1. Taso- ja avaruuskäyrät

1.3. Kaarenpituus

Kaarenpituus

Olkoon \mathbf{r}\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n käyrän C jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan havaita murtoviivan pituuden suppenevan kohti kaaren pituutta \ell(C).

Kaarenpituus (tai käyränpituus) voidaankin määrittää integraalina \ell(C)=\int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt, missä merkintä \|\cdot\| tarkoittaa vektorin (euklidista) normia eli pituutta avaruudessa \mathbb{R}^n. Tapauksessa n=2 on siis \|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} .


Perustelu. Olkoot a= t_{0} < t_{1} < \dotsc < t_{n}=b välin [a,b] ositus. Tällöin vektorien \mathbf{r}(t_{k-1}) ja \mathbf{r}(t_{k}) välisen sekanttivektorin lauseke on \Delta \mathbf{r}_{k} = \mathbf{r}(t_{k}) - \mathbf{r}(t_{k-1}) (vrt. aiempaan määritelmään, kun \Delta t = t_{k}-t_{k-1}).

Toisaalta sekanttivektorien pituudelle pätee approksimaatio \|\Delta\mathbf{r}_{k}\| \approx \|\mathbf{r}'(t_{k-1})\|(t_{k}-t_{k-1}), joten kaarenpituuden approksimaatioksi n kappaleella sekanttivektoreita saadaan \ell(C) \approx \sum_{k=1}^{n}\|\Delta\mathbf{r}_{k}\| \approx \sum_{k=1}^{n}\|\mathbf{r}'(t_{k-1})\|(t_{k}-t_{k-1}). Vaaditaan lisäksi, että jokaisen jakovälin pituus t_{k}-t_{k-1} suppenee kohti nollaa, kun n\to\infty, jolloin edellinen lauseke on funktion \|\mathbf{r}'(t)\| Riemannin summa. Toisaalta, kun jakovälejä tihennetään, lähestyy approksimaatio kaaren todellista pituutta. Näin ollen integraalin määritelmästä seuraa \ell(C) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\|\mathbf{r}'(t_{k-1})\|(t_{k}-t_{k-1}) = \int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.

', withLabel:true, strokeWidth:2, label:{ fontSize:22, position:'urt' }});*/ function graph(x){ return x-x*x*x/6+x*x*x*x*x/120; } function update(){ board.suspendUpdate(); board.removeObject(arrows); arrows.length = 0; n = s[0].Value(); a = s[1].Value(); b = s[2].Value(); dt = (b-a)/n; for(i=0;i
Kaarenpituuden approksimointia välillä [a,b], kun sekanttivektoreita n kappaletta

Jos käyrän parametrisointi on ainoastaan paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän kaarenpituus laskemalla osien kaarenpituudet yhteen.

Vaikka käyrällä onkin aina äärettömän monta eri parametrisointia, voidaan osoittaa, ettei kaarenpituus riipu (injektiivisen) parametrisoinnin valinnasta eikä suunnasta.

Esimerkki

Määritetään Helix-käyrän \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) kaarenpituus parametrivälillä t\in[0,2\pi]. Tangenttivektoriksi saadaan

\mathbf{r}'(t)= \mathbf{i}(-\sin t) + \mathbf{j}\cos t + \mathbf{k}, joten \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{((-\sin t)^2+\cos^2t+1)}=\sqrt{2}. Kaarenpituudeksi saadaan \ell = \int_0^{2\pi} \|\mathbf{r}'(t)\|dt = 2\sqrt{2}\pi.

Esimerkki

Johdetaan kaava funktion kuvaajan y=f(x) kaarenpituudelle välillä [a,b]. Asetetaan \mathbf{r}(t)=(t, f(t)), kun t\in[a,b]. Tällöin \mathbf{r}'(t)=(1,f'(t))\quad\text{ ja }\quad \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{1+f'(t)^2}, joten kaarenpituudeksi saadaan \ell = \int_a^b \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt.

Huomautus. Kaarenpituutta voidaan tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä tai käyrä on "rajoittamaton" tai "itsensä päälle laskostuva" avoimen parametrivälinsä päätepisteen läheisyydessä. Kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää kutsutaan suoristuvaksi.

Esimerkki

Olkoot käyrällä parametrisointi \mathbf{r}(t)=(e^{-t},e^{-t}), kun t\in[0,\infty[. Lasketaan tälle kaarenpituus.

Tangenttivektorin \mathbf{r}'(t)=(-e^{-t},-e^{-t}) pituus on \|\mathbf{r}'(t)\|=e^{-t}\sqrt{2}, joten kaarenpituudeksi saadaan nyt

\ell = \int_{0}^{\infty}\|\mathbf{r}(t)\|\,dt = \int_{0}^{\infty}e^{-t}\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}.

(Huom: Kyseinen käyrä on yksikköneliön puoliavoin lävistäjä, joten tulos lienee muutenkin selvä. Toisaalta siinä näkyy myös kaarenpituuden riippumattomuus parametrisoinnin valinnasta.)