MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024
Kurssiasetusten perusteella kurssi on päättynyt 19.02.2024 Etsi kursseja: MS-A0201
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2
1. Taso- ja avaruuskäyrät
1.3. Kaarenpituus
Kaarenpituus
Olkoon käyrän jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan havaita murtoviivan pituuden suppenevan kohti kaaren pituutta .
Kaarenpituus (tai käyränpituus) voidaankin määrittää integraalina missä merkintä tarkoittaa vektorin (euklidista) normia eli pituutta avaruudessa . Tapauksessa on siis .
Perustelu. Olkoot välin ositus. Tällöin vektorien ja välisen sekanttivektorin lauseke on (vrt. aiempaan määritelmään, kun ).
Toisaalta sekanttivektorien pituudelle pätee approksimaatio joten kaarenpituuden approksimaatioksi kappaleella sekanttivektoreita saadaan Vaaditaan lisäksi, että jokaisen jakovälin pituus suppenee kohti nollaa, kun , jolloin edellinen lauseke on funktion Riemannin summa. Toisaalta, kun jakovälejä tihennetään, lähestyy approksimaatio kaaren todellista pituutta. Näin ollen integraalin määritelmästä seuraa
Jos käyrän parametrisointi on ainoastaan paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän kaarenpituus laskemalla osien kaarenpituudet yhteen.
Vaikka käyrällä onkin aina äärettömän monta eri parametrisointia, voidaan osoittaa, ettei kaarenpituus riipu (injektiivisen) parametrisoinnin valinnasta eikä suunnasta.
Esimerkki
Määritetään Helix-käyrän kaarenpituus parametrivälillä . Tangenttivektoriksi saadaan
joten Kaarenpituudeksi saadaanEsimerkki
Johdetaan kaava funktion kuvaajan kaarenpituudelle välillä . Asetetaan , kun . Tällöin joten kaarenpituudeksi saadaan
Huomautus. Kaarenpituutta voidaan tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä tai käyrä on "rajoittamaton" tai "itsensä päälle laskostuva" avoimen parametrivälinsä päätepisteen läheisyydessä. Kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää kutsutaan suoristuvaksi.
Esimerkki
Olkoot käyrällä parametrisointi , kun . Lasketaan tälle kaarenpituus.
Tangenttivektorin pituus on , joten kaarenpituudeksi saadaan nyt
(Huom: Kyseinen käyrä on yksikköneliön puoliavoin lävistäjä, joten tulos lienee muutenkin selvä. Toisaalta siinä näkyy myös kaarenpituuden riippumattomuus parametrisoinnin valinnasta.)