MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Parametrisointi

Muodollisesti käyrällä tarkoitetaan parametrisoitua joukkoa $C\subset \mathbb{R}^n, n \geq 2$, joka voidaan esittää muodossa $C=\lbrace \mathbf{r}(t) : t\in I\rbrace = \mathbf{r}(I) = \mathbf{r}\text{:n arvojoukko},$ missä $I\subset\mathbb{R}$ on väli ja funktio $\mathbf{r}\colon I\rightarrow\mathbb{R}^n$ on jatkuva. Vektoriarvoisen funktion $\mathbf{r}$ jatkuvuus tarkoittaa, että sen kaikki koordinaattifunktiot ovat jatkuvia missä tahansa kantaesityksessä.

Funktio $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ on eräs käyrän $C$ parametrisointi ja $I$ on tätä parametrisointia vastaava parametriväli. Väli $I$ voi olla avoin $(a,b)$, suljettu $[a,b]$ tai puoliavoin $(a,b],\,[a,b)$ ja myös rajoittamaton.

Avaruuskäyrän ($n=3$) parametrisointi voidaan antaa muodossa $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) \in \mathbb{R}^3, \text{ kun } t\in I.$ Vaihtoehtoisesti voidaan myös käyttää koordinaattimuotoa $\mathbf{r}(t)=\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\qquad t\in I\\z=z(t),\end{cases}$ tai vektorimuotoa $\mathbf{r}(t) =x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k},$ jossa $\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j} = (0,1,0),$ ja $\mathbf{k}=(0,0,1)$ ovat $\mathbb{R}^3$:n luonnolliset kantavektorit. Myös pystyvektoriesitys $[x(t),y(t),z(t)]^T$ voi olla hyödyllinen, jos parametrisointiin halutaan soveltaa matriisioperaatioita kuten kiertoja tai peilauksia.

Edellä funktion $\mathbf{r}$ jatkuvuus tarkoittaa siis koordinaattifunktioiden $x,y,z$ jatkuvuutta parametrivälillä $I$.

Huomautus. Samalla käyrällä on useita eri parametrisointeja. Miksi? Kuinka pääset yhdestä parametrisoinnista toiseen?

Esimerkki, suora tasossa

Kahden $xy$-tason pisteen $P_0=(x_0,y_0)$ ja $P_1=(x_1,y_1)$ kautta kulkeva suora voidaan parametrsioida $\mathbf{r}(t) = \begin{cases} x(t)=(1-t)x_0+tx_1 \\ y(t)=(1-t)y_0+ty_1, \end{cases} \text{ kun } t\in I=(-\infty,\infty).$ Havaitaan, että $\mathbf{r}(t=0)=(x_0,y_0)\quad \text{ ja }\quad \mathbf{r}(t=1)=(x_1,y_1),$ joten valitsemalla parametriväliksi $I=[0,1]$ saadaan pisteitä $P_0$ ja $P_1$ yhdistävä jana.

Esimerkki, reaalifunktion kuvaaja

Jatkuvan funktion $f\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ kuvaaja $y=f(x)$ voidaan ajatella $xy$-tason käyränä. Tämä käyrä voidaan parametrisoida $\mathbf{r}(t) =\begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=f(t), \end{cases}$ missä $t\in[a,b]$. Tai vastaavasti vektorimuodossa $\mathbf{r}(t) =x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}= t\mathbf{i}+f(t)\mathbf{j}.$

Esimerkki, Helix-käyrä eli kierrejousi

Helix-käyrä eli kierrejousi voidaan parametrisoida $\mathbf{r}(t)=\begin{cases} x(t)=a\cos t, \\ y(t)=a\sin t, \qquad t\in I \\ z(t)=bt, \end{cases}$ missä $a,b > 0$ ovat parametreja. Parametri $a$ on jousen säde ja parametria $b$ voidaan ajatella jousen venymänä.

Vaihtoehtoisesti voidaan tietysti tässäkin käyttää myös vektorimuotoa $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k} =a\cos t\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}+bt\mathbf{k}.$

Suunta

Usein parametriväli on suljettu väli $I=[a,b]$. On lisäksi mahdollista, että $a < b$ tai $b < a$.

Parametrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnan, jolloin $\mathbf{r}(a)$ on käyrän alkupiste ja $\mathbf{r}(b)$ sen päätepiste. Käyrää, jonka alku- ja päätepiste ovat samoja kutsutaan umpinaiseksi (engl. 'closed').

Voidaan muodostaa myös vastakkainen parametrisointi, jossa käyrä pysyy samana, mutta sen kulkusuunta vaihtuu. Tällöin myös parametrisointiin liittyvät alku- ja päätepiste vaihtuvat toisikseen.

Esimerkiksi tapauksessa $\mathbf{r}\colon[0,1]\rightarrow C$ vastakkainen parametrisointi $\mathbf{r}_{-}$ saadaan helposti kaavalla $\mathbf{r}_{-}(t)=\mathbf{r}(1-t), \quad t\in [0,1].$

Esimerkki, ympyrän kehä tasossa

Olkoon $P_0=(x_0,y_0)$ ja $r_0>0$. $P_0$-keskisen ja $r_0$-säteisen ympyrän kehän parametrisoinniksi saadaan $\mathbf{r}(t) =\begin{cases}x(t)=x_0+r_0\cos t,\\ y(t) = y_0+r_0\sin t.\end{cases}$ Jos halutaan parametrisoida koko kehä, voidaan parametriväliksi valita esimerkiksi $[0,2\pi]$ tai $[-\pi,\pi]$. Lisäksi havaitaan, että $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi)=(x_0+r_0,0)$ ja $\mathbf{r}(-\pi)=\mathbf{r}(\pi)=(x_0-r_0,0),$ joten käyrä on umpinainen.

Suunnistus voidaan vaihtaa päinvastaiseksi korvaamalla $t\mapsto -t$ parametrisoinnissa. Tällöin $\cos(-t)=\cos t$, $\sin(-t)=-\sin t$ ja $\mathbf{r}_{-}(t)=\begin{cases}x(t)=x_0+r_0\cos t,\\ y(t)=y_0-r_0\sin t.\end{cases}$

Implisiittinen muoto

Tasokäyrän yhtälö voidaan usein ilmaista myös implisiittisessä muodossa $F(x,y)=0$, missä $F$ on jokin kahden muuttujan lauseke. Konkreettisia esimerkkejä ovat funktion kuvaaja $y=f(x)$, joka voidaan määritellä muodossa $F(x,y)=y-f(x)=0$, ja $R$-säteinen ympyrä $F(x,y)=x^2+y^2-R^2=0$.

Huomautus. Yleisessä tapauksessa yhtälön $F(x,y)=0$ määräämä tasojoukko voi olla hyvin yllättävän näköinen. Jos esimerkiksi $A\subset\mathbb{R}^2$ on mikä tahansa suljettu tasojoukko (reunapisteet kuuluvat joukkoon), niin funktio $F(x,y)=\text{ pisteen } (x,y) \text{ pienin etäisyys joukosta } A$ $=\min\big\{\sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_{0})^2} : (x_{0},y_{0})\in A\big\}$ on jatkuva, mutta yhtälö $F(x,y)=0$ esittää koko alkuperäistä joukkoa $A$.