\). Oletamme, että lukija tuntee ennestään reaalimuuttujan funktion käsitteen ja lukujonon raja-arvon.

Funktion raja-arvo

Olkoon \(S\) reaalilukujen osajoukko ja \(x_0\) sellainen piste, että on olemassa jono pisteitä \((x_k)\in S\setminus \{x_0\}\), joille \(x_k\to x_0\), kun \(k\to \infty\). Usein \(S\) on kaikkien reaalilukujen joukko, mutta toisinaan myös väli (avoin, puoliavoin tai suljettu).

Esimerkki 1.

Pisteen \(x_0\) ei tarvitse kuulua joukkoon \(S\). Esimerkiksi jono \(x_k = 1/k\to 0\) joukossa \(S=\, ]0,2[\), kun \(k\to \infty\), ja \(x_k\in S\) kaikilla \(k=1,2,\ldots\), mutta \(0\) ei kuulu joukkoon \(S\).

Funktion raja-arvo

Funktion \(f\colon S\to \mathbb{R}\) raja-arvo pisteessä \(x_0\) määritellään seuraavalla tavalla.

Määritelmä 1: Funktion raja-arvo

Olkoon \(S\subset \mathbb{R}\) ja \(f\colon S\to \mathbb{R}\) funktio. Sanotaan, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(y_{0}\) pisteessä \(x_{0}\), merkitään \[\lim_{x \to x_{0}}f(x)=y_{0},\] jos \(f(x_{k})\to y_{0}\), kun \(k\to \infty\) kaikille niille jonoille \((x_{k})\) joukossa \(S\setminus\{x_0\}\), joille \(x_{k}\to x_{0}\), kun  \(k\to \infty\).

Esimerkki 2.

Functiolla \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\), on raja-arvo \(0\) pisteessä \(x_0=0\).

Funktio \(y=x^2\).

Esimerkki 3.

Funktiolla \(g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \[g(x)= \left\{\begin{array}{rl}0, & \text{ kun }x<0, \\ 1, & \text{ kun }x\ge 0,\end{array}\right.\] ei ole raja-arvoa pisteessä \(x_0=0\). Tämän todistamiseksi määritellään jonot \((x_k)\), \((y_k)\) asettamalla \(x_k=1/k\) ja \(y_k=-1/k\), kun \(k=1,2,\ldots\). Silloin molemmat jonot sisältyvät joukkoon \(S=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\) ja niillä on raja-arvona tutkittava piste \(x_0=0\). Kuitenkin \(f(x_k)=1\) ja \(f(y_k)=0\) kaikilla \(k\), joten funktion arvoista muodostetuilla jonoilla on eri raja-arvot.

Funktio \[g(x)= \left\{\begin{array}{rl}0, & \text{ kun }x<0, \\ 1, & \text{ kun }x\ge 0.\end{array}\right.\]

Esimerkki 4.

Funktiolla \(f(x)=x \sin(1/x)\), \(x>0\), on raja-arvo \(0\) pisteessä \(0\).

Funktio \(y=x\sin(1/x)\) arvoilla \(x>0\).

Esimerkki 5.

Funktiolla \(g(x)= \sin(1/x)\), \(x>0\), ei ole raja-arvoa pisteessä \(0\).

Funktio \(y=\sin(1/x)\) arvoilla \(x>0\).

Toispuoleiset raja-arvot

Raja-arvon tärkeä ominaisuus on sen yksikäsitteisyys. Tämä tarkoittaa sitä, että tapauksessa \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\) ja \(\lim_{x\to x_0} f(x)=b\) täytyy olla \(a=b\). Tästä huolimatta voi usein olla hyödyllistä tutkia funktion käyttäytymistä, kun \(x_k\) lähestyy tutkittavaa pistettä \(x_0\) vain vasemmalta tai oikealta. Näitä kutsutaan funktion \(f\) vasemman- tai oikeanpuoleisiksi raja-arvoiksi pisteessä \(x_0\).

