MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Avoin joukko

Avoimessa joukossa voidaan jokaisesta pisteestä siirtyä ainakin lyhyt etäisyys kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Tällaisessa joukossa määritellyn funktion arvojen muutosta voidaan siis tutkia kaikissa eri suunnissa, mikä on tärkeää funktion osittaisderivaattojen tapauksessa. Tarkemmin:

Määritelmä

Joukko $D\subset \mathbb{R}^n$ on avoin, jos sen jokaille pisteelle $\mathbf{x}\in D$ löytyy sellainen $r=r_{\mathbf{x}} >0$, että $B(\mathbf{x}, r) = \{\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n\mid \| \mathbf{y}-\mathbf{x}\| < r \}\subset D.$ Joukko $B(\mathbf{x}, r)$ on pallo(n sisäpuoli), jonka keskipiste on $\mathbf{x}$ ja säde $r$. Tasossa käytetään myös nimitystä kiekko, mutta merkintä $B$ = 'ball' sopii kaikkiin ulottuvuuksiin. Englannin kielen sana 'sphere' käännetään myös palloksi, mutta sekaannusten välttämiseksi siitä on matematiikassa toisinaan hyvä käyttää nimitystä "pallopinta".

Osittaisderivaatta

Olkoon $n \geq 2$, $D\subset \mathbb{R}^n$ avoin ja $f\colon D\to \mathbb{R}$ funktio. Tällöin kaikille $j=1,\ldots,n$ funktion $f$ osittaisderivaatta muuttujan $x_j$ suhteen on $\frac{\partial}{\partial x_{j}}f(\mathbf{x}) = \lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{e}_j) -f(\mathbf{x})}{h},$ jos kyseinen raja-arvo on olemassa. Tässä $\mathbf{e}_j$ on $j$:s yksikkökantavektori.

Huom. Erityisesti tapauksissa $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}$ ja $n=2$ tai $n=3$ käytetään osittaisderivaatoille yleensä merkintöjä $\frac{\partial}{\partial x_{1}}f(\mathbf{x}) = f_{x}(\mathbf{x}),\quad\frac{\partial}{\partial x_{2}}f(\mathbf{x}) = f_{y}(\mathbf{x}) \quad\text{ja}\quad \frac{\partial}{\partial x_{3}}f(\mathbf{x}) = f_{z}(\mathbf{x})$

Esimerkiksi kahden muuttujan funktiolle $f(x,y)$ on $f_x(a,b) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+ h,b) -f(a,b)}{h}$ ja $f_y(a,b) = \lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h) -f(a,b)}{h}.$

Käytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain tulkita kaikki muut muuttujat ikään kuin vakioiksi.

Syy: Esimerkiksi kahden muuttujan funktiosta $f(x,y)$ voidaan muodostaa yhden muuttujan funktio $g(t)=f(t,b)$ kiinnittämällä muuttuja $y=b$. Tällöin funktion $g$ tavallinen yhden muuttujan erotusosamäärä on sama lauseke kuin funktion $f$ erotusosamäärässä ensimmäisen muuttujan suhteen: $g'(a) = \lim_{h\to0} \frac{g(a+h)-g(a)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(a+ h,b) -f(a,b)}{h} = f_x(a,b).$

Esimerkki

Olkoon funktio $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}$. Tällöin $\frac{\partial}{\partial x_{2}}f(x_{1},x_{2}) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_{1},x_{2}+h)-f(x_{1},x_{2})}{h} = \lim_{h\to0}\frac{x_{1}(x_{2}+h)-x_{1}x_{2}}{h} = x_{1}.$

Esimerkki

Olkoon funktio $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, $f(x,y)=x^2\sin y.$ Sen osittaisderivaatat ovat $f_{x}(x,y) = 2x\sin y \quad \text{ ja }\quad f_{y}(x,y) = x^2 \cos y.$

Merkintätavat osittaisderivaatoille

Funktion $f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ osittaisderivaattaa muuttujan $x_j$ suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla $\frac{\partial}{\partial x_j} f(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\partial f}{\partial x_j} = D_jf(x_1,\ldots,x_n) = \partial_{j}f(x_{1},\ldots,x_{n}).$

Tapauksessa $n=2$ usein kirjoitetaan $z=f(x,y)$, jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä $f_{x}(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x} \quad \text{ ja }\quad f_{y}(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}.$

Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia $\partial$ ("doo"), jotta se ei sekoittuisi tavalliseen derivaattaan. Tähän palataan vähän myöhemmin ketjusäännön yhteydessä.

