Tälle sivulle on koottu (pääasiassa Lauri Sääskilahden tekemän työn pohjalta) hyödyllisiä tai muuten mielenkiintoisia videolinkkejä liittyen kurssilla käsiteltäviin aiheisiin.

Huom. Sinisellä värillä otsikoitujen videoiden aiheet eivät sinällään sisälly tämän kurssin oppimistavoitteisiin, mutta aiheesta kiinnostuneemmat voivat löytää niistä lisää mielenkiintoista pohdittavaa!

1. Lukujonot

1.1 Perustietoa lukujonoista: notaatiot, jonon yleinen termi ja rekursiiviset jonot
1.2 Jonojen suppenemisesta

2. Sarjat

2.1 Yleisen termin raja-arvon \(\lim_{n\to\infty}a_{n}\) yhteys sarjan suppenemiseen
2.2 Suhdetesti/osamäärätesti
2.3 Vertailuperiaate (majorantti- ja minoranttiperiaate)
2.4 Integraalitesti
2.5 Sarjojen ehdollinen ja itseinen suppeneminen
2.6 Sarjojen Cesàro-summautumisesta (Wikipedia):
\(1-1+1-\dots=?\)
2.7 Geometrinen perustelu Baselin ongelman yllättävälle ratkaisulle
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^{2}}{6}\)

3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

3.1 Johdatus raja-arvoihin
3.2 Raja-arvon \(\epsilon\delta\)-määritelmä
3.3 Funktion jatkuvuus raja-arvojen avulla, toispuoleiset raja-arvot

4. Derivaatta

4.1 Infinitesimaali \(dx\)
4.2 Intuitiivinen lähestyminen derivaatan käsitteeseen
4.3 Derivaatan \(\epsilon\delta\)-määritelmä ja L'Hôpitalin sääntö
4.4 L'Hôpitalin sääntö
4.5 Yhdistetyn funktion derivaatta ja ketjusääntö
4.6 Lineaarinen approksimaatio

5. Taylorin sarja, Taylorin polynomit ja Newtonin menetelmä

5.1 Taylorin sarjan muodostamisesta
5.2 Funktion polynomiapproksimaation visualisointia
5.3 Taylorin polynomiapproksimaatioiden sovellutuksista fysiikassa
5.4 Esimerkki polynomifunktion juurien approksimioinnista Newtonin menetelmällä

6. Käänteisfunktio

6.1 Surjektiot ja injektiot
6.2 Bijektiot ja käänteisfunktiot
6.3 Käänteisfunktioista
6.4 Käänteisfunktion derivaatta
6.5 Arkusfunktiot: arkussini (ks. myös arkustangentti ja arkuskosini!)

7. Integraali

7.1 Riemannin summa ja määrätty integraali
7.2 Integraali ja analyysin peruslause
7.3 Yksityiskohtainen esimerkki määrätyn integraalin laskemisesta:
\(\displaystyle\int_{0}^{4}x^{2}+2\,dx\)
7.4 Kahden käyrän rajaaman alueen pinta-ala
7.5 Pyörähdyskappaleen tilavuus
7.6 Epäoleellinen integraali

8. Integroimismenetelmiä

8.1 Osittaisintegrointi
8.2 Sijoitusmenetelmä
8.3 Osamurtokehitelmä

9. Differentiaaliyhtälöt

9.1 Visuaalinen johdanto differentiaaliyhtälöihin
9.2 Erilaisista differentiaaliyhtälöistä
9.3 Separoituvan DY:n ratkaiseminen
9.4 Integroiva tekijä
9.5 Lineaarisen 1. kertaluvun DY:n ratkaiseminen
9.6 Suuntakenttä
9.7 Eulerin menetelmä
9.8 Lineaarisen 2. kertaluvun DY:n ratkaiseminen (Homogeeninen DY)
9.9 Lineaarisen 2. kertaluvun DY:n ratkaiseminen (Epähomogeeninen DY)
9.10 Differentiaaliyhtälöiden sovellutuksia fysiikassa

A Kompleksiluvuista

A1 Johdanto kompleksilukuihin: Mitkä ihmeen imaginääriluvut?
A2 Eulerin kaava \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) ja Eulerin identiteetti \(e^{i\pi}=1\), lähtien tunnetuista Taylorin sarjakehitelmistä:

\(\displaystyle e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\)

\(\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}\)

\(\displaystyle \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

B Muuta mielenkiintoista

B1 Onko \(\displaystyle 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}\) ?
B2 Mitä erikoista on matemaattisessa vakiossa \(e=2,718\dots\)? (Neperin/Eulerin luku)
B3 Matematiikan kaunein kaava: Eulerin identiteetti
B4 Eddie Woon johdanto differentiaali- ja integraalilaskentaan
Last modified: Wednesday, 2 September 2020, 12:25 PM