Määritelmä 2: Toispuoleiset raja-arvot

Olkoon \(S\subset \mathbb{R}\) ja \(f\) funktio, joka on määritelty (ainakin) joukossa \(S\setminus\{x_0\}\). Tällöin funktiolla \(f\) has a vasemmanpuoleinen raja-arvo \(y_{0}\) pisteessä \(x_{0}\), merkitään \[\lim_{x \to x_{0}-}f(x)=y_{0},\] jos \(f(x_{k})\to y_{0}\), kun \(k\to \infty\) kaikille niille jonoille \((x_{k})\) joukossa  \(S\cap ]-\infty,x_0[ =\{ x\in S : x < x_0 \}\), joille \(x_{k}\to x_{0}\), kun \(k\to \infty\).

Vastaavasti funktiolla \(f\) on oikeanpuoleinen raja-arvo \(y_{0}\) pisteessä \(x_{0}\), merkitään \[\lim_{x \to x_{0}+}f(x)=y_{0},\], jos \(f(x_{k})\to y_{0}\), kun \(k\to \infty\) kaikille niille jonoille \((x_{k})\) joukossa \(S\cap ]x_0,\infty[ =\{ x\in S : x_0 < x \}\), joille \(x_{k}\to x_{0}\), kun \(k\to \infty\).

Lause 1: Funktion raja-arvo

Funktiolla \(f\colon S\to \mathbb{R}\) on raja-arvo \(y_0\) pisteessä \(x_0\) täsmälleen silloin, kun \[\lim_{x \to x_{0}-}f(x)= \lim_{x \to x_{0}+}f(x)=y_{0}.\]

Esimerkki 6.

Signum-funktio \[\mathrm{sgn}(x)= \frac{x}{|x|}\] on määritelty joukossa \(S= \mathbb{R}\setminus 0\). Pisteessä \(0\) sen vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat \[\lim_{x\to 0-} \mathrm{sgn}(x)= -1,\qquad \lim_{x\to 0+} \mathrm{sgn}(x)= 1.\] Funktiolla \(\mathrm{sgn}(x)\) ei siis ole raja-arvoa \(0\).

Funktio \(y = \frac{x}{|x|}\).

Esimerkki 7.

Funktiolla \(f: \mathbb{R}\setminus 0 \to \mathbb{R}\) \[f(x) = \frac{1}{x}\] ei ole toispuoleisia raja-arvoja pisteessä 0.

Laskusääntöjä

Raja-arvojen laskusäännöt seuraavat suoraan vastaavista lukujonojen raja-arvon ominaisuuksista.

Lause 2: Raja-arvon laskusääntöjä

Olkoon \(c\in \mathbb{R}, \lim_{x\to x_{0}} f(x)=a\) ja \(\lim_{x\to x_{0}} g(x)=b.\) Tällöin

  1. \(\lim_{x\to x_{0}} (cf)(x)=ca\),
  2. \(\lim_{x\to x_{0}} (f+g)(x)=a+b\),
  3. \(\lim_{x\to x_{0}} (fg)(x)=ab\),
  4. \(\lim_{x\to x_{0}} (f/g)(x)=a/b,  (\text{ jos }  b \neq 0)\).
Esimerkki 8.

Helpoimmissa tapauksissa raja-arvo saadaan laskemalla \(f(x_0)\):

a) \[\lim_{x\to 2}(5x-3)=10-3=7.\]

b) \[\lim_{x\to -2}\frac{3x+2}{x+5} = \frac{-6+2}{-2+5}=-\frac{4}{3}.\]

c) \[\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.\]

Raja-arvot ja jatkuvuus

Tässä kappaleessa määritellään funktion jatkuvuus. Jatkuvuuden intuitiivinen tulkinta on se, että funktion kuvaaja on yhtenäinen viiva. Tämä ei kuitenkaan ole matemaattisesti riittävän tarkka määritelmä, koska se mm. sisältää epämääräisiä (?) käsitteitä kuten "yhtenäinen" ja "viiva". Tämän perusteella voi esimerkiksi olla vaikea päättää, onko funktio \(\tan(x)\) jatkuva vai ei.

