MS-A0104 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2, ENG2), Luento-opetus, 23.10.2023-7.12.2023

Tarkastellaan umpinaisen ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän raamien alueiden pinta-alaa. Pinta-alan yleinen käsite on teoreettisesti paljon hankalampi, mistä antaa viitteen luvun lopussa oleva huomautus.

Tasojoukon pinta-ala määritellään palauttamalla se yksinkertaisempien joukkojen pinta-aloihin. Erityisesti täytyy huomata, ettei pinta-alaa voi "laskea", ellei "pinta-alan" käsitettä ole ensin määritelty (vaikka koulumatematiikassa näin usein tehdäänkin).

(Yksinkertainen) monikulmio on tasojoukko, jota rajaa äärellisestä määrästä peräkkäisiä janoja koostuva suljettu käyrä. Vain peräkkäiset janat saavat leikata toisiaan yhteisessä päätepisteessä.

Tasojoukolle $\color{red} D$, jota rajaa umpinainen itseään leikkaamaton käyrä, voidaan muodostaa sisämonikulmioita $\color{blue}P_i$ ja ulkomonikulmioita $P_o$: $\color{blue}P_i\color{black} \subset \color{red}D\color{black}\subset P_o$.

Yllätys: Se, että joukkoa $D$ rajoittaa umpinainen (itseään leikkaamaton) käyrä, ei takaa, että joukon pinta-ala on määritelty: Reunakäyrä voi olla niin "mutkitteleva", että sillä on positiivinen "pinta-ala". Ensimmäisen esimerkin konstruoi [W.F. Osgood, 1903]:

Esimerkki

Johda $R$-säteisen ympyrän pinta-alan kaava $A=\pi R^2$ valitsemalla sisä- ja ulkomonikulmioiksi säännöllisiä $n$-kulmioita, ja ottamalla lopuksi raja-arvo $n\to\infty$.

Ratkaisu: vapaaehtoinen lisätehtävä, jossa tarvitaan raja-arvoa $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.$ Vihje: Osoita, että säännöllisten sisä- ja ulkomonikulmioiden pinta-alat ovat $\pi R^2\frac{\sin (2\pi/n)}{2\pi/n} \ \text{ ja }\ \pi R^2\frac{\tan \pi/n}{\pi/n}.$