MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Kertausta: ääriarvot yhden muuttujan tapauksessa

Funktiolla $f\colon I\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ on lokaali (paikallinen) maksimi pisteessä $a\in I$, jos $f(x)\le f(a)$ kaikilla $x$:n arvoilla jossakin $a$:n ympäristössä (eli riittävän lähellä pistettä $a$). Vastaavasti lokaali minimi tarkoittaa sitä, että $f(x)\ge f(a)$ jossakin $a$:n ympäristössä. Maksimi tai minimi on globaali, jos kyseinen epäyhtälö on voimassa kaikilla $x\in I$.
Ääriarvoja voi esiintyä:

Seuraavaksi yleistetään vastaavat ehdot funktion $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tapaukseen.

Ääriarvot ja usean muuttujan funktiot

Funktiolla $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ on pisteessä $\mathbf{x}_0\in D$ lokaali maksimi, jos jossakin pisteen $\mathbf{x}_0$ ympäristössä $U\subset D$ pätee $f(\mathbf{x})\le f(\mathbf{x}_0)$ kaikilla $\mathbf{x}\in U$. Vastaavasti $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ on pisteessä $\mathbf{x}_0\in D$ lokaali minimi, jos löytyy sellainen pisteen $\mathbf{x}_0$ ympäristö $U\subset D$, että $f(\mathbf{x})\ge f(\mathbf{x}_0)$ kaikilla $\mathbf{x}\in U$. Ääriarvo on globaali eli absoluuttinen, jos kyseinen epäyhtälö on voimassa kaikilla $\mathbf{x}\in D$.
Ääriarvoja voi esiintyä: Joukon $D$ kriittistä pistettä $\mathbf{x}_0$, joka ei ole maksimi tai minimi, kutsutaan funktion $f\colon D\to \mathbb{R}$ satulapisteeksi.

Esimerkki

Funktiolla $f(x,y)= 1-x^2-y^2$ on globaali maksimi $f(0,0)=1$ pisteessä $(0,0)$. Tämä piste on funktion $f$ kriittinen piste, koska $\nabla f(0,0) = -2x\mathbf{i} -2y\mathbf{j} \Big|_{(0,0)}= \mathbf{0}.$

Esimerkki

Funktiolla $f(x,y)= y^2-x^2$ on satulapiste $(0,0)$. Tämä piste on funktion $f$ kriittinen piste, koska $\nabla f(0,0) = -2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}\Big|_{(0,0)}= \mathbf{0}.$

Esimerkki

Kaikki pisteet suoralla $x=0$ ovat funktion $f(x,y)= -x^3$ satulapisteitä. Huomaa, että $\nabla f(0,y) = -3x^2\mathbf{i} \Big|_{(0,y)}= \mathbf{0} \text{ kaikilla }y\in \mathbb{R}.$

Esimerkki

Funktiolla $f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}$ on lokaali minimi $f(0,0)=0$ pisteessä $(0,0)$. Funktio $f$ on jatkuva, mutta sen gradientti $\nabla f$ ei ole määritelty tässä pisteessä.

Esimerkki

Funktiolla $f(x,y)=1-x$ ei ole paikallisia ääriarvoja, jos sen määrittelyjoukko on koko taso $D=\mathbb{R}^2$. Jos määrittelyjoukoksi kuitenkin ajatellaan esimerkiksi kiekko $D=\{(x,y): x^2+y^2 \leq 1\}$, niin sen reunalla saadaan maksimi $f(-1,0)=2$ ja minimi $f(1,0)=0$.