Funktion \(f\) jatkuvuuteen pisteessä \(x_0\) vaaditaan, että:

  1. \(f(x_0)\) on määritelty,

  2. \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) on olemassa (ja äärellinen),

  3. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Toisin sanoen:

Määritelmä 2: Jatkuvuus

Funktio \(f\colon S\to \mathbb{R}\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\in S\), jos \[\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).\] Funktio \(f\colon S\to \mathbb{R}\) on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä \(x_{0}\in S\).

Esimerkki 1.

Olkoon \(c\in \mathbb{R}\). Funktiot \(f,g,h\), jotka on määritelty kaavoilla \(f(x)=c\), \(g(x)=x\), \(h(x)=|x|\), ovat jatkuvia kaikissa pisteissä \(x\in \mathbb{R}\).

Miksi? Jos \(x_{k}\to x_{0}\), niin \(f(x_{k})=c\) ja \(\lim_{k\to \infty}f(x_k)= c=f(x_{0})\). Vastaavasti funktiolle \(g\) pätee \(g(x_{k})=x_{k}\) ja sen vuoksi \(\lim_{k\to\infty} g(x_k)=x_{0}=g(x_{0})\). Samoin \(h(x_{k})=|x_{k}|\) ja \(\lim_{k\to\infty}h(x_k)= |x_{0}|=h(x_{0})\).

Jatkuvat funktiot \(y=c\), \(y=x\) and \(y=|x|\).

Esimerkki 2.

Olkoon \(x_{0}\in \mathbb{R}\). Määritellään funktio \(f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) asettamalla \[f(x)= \left\{\begin{array}{rl}2, & \text{ kun }x \lt x_{0}, \\ 3, & \text{ kun } x\geq x_{0}.\end{array}\right.\] Silloin \[\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=2,\text{ ja } \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=3.\] Tämän vuoksi \(f\) ei ole jatkuva pisteessä \(x_{0}\).

Seuraavaksi esitellään joitakin jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia. Raja-arvosääntöjen avulla (Lause 2) saadaan:

Lause 3.

Jatkuvien funktioiden summa ja tulo ovat jatkuvia. Erityisesti polynomit ovat jatkuvia funktioita. Jos \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvia ja \(g(x_{0})\neq 0\), niin \(f/g\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\).

Jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on jatkuva, kunhan se on määritelty:

Lause 4.

Olkoot \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ja \(g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\). Oletetaan, että \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\) ja \(g\) on jatkuva pisteessä \(f(x_{0})\). Tällöin \(g\circ f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) on jatkuva pisteessä \(x_{0}\).

Todistus.

Huom. Jos \(f\) on jatkuva, niin \(|f|\) on jatkuva.

Miksi?

Merkitään \(g(x):=|x|\). Silloin \((g\circ f)(x)=|f(x)|\).

Huom. Jos \(f\) and \(g\) ovat jatkuvia, niin \(\max (f,g)\) ja \(\min (f,g)\) ovat jatkuvia. (Tässä \(\max (f,g)(x):=\max \{f(x),g(x)\}\).)

Miksi?

Käytetään kaavoja \[\begin{cases}(a+b)+|a-b|=2\max(a,b), \\ (a+b)-|a-b|=2\min(a,b). \end{cases} \]

\[\text{Funktio }f(x)= \left\{\begin{array}{rl}2, & \text{ kun }x\lt x_{0}, \\ 3, & \text{ kun }x\geq x_{0}. \end{array}\right.\]

Epsilon-delta määritelmä

Seuraavaksi esitetään jatkuvuuden \((\varepsilon,\delta)\)-määritelmä. Tärkein idea on se, että jos \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_0\), niin funktion arvojen \(f(x)\) pitäisi lähestyä arvoa \(f(x_0)\), kun \(x\) lähestyy pistettä \(x_0\).

Tämä määritelmä yleistyy muillekin kuin tällä kurssilla käsitellyille reaalifunktioille.

Lause 5: \((\varepsilon,\delta)\)-määritelmä

Olkoon \(f: S\to \mathbb{R}\). Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

  1. \(\lim_{x\to x_0} f(x)= y_0\),
  2. Jokaista \(\varepsilon> 0\) vastaa sellainen \(\delta >0\), että ehdoista \(x\in S\) ja \(0 < |x-x_0| < \delta\) seuraa epäyhtälö \(|f(x) - y_0| <\varepsilon\).

