2. Sarjat

Suppeneminen


Suppeneminen

Jonosta (ak) voidaan muodostaa sen osasummia asettamalla sn=a1+a2++an.

Jos osasumminen jonolla (sn) on raja-arvo sR, niin luvuista (ak) muodostettu sarja suppenee ja sen summa on s. Tällöin merkitään a1+a2+=k=1ak=limnnk=1ak=sn=s.

Indeksöinti

Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin alkuperäinen jono (ak); esimerkiksi jonon (ak)k=0 osasummat ovat s0=a0,s1=a0+a1 jne.

Sarjaan voidaan tehdä indeksinsiirtoja ilman että varsinainen sarja muuttuu: k=1ak=k=0ak+1=k=2ak1.

Konkreettinen esimerkki: k=11k2=1+14+19+=k=01(k+1)2

Kokeile!

Laske sarjan k=0ak osasummia:

sarjan k. termi: , aloita summaus kohdasta

Sarjan hajaantuminen

Sarja, joka ei suppene, on hajaantuva. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla:

  1. sarjan osasummat kasvavat rajatta kohti ääretöntä
  2. sarjan osasummat pienenevät rajatta kohti miinus ääretöntä
  3. osasummien jono heilahtelee niin, ettei sillä ole raja-arvoa.

Hajaantuvan sarjan kohdalla merkintä k=1ak ei oikeastaan tarkoita mitään (se ei ole reaaliluku). Tällöin voidaan tulkita, että merkintä tarkoittaa osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty.

Perustuloksia


Geometrinen sarja

Geometrinen sarja k=0aqk suppenee, jos |q| (tai a=0), jolloin sen summa on a1q. Jos |q|1, niin sarja hajaantuu.

Todistus. Osasummille on voimassa nk=0aqk=a(1qn+1)1q, josta väite seuraa.

Yleisemmin k=iaqk=aqi1q=sarjan 1. termi1q, jos |q|

Esimerkki 1.

Määritä sarjan k=134k+1 summa.

Ratkaisu. Koska 34k+1=34(14)k, niin kyseessä on geometrinen sarja. Sen summa on 341/411/4=14.

Laskusääntöjä

Suppenevien sarjojen ominaisuuksia:
  • k=1(ak+bk)=k=1ak+k=1bk
  • k=1(cak)=ck=1ak, kun cR on vakio

Todistus. Nämä seuraavat vastaavista tuloksista jonojen raja-arvolle.


Huomautus: Sarjoilla ei ole jonojen kaltaista tulosääntöä, koska jo kahden termin summille (a1+a2)(b1+b2)a1b1+a2b2. Tulosäännön oikea muoto on sarjojen Cauchy-tulo, jossa myös ristitermit otetaan huomioon.

Katso esimerkiksi https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product

Lause 1.

Jos sarja k=1ak suppenee, niin limkak=0.

Kääntäen: Jos limkak0, niin sarja k=1ak hajaantuu.

Todistus.

Jos sarjan summa on s, niin ak=sksk1ss=0.


Huomautus: Ominaisuutta limkak=0 ei voi käyttää sarjan suppenemisen osoittamiseen; vrt. seuraavat esimerkit. Tämä on eräs yleisimmistä päättelyvirheistä sarjojen kohdalla!

Esimerkki

Tutki sarjan k=1kk+1=12+23+34+ suppenemista.

Ratkaisu. Sarjan yleisen termin raja-arvo on limkkk+1=1. Koska raja-arvo ei ole nolla, niin sarja hajaantuu.

Harmoninen sarja

Harmoninen sarja k=11k=1+12+13+ hajaantuu, vaikka yleisen termin ak=1/k raja-arvo on nolla.

Todistus.

