MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Tarkastele

Tasa-arvokäyrät

Olkoon $c\in\mathbb{R}$ vakio, $D\subset\mathbb{R}^2$ ja $f\colon D \to \mathbb{R}$ funktio. Tällöin joukko $C= \{(x,y)\in D \mid f(x,y)=c\}$ on usein tasokäyrä. Kyseinen pistejoukko voi olla myös tyhjä (jos $f$ ei saa arvoa $c$) tai vaikkapa koko taso (jos $f$ on vakio). Mikäli joukko $C$ on tasokäyrä, sitä sanotaan funktion $f$ arvoon $c$ liittyväksi tasa-arvokäyräksi.

Esimerkiksi korkeuskäyrät kartalla ovat tasa-arvokäyriä funktiolle, joka liittää kartalla olevaan pisteeseen $(x,y)$ maaston korkeuden meren pinnasta kyseisessä pisteessä.

Kolmiulotteisessa tapauksessa $f\colon D\to \mathbb{R}$ pistejoukot $S= \{(x,y,z) \in D: f(x,y,z)=c\}$ ovat yleensä pintoja (eivätkä siis avaruuskäyriä).

Raja-arvo monen muuttujan tapauksessa

Olkoon $D\subset \mathbb{R}^n$, $n \geq 2$ ja $f\colon D\to \mathbb{R}$ funktio. Oletetaan lisäksi, että piste $\textbf{y}_0\in \mathbb{R}^n$ on joukon $D$ kasaantumispiste eli kaikilla $r>0$ joukko $D\cap \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n : 0< \|\textbf{x} - \textbf{y}_0\| < r\}$ on epätyhjä. Tällöin sanotaan, että funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ pisteessä $\textbf{y}_0$ ja merkitään $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x})=L, \quad \text{missä } \textbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)\in D,$ jos kaikilla $\varepsilon>0$ on olemassa luku $\delta = \delta(\varepsilon)$ siten, että $| f(\textbf{x}) -L|$ aina, kun $0$ ja $\textbf{x} \in D$.

Huomaa, että nimenomaan vaatimus $\textbf{x} \in D$ mahdollistaa raja-arvon tutkimisen myös funktion määrittelyjoukon reunapisteessä. Lisäksi ehto $0$ tarkoittaa vain sitä, että $\textbf{x}\neq \textbf{y}_0$

, joten funktion arvolla $f(\textbf{y}_0)$ (jos se on edes olemassa) ei ole mitään merkitystä raja-arvon kannalta. Sen sijaan jatkuuvuuden kohdalla tilanne muuttuu kokonaan.

Laskusääntöjä

Olkoot $D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geq 2$, $\textbf{y}_0$ joukon $D$ kasaantumispiste ja $f,g\colon D \to \mathbb{R}$ sellaisia funktiota, että $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x}) =L$ ja $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} g(\textbf{x}) =M$. Tällöin: $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} \big(f(\textbf{x}) \pm g(\textbf{x})\big) = L \pm M.$ $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x}) g(\textbf{x}) = LM.$ $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} \frac{f(\textbf{x})}{g(\textbf{x})} = \frac{L}{M},\text{ jos }M \neq 0.$ Jos $L\in(a,b)$ ja $F\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ on jatkuva pisteessä $L$, niin $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} F\big(f(\textbf{x})\big) = F(L).$

Raja-arvon tutkiminen käyrien avulla

Yhden muuttujan tapauksessa raja-arvoa tutkitaan yleensä oikean- ja vasemmanpuoleisen raja-arvon avulla. Tämä ajatus ei kuitenkaan toimi usean muuttujan tapauksessa, koska yleensä on olemassa äärettömän monta suuntaa (eli kyseisen pisteen kautta kulkevaa suoraa tai käyrää), joista pistettä $\textbf{y}_0$ voidaan lähestyä joukossa $D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geq2$.

Mikäli kuitenkin on olemassa kaksi käyrää $\textbf{r}_1,\textbf{r}_2\colon [a,b]\to D\cup \{\textbf{y}_0\}$, siten että $\textbf{r}_1(b)=\textbf{r}_2(b)=\textbf{y}_0$ mutta $\lim_{t\to b} f\big(\textbf{r}_1(t)\big) \neq \lim_{t\to b} f\big(\textbf{r}_2(t)\big),$ tai jompaa kumpaa kyseisistä raja-arvoista ei ole määritelty, niin tällöin funktiolla $f\colon D\to\mathbb{R}$ ei voi olla raja-arvoa pisteessä $\textbf{y}_0$.

Esimerkki

Tutkitaan funktion $f(x,y)$ raja-arvoa origon ympäristössä, kun $f(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}.$

Jos origoa lähestytään $x$-akselin suunnasta, eli pitkin käyrää $\mathbf{r}_1(t)=(t,0)$, saadaan $\lim_{t\to0^+}f(t,0) = \lim_{t\to0^+}\frac{2t\cdot 0}{t^2+0^2} = 0.$ Toisaalta suoralla $x=y$, joka voidaan parametrisoida muodossa $\mathbf{r}_2(t)=(t,t)$, saadaan $\lim_{t\to0^+}f(t,t) = \lim_{t\to0^+}\frac{2t\cdot t}{t^2+t^2} = \lim_{t\to0^+}\frac{2t^2}{2t^2} = 1.$ Näin ollen funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa origossa.

Esimerkki

Tutkitaan funktion $f(x,y) = \frac{2x^2y}{x^4+y^2}$ raja-arvoa origossa.

Koska funktion arvo on nolla koordinaattiakseleilla, niin sen raja-arvon täytyy olla nolla (jos raja-arvo on olemassa). Itse asiassa kaikilla origon kautta kulkevilla suorilla $\mathbf{r}(t)=(t,kt)$ saadaan $f(t,kt) = \frac{2kt^3}{t^4+k^2t^2} = \frac{2kt}{t^2+k^2} \to 0, \text{ kun } t\to 0.$ Kuitenkin valinnalla $\mathbf{r}_1(t) = (t,t^2)$ saadaan $\lim_{t\to0}f(t,t^2) = \lim_{t\to0}\frac{2t^4}{t^4+t^4} = 1.$ Siten tälläkään funktiolla ei ole raja-arvoa origossa.

Esimerkki

Osoitetaan, että $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0.$ Käyttämällä epäyhtälöä $x^2\leq x^2 + y^2$ saadaan $\left|f(x,y)-0\right| = \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\leq |y|\leq \sqrt{x^2+y^2} \to 0, \text{ kun } (x,y)\to(0,0).$ Tarkemmin: Raja-arvon määritelmän ehto toteutuu, jos valitaan $\delta=\epsilon$.

Jatkuvuus

Olkoon $D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geq 2$ ja $\textbf{x}_0 \in D$. Funktio $f\colon D\to \mathbb{R}$ on jatkuva pisteessä $\textbf{x}_0$, jos $\lim_{\textbf{x} \to \textbf{x}_0} f(\textbf{x}) = f(\textbf{x}_0).$ Funktio on jatkuva joukossa $D$, jos se on jatkuva jokaisessa joukon $D$ pisteessä.