Todistus.

Esimerkki 3.

Lauseen 3 perusteella tiedämme, että funktio \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 4x\), on jatkuva. Tämä voidaan perustella myös käyttämällä \((\varepsilon,\delta)\)-määritelmää.

Todistus. Olkoon \(x_0 \in \mathbb{R}\) ja \(\varepsilon > 0\). Tällöin \[|f(x) - f(x_0)| = |4x - 4x_0| = 4|x - x_0| < \varepsilon,\] jos \[|x - x_0| < \delta \text{ ja valitaan } \delta = \frac{\varepsilon}{4}.\]

Jokaista \(\varepsilon > 0\) vastaa siis sellainen \(\delta > 0\), että ehdosta \(|x - x_0| < \delta\) seuraa \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\). Lauseen 5 mukaan \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) kaikilla \(x_0 \in \mathbb{R}\) ja määritelmän mukaan tämä tarkoittaa funktion \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) jatkuvuutta.
\(\square\)

Kokeile: \((\varepsilon, \delta)\) esimerkissä 3.

Esimerkki 4.

Olkoon \(x_{0}\in \mathbb{R}\). Määritellään funktio \(f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) asettamalla \[f(x)= \left\{\begin{array}{rl}2, & \text{ jos }x \lt x_{0}, \\ 3, & \text{ jos }x \geq x_{0}.\end{array}\right.\] Esimerkissä 2 nähtiin, että tämä funktio on epäjatkuva pisteessä \(x_0\). Tämän todistamiseksi \((\varepsilon,\delta)\)-määritelmää käyttämällä täytyy löytää sellainen \(\varepsilon > 0\) ja \(x_\delta \in \mathbb{R}\), että kaikilla \(\delta > 0\) on voimassa \(|x_\delta - x_0| < \delta\), mutta \(|f(x_\delta) - f(x_0)| > \varepsilon\).

Todistus. Olkoon \(\delta > 0\) ja \(\varepsilon = 1/2\). Valitsemalla \(x_\delta = x_0 - \delta /2\) on voimassa \[0 < |x_\delta-x_0| = |x_0 - \frac{\delta}{2} + x_0| = \frac{\delta}{2} < \delta,\] ja \[|f(x_\delta) - f(x_0)| = |2 - 3| = 1 > \varepsilon.\] Näin ollen Lauseen 5 perusteella \(f\) ei ole jatkuva pisteessä \(x_{0}\).
\(\square\)

Kokeile: \((\varepsilon, \delta)\) esimerkissä 4.

Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

Tässä kappaleessa tutustutaan jatkuvien funktioiden tärkeimpiin ominaisuuksiin. Aloitamme jatkuvien funktioiden väliarvolauseella, joka tunnetaan myös nimellä Bolzanon lause. Tämän lauseen erään muotoilun mukaan jatkuva funktio saa kaikki arvot sen maksimin ja minimin väliltä. Intuitiivinen perustelu on se, että jatkuvan funtion kuvaaja on yhtenäinen viiva.

Lause 6: Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jos \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) on jatkuva ja \(f(a) \lt s \lt f(b)\), niin on olemassa aiankin yksi sellainen piste \(c\in\, ]a,b[\), että \(f(c)=s\).

Todistus.

Kokeile siirtämällä katkoviivan korkeutta: Lause 6.

Väliarvolause.

Esimerkki 1.

Määritellään funktio \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) kaavalla \[f(x) = x^5 - 3x - 1.\] Osoita, että on sillä on ainakin yksi nollakohta eli piste \(c \in \mathbb{R}\), jolle \(f(c) = 0\).

Ratkaisu. Polynomifunktiona \(f\) on jatkuva. Lisäksi \[f(1) = 1^5 - 3 \cdot 1 - 1 = -3 < 0\] ja \[f(-1) = (-1)^5 - 3 \cdot (-1) - 1 = 1 > 0,\] joten väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen \(c \in\, ]-1, 1[\), että \(f(c) = 0\).

Funktio \(f(x) = x^5 - 3x - 1\).

Esimerkki 2 (kummallinen?).