Tämän klassisen tuloksen todisti ensimmäisenä 14. vuosisadalla Nicole Oresme, jonka jälkeen monia muitakin perusteluja on keksitty. Tässä esimerkkinä kaksi erilaista päättelyä.

i) Alkeellinen todistus. Oletetaan, että sarja suppenee ja yritetään johtaa tästä ristiriita. Olkoon siis sR harmonisen sarjan summa: s=k=11/k. Tällöin s=(1+12)+(13+14)+(15+16)+=k=1(12k1+12k). Selvästi 12k1>12k>0 kaikille k1  k=112k1>k=112k=s2, joten s=k=112k1+k=112k=k=112k1+12k=11k=s. =k=112k1+s2>k=112k+s2=s2+s2=s. Päädyimme siis epäyhtälöön s>s, joka on ristiriita. Alkuperäinen oletus suppenemisesta on siis väärä, joten sarja hajaantuu.


ii) Todistus integraalin avulla: Pylvään korkeuksia 1/k vastaavan histogrammin alapuolelle jää funktion f(x)=1/(x+1) kuvaaja, joten pinta-aloja vertaamalla saadaan nk=11kn0dxx+1=ln(n+1), kun n.

1234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.91

Positiiviset sarjat

Sarjan summan laskeminen on usein vaikeata ja monesti jopa mahdotonta, jos vaatimuksena on summan eksplisiittinen lauseke. Moniin sovelluksiin riittää myös summan likiarvo, mutta sitä ennen olisi syytä selvittää, onko sarja suppeneva vai hajaantuva.

Sarja k=1pk on positiivinen (tai positiiviterminen), jos pk>0 kaikilla k.

Positiivisten sarjojen suppeneminen on hyvin selväpiirteistä:

Lause 2.

Positiivinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu.

Syy: Osasummien jono on nouseva.

Esimerkki

Osoita, että superharmonisen sarjan k=11k2 osasummille pätee sn kaikilla n, joten sarja suppenee.

Ratkaisu. Ratkaisu perustuu epäyhtälöön 1k2<1k(k1)=1k11k, kun k2, koska sen mukaan nk=11k2<1+nk=21k(k1)=21n<2 kaikilla n2.

Tämän päättelyn voi tehdä myös integraalin avulla.


Leonhard Euler selvitti vuonna 1735, että sarjan summa on π2/6. Perusteluna hän käytti sinifunktion sarja- ja tulokehitelmien vertailua.

Itseinen suppeneminen


Määritelmä

Sarja k=1ak suppenee itseisesti, jos positiivinen sarja k=1|ak| suppenee.


Lause 3.

Itseisesti suppeneva sarja suppenee (tavallisessa mielessä) ja |k=1ak|k=1|ak|.

Tämä on erikoistapaus majoranttiperiaatteesta, josta lisää myöhemmin.

Todistus.

Oletetaan, että k|ak| suppenee. Tarkastellaan erikseen  sarjan kak positiivista ja negatiivista osaa: Olkoon bk=max(ak,0)0 ja ck=min(ak,0)0. Koska bk,ck|ak|, niin positiiviset sarjat bk ja ck suppenevat  lauseen 2  perusteella. Lisäksi ak=bkck, joten ak suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena.

Esimerkki

Tutki vuorottelevan (= etumerkit vaihtelevat vuorotellen + ja -) sarjan k=1(1)k+1k2=114+19 suppenemista.

Ratkaisu. Koska |(1)k+1k2|=1k2 ja superharmoninen sarja k=11k2 suppenee, niin tutkittava sarja suppenee itseisesti, ja sen vuoksi myös tavallisessa mielessä.

Vuorotteleva harmoninen sarja

Itseinen suppeneminen ei kuitenkaan tarkoita samaa kuin tavallinen suppeneminen:

Esimerkki

Vuorotteleva harmoninen sarja k=1(1)k+1k=112+1314+ suppenee, mutta ei itseisesti.

(Idea) Piirretään osasummajonon (sn) kuvaaja, josta huomataan, että parillisten ja parittomien indeksien osasummat s2n ja s2n+1 ovat monotonisia ja suppenevat kohti samaa raja-arvoa.


Sarjan summa on ln2, joka saadaan selville integroimalla geometrisen sarjan summakaavaa.

1020304050607080901000.50.60.70.80.91
Vuorottelevan harmonisen sarjan 100 ensimmäistä osasummaa;
pisteet on yhdistetty janoilla havainnollisuuden vuoksi

Suppenemistestejä


Vertailutestit

Edelliset tarkastelut yleistyvät seuraavalla tavalla:

Lause 4.

(Majoranttiperiaate) Jos |ak|pk kaikilla k ja k=1pk suppenee, niin myös k=1ak suppenee.

(Minoranttiperiaate) Jos 0pkak kaikilla k ja pk hajaantuu, niin myös ak hajaantuu.

