MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Approksimaatiot

Yksiulotteisessa tapauksessa muotoa $y=f(x)$ olevan funktion kuvaajan tangenttisuora $y=L(x)$ pisteessä $a$ saadaan kaavasta $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$ Tangenttisuoran lauseke antaa myös tavan approksimoida funktiota $f$ pisteen $a$ läheisyydessä: $f(x)\approx L(x)$.

Miksi approksimaatiota tarvitaan, jos kerran tietokone voi laskea nopeasti ja tarkasti? Kun halutaan löytää "peukalosääntö" päässälaskun helpottamiseksi ja ymmärryksen lisäämiseksi. Kun funktio $f$ on olemassa ainoastaan taulukoituna, esimerkiksi mittaustuloksista.

Lineaariset approksimaatiot usean muuttujan funktioille

Tapauksessa $n=2$ saadaan funktiota $f(x,y)$ approksimoiva tangenttitaso $z=L(x,y)$, joka voidaan muodostaa osittaisderivaattojen avulla kaavasta $f(x,y) \approx L(x,y) = f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b).$ Kolmen muuttujan tapauksessa saadaan samannäköinen approksimaatio $f(x,y,z) \approx L(x,y,z) = f(a,b,c)+f_{x}(a,b,c)(x-a)+f_{y}(a,b,c)(y-b)+f_z(a,b,c)(z-c).$

Esimerkki

Etsitään lineaarinen approksimaatio funktiolle $f(x,y)=\sqrt{2x^2+e^{2y}}$ pisteessä $(2,0)$, ja arvioidaan funktion arvoa pisteessä $(2.2,-0.2)$.

Saadaan $f(2,0)=3$. Funktion osittaisderivaatat ovat $f_{x}(x,y) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2+e^{2y}}}, \quad f_{x}(2,0)=\frac{4}{3}.$ ja $f_{y}(x,y) = \frac{e^{2y}}{\sqrt{2x^2+e^{2y}}}, \quad f_{y}(2,0)=\frac{1}{3}.$ Siten $L(x,y)=3 +\frac{4}{3}(x-2)+\frac{1}{3}(y-0).$ Haluttu approksimaatio siis on $f(2.2,-0.2) \approx L(2.2,-0.2) = 3 +\frac{4}{3}(2.2-2)+\frac{1}{3}(-0.2-0)=3.2.$ Vertailun vuoksi funktion $f(x,y)$ todellinen arvo pisteessä $(2.2,-0.2)$ on noin $3.2172$.

Differentiaali

Lineaarisen approksimaation lauseketta kutsutaan funktion differentiaaliksi (tai kokonaisdifferentiaaliksi) ja se voidaan kirjoittaa kahden muuttujan tapauksessa muodossa $\Delta f = f(x+\Delta x,y+\Delta y) -f(x,y) = f_x\, \Delta x + f_y\, \Delta y +\text{virhetermi}.$ Differentiaalia merkitään $df = f_x\, \Delta x + f_y\, \Delta y =f_x \, dx + f_y\, dy$. Tarkasti ottaen merkintään liittyy sekä tutkittava piste että siirtymävektori.

Lause. Jos funktiolla $f$ on jatkuvat osittaisderivaatat, niin differentiaaliin liittyvä virhetermi voidaan esittää muodossa $\|\Delta \mathbf{r}\| \varepsilon (\mathbf{r}, \Delta \mathbf{r})$, jossa $\varepsilon (\mathbf{r}, \Delta \mathbf{r}) \to 0$, kun $\|\Delta \mathbf{r}\| \to 0$. Tässä siis $\mathbf{r}= (x,y)$ ja $\Delta \mathbf{r} =(\Delta x,\Delta y)$. Yleinen differentiaalikaava $n$-ulotteisessa tapauksessa on muotoa $\Delta f = f(\mathbf{r} +\Delta \mathbf{r})- f(\mathbf{r}) = \nabla f (\mathbf{r})\cdot \Delta \mathbf{r} + \|\Delta \mathbf{r}\| \varepsilon (\mathbf{r}, \Delta \mathbf{r}).$ Makroskooppisen virheen arviointiin voidaan käyttää approksimaatiota $|\Delta f|\lesssim |\nabla f (\mathbf{r})\cdot \Delta \mathbf{r}| \le |f_x| |\Delta x|+|f_y| |\Delta y|+ |f_z| |\Delta z|,$ jossa viimeinen muoto koskee tapausta $n=3$. Tässä merkintä $\lesssim$ viittaa siihen, että epäyhtälö $\le$ ei tarkasti ottaen ole voimassa, koska virhetermi on jätetty pois.

Huomautuksia

Toisin kuin yksiulotteisessa tapauksessa pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei riitä takaamaan edes funktion $f(x,y)$ jatkuvuutta. Esimerkiksi funktiolle $f(x,y)=\left\{\begin{array}{rl} 0, & \text{kun }x=0\text{ tai }y=0,\\ 1, &\text{muuten}. \end{array}\right.$ on $f_y(0,0)=f_x(0,0)=0$, mutta funktio on epäjatkuva pisteessä $( 0,0)$. Toinen samanlainen esimerkki on funktio $f(x,y)=\left\{\begin{array}{rl} \frac{2xy}{x^2 +y^2}, & \text{kun }x^2+y^2>0,\\ 0, &\text{kun } (x,y)=(0,0). \end{array}\right.$ Siksi tilannetta on tarpeen analysoida tarkemmin. Halutaan ehto, joka kertoo milloin lineaarinen approksimaatio on mielekäs funktiolle $f(x,y)$ lähellä pistettä $(a,b)$.

Differentioituvuus

Määritelmä. Funktio $f(x,y)$ on differentioituva pisteessä $(a,b)$, jos $\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-h\,f_{x}(a,b)-k\,f_{y}(a,b)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.$

Differentiaalikaavan avulla (virhetermi mukana!) voidaan todistaa seuraava tulos:

Lause. Jos $f_{x},f_{y}$ ovat jatkuvia jossakin pisteen $(a,b)$ ympäristössä, niin $f$ on differentioituva pisteessä $(a,b)$.

Esimerkki

Lasketaan virhetermi $f(x+h,y+k)-f(x,y)-h\,f_{x}(x,y)-k\,f_{y}(x,y)$, kun $f(x,y)=x^3+xy^2$.

Osittaisderivaatoiksi saadaan $f_{x}(x,y)=3x^2+y^2$ ja $f_{y}(x,y)=2xy$, joten \begin{align*} &f(x+h,y+k)-f(x,y)-h\,f_{x}(x,y)-k\,f_{y}(x,y) \\ &\quad =(x+h)^3+(x+h)(y+k)^2-x^3-xy^2-(3x^2+y^2)h -2xyk\\ &\quad=3xh^2+h^3+2yhk+hk^2+xk^2. \\ \end{align*} Lausekeen $h$- ja $k$-termit lähestyvät nollaa vähintään samalla nopeudella kuin $h^2+k^2$, kun $(h,k)\to 0$, joten differentioituvuuden määritelmä selvästi toteutuu.