3. Taylorin polynomi ja sarja

Taylorin kaava

Yhden muuttujan tapauksessa m+1 kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota f\colon I \to \mathbb{R} voidaan approksimoida kaavalla f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \ldots + \frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a)^m. kun a,x\in I.

Tämä idea yleistyy usean muuttujan tapaukseen: Jos \mathbf{a}, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n, n\ge 2 ja funktiolla f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R} on jatkuvat kertaluvun (m+1) osittaisderivaatat pisteitä \mathbf{a},\mathbf{a}+\mathbf{h} yhdistävällä janalla, niin f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) \approx \sum_{j=0}^m\frac{(\mathbf{h} \cdot \nabla)^jf(\mathbf{a})}{j!}.

Perustelu. Yksinkertaisuuden vuoksi johdetaan tässä kaava tapauksessa n=2 riittävän sileille funktioille. Olkoon D\subset\mathbb{R}^{2} avoin ja funktio f\colon D\to\mathbb{R} äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. Lisäksi oletetaan, että \mathbf{a}+t\mathbf{h}\subset D, kun 0\le t\le 1. Tällöin oleellisesti myös apufunktion F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},F(t)=f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) kaikki derivaatat ovat jatkuvia suljetulla välillä \left[0,1\right].

Ketjusäännön nojalla saadaan apufunktiota derivoimalla F'(t) = h_{1}f_{x}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}f_{y}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) F''(t) = h_{1}h_{2}f_{xx}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{1}h_{2}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{1}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{2}f_{yy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) \vdots F^{(j)}(t) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}). Tästä havaitaan, että F^{(j)}(0) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a}) ja siten yhden muuttujan funktion F Taylorin sarjakehitelmä on muotoa F(t) = F(0) + F'(0)t + \frac{1}{2}F''(0)t^{2}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{F^{(j)}(0)}{j!}t^{j}. Asettamalla tässä t=1 saadaan haluttu tulos, f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = f(\mathbf{a})+\mathbf{h}\cdot\nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2}(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a})+\dots =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}}{j!}f(\mathbf{a}).

Esimerkki

Olkoon (a,b)\in \mathbb{R}^2 ja f(x,y) neljä kertaa jatkuvasti derivoituva kiekossa (a,b)-keskisessä r-säteisessä kiekossa. Etsitään 3. asteen approksimaatio. Jos \mathbf{h} =(h,k), niin \begin{align*} f(a+h,b+k)&\approx f(a,b) + (hD_1+kD_2)f(a,b) +\frac{1}{2!}(hD_1+kD_2)^2f(a,b) \\ &\quad +\frac{1}{3!}(hD_1+kD_2)^3f(a,b) \\ &= f(a,b) + hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \\ &\quad+ \frac{1}{2!}\Big(h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b)\Big) \\ &\quad+\frac{1}{3!}\Big(h^3f_{xxx}(a,b)+ 3h^2kf_{xxy}(a,b)+3hk^2f_{xyy}(a,b)+k^3f_{yyy}(a,b)\Big). \end{align*}

Huom. 1. asteen Taylor-approksimaatio on sama kuin tangenttitaso.

Esimerkki

Etsitään 2. asteen Taylor-approksimaatio funktiolle f(x,y)=\sqrt{x^2+y^3} pisteen (1,2) ympäristössä.

Lasketaan f(1,2)=3, f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}},\quad f_{y}(x,y)=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}}, eli f_{x}(1,2)=1/3 ja f_{y}(1,2)=2. Edelleen f_{xx}(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xx}(1,2)= \frac{8}{27}, f_{xy}(x,y)=\frac{-3xy^2}{2(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xy}(1,2)= -\frac{2}{9}, f_{yy}(x,y)=\frac{12x^2y+3y^4}{4(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{yy}(1,2)= \frac{2}{3}. Siten \begin{align*} f(1+h,2+k) &\approx 3 + \frac{1}{3}h + 2k + \frac{1}{2!}\Big(\frac{8}{27}h^2+2\Big(-\frac{2}{9}\Big)hk+\frac{2}{3}k^2\Big) \\ &= \frac{4}{27}h^2-\frac{2}{9}hk+\frac{1}{3}k^2+\frac{1}{3}h + 2k + 3. \end{align*}