Olkoon \(f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)\).

By the Intermediate Value Theorem we have \(f(x)<0\) for \(x<-1\) or \(0 \lt x \lt 1\). Similarly, \(f(x)>0\) for \(-1 \lt x \lt 0\) or \(1 \lt x\), because:

  1. \(f(x)=0\) if and only if \(x=0\) or \(x=\pm 1\), and
  2. \(f(-2)<0, f(-1/2)>0, f(1/2)<0\) and \(f(2)>0\).

Funktio \(f(x) = x^3 - x\).

Seuraavaksi osoitetaan, että suljetulla välillä jatkuva funktio on rajoitettu. Tässä on tärkeää, että kyseessä on nimenomaan suljettu väli. Lauseen jälkeinen esimerkki osoittaa, ettei väite pidä paikkaansa avoimille väleille.

Lause 7.

Olkoon \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) jatkuva. Silloin \(f\) on rajoitettu, ts. on olemassa sellainen vakio \(C\), että \(|f(x)|\le C\) kaikilla \(x\in [a,b]\).

Todistus.

Huom. Jos \(f\colon ]a,b[\to \mathbb{R}\) on jatkuva, niin se ei välttämättä ole rajoitettu.

Esimerkki 4.

Olkoon \(f\colon ]0,1]\to \mathbb{R}\), \(f(x)=1/x\). Nyt \[\lim_{x\to 0+}f(x)=\infty.\]

Lause 8.

Olkoon \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) jatkuva. Silloin on olemassa pisteet \(c,d\in [a,b]\), joille \(f(c)\leq f(x)\leq f(d)\) kaikilla \(x\in [a,b]\), ts. \(f(c)\) on funktion pienen arvo eli minimi ja \(f(d)\) sen suurin arvo eli maksimi välillä \([a,b]\).

Todistus.

Funktio \(f(x) = 1/x\) alueessa \(x > 0\).

Esimerkki 5.

Olkoon \(f\colon [-1,2] \to \mathbb{R}\), \[f(x) = -x^3 - x + 3.\] Funktion määrittelyjoukko on \([-1,2]\). Funktion arvojoukon määrittämiseksi osoitetaan ensin, että funktio on vähenevä.

Olkoon \(x_1 < x_2\). Silloin \[x_{1}^3 < x_{2}^3\] ja \[-x_{1}^3 > -x_{2}^3.\]

Koska \(x_1 < x_2\), niin \[-x_1^3-x_1 > -x_2^3 -x_2\] ja \[-x_1^3-x_1 +3 > -x_2^3 -x_2 +3.\] Näin ollen oletuksesta \(x_1 < x_2\) seuraa \(f(x_1) > f(x_2)\), joten funktio \(f\) on vahenevä.

Vähenevän funktion minimiarvo on välin päätepisteessä. Näin ollen funktion \(f:[-1,2] \to \mathbb{R}\) minimi on \[f(2) = -2^3 - 2 + 3 = -7.\] Vastaavasti suurin arvo on väli alkupisteessä, joten funktion \(f:[-1,2] \to \mathbb{R}\) maksimi on \[f(-1) = -(-1)^3 - (-1) + 3 = 5.\]

Polynomina funktio \(f\) on jatkuva, joten se saa kaikki arvot maksimin ja minimin välillä. Näin ollen funktion \(f\) arvojoukko on \([-7, 5]\).

Funktio \(-x^3 - x + 3\) välillä \([-1, 2]\).

Esimerkki 6.

Olkoon \(f\) polynomi. Silloin \(f\) on jatkuva joukossa \(\mathbb{R}\) ja lauseen 7 nojalla myös rajoitettu jokaisella suljetulla välillä \([a,b]\), kun \(a \lt b\). Lauseen 3 perusteella funktiolla \(f\) on maksimi ja minimi  \([a,b]\).

Huom. Lause 8 liittyy väliarvolauseeseen seuraavalla tavalla:

Jos \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) on jatkuva, niin on olemassa pisteet \(x_1,x_2\in [a,b]\), joille funktion arvojoukko on muotoa \(f([a,b])=[f(x_1),f(x_2)]\).