MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Käyrän tangentti

Tarkastellaan 3-ulotteista parametrisointia $\mathbf{r}$, joka on derivoituva. Tämä tarkoittaa, että vektorin $\mathbf{r}$ jokaisen koordinaattifunktion täytyy olla derivoituva.

Parametriväliä $[t,t+\Delta t]$ vastaava käyrän sekantti on vektori $\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t).$ Kun $\Delta t \rightarrow 0$, niin $\Delta\mathbf{r}$ kääntyy yhä enemmän käyrän tangentin suuntaiseksi, mutta samalla sen pituus kutistuu kohti nollaa. Skaalamalla kertoimella $\Delta t$ saadaan kuitenkin erotusosamäärää vastaava lauseke, josta nähdään, että raja-arvo $\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$ on olemassa ja se voidaan käytännössä laskea kaavalla $\mathbf{r}'(t) = x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k}.$ Vektorin $\Delta\mathbf{r}/\Delta t$ ensimmäinen koordinaatti on nimittäin $\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \longrightarrow x'(t), \text{ kun }\Delta t \rightarrow 0,$ ja samoin käy myös muissa koordinaateissa. Tämän vuoksi määritelmä näyttää järkevältä.

Määritelmä. Jos käyrällä $C\subset\mathbb{R}^3$ on derivoituva parametrisointi $\mathbf{r}$, niin pisteessä $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ vektori $\mathbf{r}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k}$ on käyrän tangenttivektori. Tason tapauksessa $z$-koordinaatti jää tietysti pois.

Fysikaalisessa tulkinnassa $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ on käyrää $C$ pitkin liikkuvan kappaleen hetkellinen nopeus ja $\|\mathbf{v}(t)\|$ kappaleen vauhti hetkellä $t$. Lisäksi $\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t)$ on kappaleen hetkellinen kiihtyvyys.

Huomautus. Tangenttivektorin määritelmästä saadaan lisäksi hyödyllinen approksimaatio: $\mathbf{r}'(t)\approx \Delta\mathbf{r}/\Delta t \Leftrightarrow \Delta\mathbf{r}\approx \mathbf{r}'(t)\Delta t, \text{ kun } \Delta t\approx 0.$ Muistisääntö: Siirtymä on suunnilleen sama kuin alkunopeus kertaa aikavälin pituus.

Esimerkki

Sykloidi kuvaa vierivään renkaaseen tarttuneen hiukkasen ratakäyrää. Se voidaan parametrisoida kulman $t$ avulla muodossa $\mathbf{r}(t)=\begin{cases}x(t)=a(t-\sin t)\\ y(t)=a(1-\cos t).\end{cases}$ Tangenttivektoriksi saadaan tällöin $\mathbf{r}'(t) = a(1-\cos t)\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j},$ ja edelleen voidaan ratkaista kiihtyvyys $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=a\sin t\mathbf{i} + a\cos t\mathbf{j}.$ Tästä seuraa $\|\mathbf{a}(t)\| = \lvert a\rvert =$ tasaisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys.

Tarkastele

Huomautus. Sykloidin parametrisoinnissa $\mathbf{r}'(2\pi n)=\overline{0}$, eli hetkellinen nopeus on nolla (niissä kohdissa, joissa hiukkanen koskettaa vierimisalustaa, vrt. yllä.). Tällöin käyrän suunta voi muuttua jyrkästi, vaikka sen parametrisointi onkin jatkuvasti derivoituva.