7. Taso- ja avaruusintegraalit

7.6. Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa

Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa

Muunnoskaavat (u,v,w) \mapsto (x,y,z) ovat \left\{ \begin{array}{l} x=x(u,v,w),\\ y=y(u,v,w),\\ z=z(u,v,w). \end{array}\right. Tällöin dx\,dy\,dz = \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\bigg|\,du\,dv\,dw, missä \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right|. Jos siis g(u,v,w) = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)), niin \iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz = \iiint_G g(u,v,w)\, \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\bigg|\,du\,dv\,dw.

Sylinterikoordinaatit

Koordinaatit (r,\theta,z), missä r \geq 0, 0\le \theta, z\in\mathbb{R}. Suoralla r = 0 (eli z-akselilla) napakulma \theta ei ole yksikäsitteinen.
sylinterikoordinaatisto

Tällöin muunnoskaavat (r,\theta,z) \mapsto (x,y,z) ovat \begin{align*} \begin{cases} x &= r\cos\theta, \\ y &= r\sin\theta, \\ z &= z. \end{cases} \end{align*} Ja muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx\,dy\,dz = \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}\bigg|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

Sylinterikoordinaateissa on helppo esittää pyörähdyskappaleita z-akselin ympäri muodossa r = f(z), \quad \text{jossa} \quad z \in [a,b] \text{ ja } \theta \in [0, 2 \pi), missä f on ei-negatiivinen funktio. Sylinterisymmetriset tehtävät!

Esimerkki

Lasketaan funktion f määräämän pyörähdyskappaleen \Omega tilavuus \iiint_{\Omega} dx\, dy\, dz = \int_a^b\int_0^{2\pi}\int_0^{f(z)} r\,dr\,d\theta\,dz = \int_a^b \left (2\pi \cdot \frac{1}{2}f(z)^2 \right ) \, dz = \pi \int_a^b f(z)^2 \, dz, mikä lienee tuttu kaava.

Pallokoordinaatit

Koordinaatit (r,\theta,\phi), missä r \geq 0, 0\le \theta, 0\le \phi \leq \pi.

palookoordinaatisto

Korotus- eli napakulmaa \pi/2 - \phi käytetään usein \phi:n sijasta. Atsimuuttikulma \theta ja korotuskulma ovat yksikäsitteisiä, jos pisteen etäisyys z-akselista > 0. Muunnoskaavat ovat \begin{align*} \begin{cases} x&=r\sin\phi \cos\theta,\\ y&=r\sin\phi \sin\theta,\\ z&=r\cos\phi, \end{cases} \end{align*} ja muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx\,dy\,dz = \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (r,\theta,\phi)}\bigg|\,dr\,d\theta\,d\phi = r^2\sin\phi \,dr\,d\theta\,d\phi.

Esimerkki

Lasketaan R-säteisen pallon \mathbb{B}^3(R) tilavuus: V(\mathbb{B}^3) = \iiint_{\mathbb{B}^3(R)} 1\,dx\,dy\,dz = \int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\,dr = \int_0^R\int_0^{2\pi} -r^2\cos\phi\bigg|_{\phi=0}^\pi\,d\theta\,dr = \int_0^R\int_0^{2\pi} 2r^2\,d\theta\,dr =\int_0^R 4\pi r^2\,dr = \frac{4\pi r^3}{3}\bigg|_{r=0}^R = \frac{4\pi R^3}{3}.