7. Taso- ja avaruusintegraalit

7.3. Taso- ja avaruusintegraalien sovelluksia

Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt:

  • Alueen D \subset \mathbb{R}^2 pinta-ala \textrm{A}(D) = \iint_D 1\,dA

  • Kappaleen D \subset \mathbb{R}^3 tilavuus \textrm{V}(D) = \iiint_D 1\,dV

Mekaniikassa tulevat lisäksi vastaan nämä:

  • Kappaleen massa m(D) = \iiint_D \rho(x,y,z)\,dV ja hitausmomentti kappaleen pyöriessä z-akselin ympäri: I_z(D) = \iiint_D\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV. Tässä \rho(x,y,z) on materiaalin tiheys pisteessä (x,y,z).

  • Kaksiulotteisen tasolevyn keskiön (painopiste) (\bar x,\bar y) laskeminen \bar x = \frac{1}{A(D)} \iint_D x\,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{A(D)} \iint_D y\,dA, jossa pinta-ala A(D) on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin.

    Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä \rho(x,y) \bar x = \frac{1}{m(D)} \iint_D x \rho(x,y) \,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{m(D)} \iint_D y \rho(x,y) \,dA. jossa massa m(D) = \iint_D \rho(x,y) \,dA lasketaan tasointegraalilla.

Massakeskipiste

Kolmiulotteisen kappaleen D massakeskipiste (\bar x,\bar y, \bar z) \bar x = \frac{1}{m(D)} \iiint_D x \rho(x,y,z)\,dV, \bar y = \frac{1}{m(D)} \iiint_D y \rho(x,y,z)\,dV, \bar z = \frac{1}{m(D)} \iiint_D z \rho(x,y,z)\,dV, missä \rho = \rho(x,y,z) on kappaleen tiheys pisteessä (x,y,z) ja m(D) on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa \bar x\mathbf{i} + \bar y \mathbf{j} + \bar z\mathbf{k} = \frac{\iiint_D \mathbf{r} \rho\, dV}{\iiint_D\rho \,dV}, missä \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}.

Esimerkki

Lasketaan epäyhtälöiden 0\le x\le 1, 0\le y\le 1 ja 0\le z\le 1 määräämän yksikkökuution D massakeskipiste, kun tiheys \rho(x,y,z)= z.

Huomautus. Yksikkökuutio D voidaan myös määritellä käyttäen niin kutsuttua karteesista tuloa: D = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] = [0,1]^3. Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla.

Lasketaan ensin massa \iiint_D \rho \,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z \,dx\,dy\,dz = \int_0^1 z\,dz = \bigg|_{z=0}^1\frac{1}{2}z^2 = \frac{1}{2}. Saadaan \bar x = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big(\Big|_{x=0}^1 \frac{1}{2}x^2\Big)\Big(\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{2}z^2\Big)}{1/2} = \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}.

Vastaavasti \bar y = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 yz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}. Edelleen voidaan laskea \bar z = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z^2 \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{3}z^3}{1/2} = \frac{(1/3)}{(1/2)} = \frac{2}{3}. Massakeskipisteeksi saadaan (\bar x, \bar y,\bar z) = (1/2,1/2,2/3).

Hitausmomentti

Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa xy-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella.

Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa E= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_iv_i^2= \frac{1}{2} \Big[\sum_{i=1}^N m_i r_i^2\Big]\omega^2= \frac{1}{2}\Big[\sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2)\Big]\omega^2, missä \omega on kulmanopeus ja m_i, x_i sekä y_i ovat i:nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa \sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2) = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 kutsutaan hitausmomentiksi. Ajattelemalla z-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi "infinitesimaalisen pieniä" pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: E=\frac{1}{2} \bigg[ \iiint_D (x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV\bigg]\omega^2 =\frac{1}{2} I_z\omega^2, missä I_z = \iiint_D(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV = \iiint_D r_z^2 dm on kappaleen hitausmomentti z-akselin suhteen (r_z^2 = x^2 + y^2 ja massa-alkio dm = \rho(x,y,z)\,dV).

Esimerkki

Lasketaan sylinterin D= \{(x,y,z): x^2+y^2\le a^2\textrm{ ja }0\le z\le 1\},\qquad a>0 hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys on vakio \rho=\rho_0.

Lasketaan I_z = \iiint_D (x^2+y^2)\rho_0\,dV = \rho_0 \int_0^1 \int_0^{2\pi}\int_0^a r^2r \,dr\,d\theta\,dz = 2\pi\rho_0\int_0^ar^3\,dr = \frac{1}{2}\pi\rho_0a^4. Toisaalta sylinterin massa on m=\iiint_D \rho_0\,dV = \rho_0\textrm{V}(D)=\rho_0\pi a^2. Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa I_z = \frac{1}{2}(\pi \rho_0a^2)a^2 = \frac{1}{2}ma^2.