ELEC-A3110 - Mekaniikka, 07.09.2020-10.12.2020
This course space end date is set to 10.12.2020 Search Courses: ELEC-A3110
15. Jäykän kappaleen liike
Heittoliikettä käsiteltäessä ei otettu huomioon kappaleen pyörimisliikettä. Toisaalta pyörimisliikettä tarkasteltaessa oletettiin pyörimisakselin pysyvän täysin paikallaan. Tähän asti kappaleiden liikettä tarkastellessa onkin enimmäkseen käsitelty tilanteita, joissa on voitu jättää huomiotta joko kappaleen pyörimisliike tai kappaleen massakeskipisteen liike. Tässä osassa yleistetään kappaleiden liikkeen kuvaaminen tapauksiin, joissa täytyy ottaa huomioon molemmat.
Ensimmäisellä videolla perehdytään massakeskipisteen käsitteeseen. Havaitaan, että minkä tahansa systeemin massakeskipiste liikkuu Newtonin 2. lain mukaisesti niin kuin systeemin koko massa olisi massakeskipisteessä sijaitseva pistemassa, johon vaikuttaa vain systeemin ulkoiset voimat. Tämä on massakeskipisteen tärkein ominaisuus, sillä mahdollistaa myöhemmällä videolla kappaleiden liikkeen jakamisen näppärällä tavalla massakeskipisteen liikkeeseen ja pyörimisliikkeeseen massakeskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen.
Toisella videolla määritellään kappaleen painopiste. Se on paikka, johon painovoiman voi ajatella kohdistuvan kappaleessa, ja siten määrittää esimerkiksi sen voiko kappale pysyä pystyssä pinnan tukivoimien avulla. Painopisteen ajautumisella tukipisteiden ulkopuolelle voi tunnetusti olla kivuliaita seurauksia, jotka ihminen yleensä oppii ensimmäisten elinvuosiensa aikana. Painopiste ja massakeskipiste liittyvät myös läheisesti toisiinsa, ja sijaitsevatkin yleensä samassa kohdassa kappaletta, mutta ovat käsitteellisesti täysin eri asioita. Massakeskipiste on systeemin sisäinen ominaisuus, joka riippuu vain kappaleen massajakaumasta, kun taas painopiste liittyy siihen, miten painovoima vaikuttaa kappaleeseen. Videolla osoitetaan myös, että usean kappaleen yhteinen painopiste voidaan laskea yksittäisten kappaleiden painopisteiden avulla. Tämähän helpottaa merkittävästi elämää, kun ei tarvitse ottaa jokaista alkeishiukkasta erikseen huomioon painopisteitä laskettaessa. Painopistettä käsitellään myös kurssikirjan kappaleessa 11.2.
No, nyt päästään vihdoin tarkastelemaan jäykän kappaleen yleistä liikettä. Tällä videolla keskitytään liike-energian laskemiseen jäykän kappaleen yleiselle liikkeelle, eli tapauksessa, jossa kappaleen massakeskipiste liikkuu, ja kappale suorittaa myös pyörimisliikettä jonkin massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri. Näytetään, että kappaleen liike-energia jakaantuu kätevästi massakeskipisteen liikkeestä ja pyörimisliikkeestä aiheutuviin kontribuutioihin. Jäykän kappaleen liike-energian lauseketta voidaan soveltaa kaikenlaisissa energiatarkasteluissa.
Tällä videolla muotoillaan tasapainoehdot jäykälle kappaleelle, joiden täyttyessä kappale on ns. tasapainossa. Jäykän kappaleen tapauksessa tasapaino tarkoittaa sitä, että sen massakeskipiste on tasaisessa liikkeessä, ja kappale pyörii vakiokulmanopeudella jonkin massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri. Jotta nämä ehdot toteutuisivat, niin täytyy sekä kappaleeseen kohdistuvien ulkoisten voimien että ulkoisista voimista aiheutuvien voiman momenttien summatua nolliksi. Näistä ehdoista saadaan tasapaino-ongelmien tapauksessa muotoiltua yhtälöt, joista voi (ainakin yrittää) ratkaista mieluisensa suureet. Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmia tarkastellaan myös kurssikirjan kappaleessa 11.3.
Tällä videolla muotoillaan viimein yleiset liikeyhtälöt jäykille kappaleille. Tai no, jos ihan tarkkoja ollaan, niin valitettavasti tarkastelu joudutaan rajaamaan tilanteisiin, joissa kappale on symmetrinen pyörimisakselinsa suhteen, eikä pyörimisakseli muutu ajassa. Mutta näiden oletuksien pätiessä opitaan viimein kuvaamaan jäykän kappaleen liikettä täydellisesti. Ulkoiset voimat aiheuttavat massakeskipisteen liiketilan muutoksia, ja ulkoisten voimien aiheuttamat voiman momentit aiheuttavat pyörimisliikkeen muutoksia liikeyhtälöiden mukaisesti. Dynaamisten ongelmien ratkaiseminen etenee samoin kuin aikaisemminkin paitsi, että nyt täytyy ottaa myös pyörimisliike huomioon. Jäykän kappaleen dynamiikkaa käsitellään myös kurssikirjan kappaleessa 10.3.
Lisämateriaalia
Massakeskipistedemonstraatio - Demossa nähdään, kuinka massakeskipisteen sijoittuminen tukipisteen (saranan) suhteen vaikuttaa kappaleen asentoon lepotilassa.
Kun vasara on kiinnitetty liikkuvaan osaan ja osa on lakannut liikkumasta, systeemi on tasapainossa. Tasapainolla on kaksi kriteeriä: kokonaisvoiman ja -momentin tulee olla nolla. Tästä saadaan kaksi erittäin tärkeää yhtälöä, joita päästään käyttämään paljon harjoitustehtävissä.