Osittaisderivaatan arvo

Funktion $f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ osittaisderivaatan $f_j$ arvoa pisteessä $\mathbf{x}_0\in D$ merkitään $\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_j}\bigg)\bigg|_{\mathbf{x}_0} = \frac{\partial z}{\partial x_j}\bigg|_{\mathbf{x}_0} = D_jf(\mathbf{x}_{0}) = \partial_{j}f(\mathbf{x}_{0}),$ jossa muuttuja $z$ määritellään $z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n)$.

Esimerkiksi, jos $f(u,v)=u^2v$ ja $\mathbf{w} = x^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j}$, niin \begin{align} f_{u}(\mathbf{w})&=f_{u}(x^2,xy) =\left.\bigg(\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)\bigg)\right|_{(x^2,xy)} \\ &=2uv\Big|_{u=x^2,\,v=xy}= 2(x^2)(xy)=2x^3y. \end{align}

Esimerkki

Lasketaan $\frac{\partial z}{\partial x}\quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y},$ kun $z=x^3y^2+x^4y + y^4$. Tällöin saadaan $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2+4x^3y \quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3y+x^4+4y^3.$

Esimerkki

Etsitään $f_{x}(0,\pi)$, kun $f(x,y)=e^{xy}\cos(x+y)$. Tästä saadaan $f_{x}(x,y)=ye^{xy}\cos(x+y)-e^{xy}\sin(x+y).$ Siten $f_{x}(0,\pi) = \pi e^0\cos(\pi)-e^0\sin(\pi) = -\pi.$

Ketjusäännön soveltaminen

Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö $(f\circ g)'(x)= f'\big(g(x)\big)g'(x)$ on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa. Jos esimerkiksi $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ja $g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},$ niin $\frac{\partial }{\partial x}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_{x}(x,y)$ ja $\frac{\partial }{\partial y}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_{y}(x,y).$ Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille.

Esimerkki

Osoitetaan, että derivoituva funktio $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun $z=f(x/y)$: $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}=0$ Ketjusäännön perusteella $\frac{\partial z}{\partial x} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{1}{y}\bigg) \text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{-x}{y^2}\bigg).$ Siten $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(x\cdot \frac{1}{y}+y\cdot\frac{-x}{y^2}\bigg)=0.$

Korkeammat osittaisderivaatat

Funktiolle $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja. Jos $z=f(x,y)$, niin saadaan esimerkiksi $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{xx}(x,y)$ ja $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{yx}(x,y).$ Vastaavasti, jos $w=f(x,y,z)$, saadaan vaikkapa $\frac{\partial^5 w}{\partial y\partial x\partial y^2\partial z} = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial w}{\partial z} = f_{zyyxy}(x,y,z).$

Esimerkki

Etsitään funktion $f(x,y)=x^3y^4$ toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi $f_{x}(x,y)=3x^2y^4\quad\text{ ja }\quad f_{y}(x,y)=4x^3y^3.$ Siten \begin{align*} f_{xx}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}3x^2y^4=6xy^4, \\ f_{yx}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}4x^3y^3=12x^2y^3, \\ f_{xy}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}3x^2y^4=12x^2y^3, \\ f_{yy}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial y}4x^3y^3=12x^3y^2. \end{align*}

Huom. Edellisestä voidaan havaita, että $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$. Tämä ei ole sattumaa!

Jos funktio $f$ sekä sen osittaisderivaatat $f_{xy}$ ja $f_{yx}$ ovat kaikki jatkuvia, niin $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.$ Toisin sanoen derivoimisjärjestyksellä ei ole tällöin väliä. Vastaava tulos pätee myös yleisesti kaikilla $n\ge2$.