Todistus.

Majorantin todistus. Koska ak=|ak|(|ak|ak) ja 0|ak|ak2|ak|, niin ak on suppeneva kahden suppenevan sarjan erotuksena. Tässä käytetään aikaisempaa lausetta 2 positiivisille sarjoille; kyseessä ei ole kehäpäättely!

Minorantin todistus. Oletuksista seuraa, että sarjan ak osasummat kasvavat rajatta, joten sarja hajaantuu.

Esimerkki

Tutki sarjojen k=111+k3  ja  k=11k suppenemista.

Ratkaisu. Koska0 kaikilla kN, niin ensimmäinen sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

Toisaalta 1k1k kaikilla kN, joten toisella sarjalla on hajaantuva harmoninen minorantti, joten se hajaantuu.

Suhdetesti

Käytännössä eräs parhaista tavoista tutkia suppenemista on suhdetesti, jossa sarjan peräkkäisten termien käyttäytymistä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan:

Lause 5a.

Oletetaan, että on olemassa sellainen vakio 0<Q<1, että |ak+1ak|Q jostakin indeksistä kk0 alkaen.

Tällöin sarja ak suppenee (ja sen "suppenemisnopeus"\ on samaa luokkaa kuin geometrisella sarjalla Qk, tai jopa parempi).

Todistus.

Koska sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen (mutta se vaikuttaa  toki summaan!), niin voidaan olettaa epäyhtälön pätevän kaikilla indekseillä k.

Tästä seuraa, että |ak|Q|ak1|Q2|ak2|Qk|a0|, joten sarjalla on geometrinen majorantti, ja se suppenee.

Suhdetestin raja-arvomuoto

Lause 5b.

Oletetaan, että raja-arvo limk|ak+1ak|=q on olemassa. Silloin sarja ak {suppenee, jos 0q<1,hajaantuu, jos q>1,voi olla suppeneva tai haantuva, jos q=1.


(Idea) Geometriselle sarjalle kahden peräkkäisen termin suhde on täsmälleen q. Suhdetestin mukaan muidenkin sarjojen suppenemista voidaan (usein) tutkia samalla periaatteella, kun suhdeluku q korvataan tällä raja-arvolla.

Todistus.

Valitaan raja-arvon määritelmässä ε=(1q)/2>0. Silloin jostakin indeksistä kkε alkaen pätee |ak+1/ak|<q+ε=(q+1)/2=Q<1, ja väite seuraa lauseesta 4.


Tapauksessa q>1 sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.


Viimeinen tapaus q=1 ei sisällä mitään informaatiota (eikä myöskään todistettavaa).

Tämä tapaus esiintyy sekä harmonisen (ak=1/k, hajaantuu!) että yliharmonisen (ak=1/k2, suppenee!) sarjan kohdalla. Näissä tapauksissa suppenemista täytyy tutkia joillakin muilla menetelmillä, kuten aikaisemmin tehtiin.

Esimerkki

Onko sarja k=1(1)k+1k2k=1224+38 suppeneva?

Ratkaisu. Tässä ak=(1)k+1k/2k, joten |ak+1ak|=|(1)k+2(k+1)/2k+1(1)k+1k/2k|=k+12k=12+12k12<1, kun k. Suhdetestin perusteella sarja suppenee.

'); }],{ useMathJax : true, fontSize : 14, visible : false }); /*var txt2 = board.create('text', [15, 1.8, function() { return 'k=' + (series.dataX.length-1) + ': value = ' + series.dataY[series.dataY.length - 1]; }], {strokeColor: 'black'});*/ var TO; var approx = function() { series_add(); board.update(); if (series.dataX.length <= 50) { TO = setTimeout(approx, 500); } }; var a_k; var start_approx = function() { txt.setAttribute( { visible : true }); board.removeObject(dataPoints); dataPoints = []; series.dataX = []; series.dataY = []; var txtraw = document.getElementById('input').value; a_k = board.jc.snippet(txtraw, true, 'k', true); k = parseInt(document.getElementById('startval').value); start = k; approx(); } var clear_all = function() { clearTimeout(TO); }; document.getElementById('startSeq').onclick = start_approx; document.getElementById('stopSeq').onclick = clear_all; })();