VERKKOKIRJA: Taylor-polynomi

5. Taylor-polynomi

Sisältö

Taylorin polynomi
Taylorin polynomi ja ääriarvot
Newtonin menetelmä
Taylorin sarja
Potenssisarja

Taylor-polynomi

Esimerkki

Verrataan funktion $\sin x$ kuvaajaa (punainen) polynomien $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ kuvaajiin (sininen) arvoilla $n=1,2,3,\dots,12$ .

**Kokeile.** Funktio sin ja polynomi
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

Määritelmä: Taylor-polynomi

Olkoon $f$ funktio, joka on $k$ kertaa derivoituva pisteessä $x_{0}$ . Tällöin Taylor-polynomi \begin{align} P_n(x)&=P_n(x;x_0)\\\ &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \\ & \dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\ \end{align} on (derivaattojen suhteen) paras $n$ -asteinen polynomiapproksimaatio funktiolle $f$ pisteen $x_0$ lähellä.

Huom. Tapauksessa $x_0=0$ käytetään usein nimeä Maclaurin-polynomi.

Jos $f$ on $n$ kertaa derivoituva pisteessä $x_0$ , niin Taylor-polynomilla on pisteessä $x_0$ samat derivaatat kuin funktiolla $f$ , aina (derivaatan) kertalukuun $n$ saakka.

Syy (tapaus $x_0=0$ ): Olkoon $P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\dots +c_nx^n,$ jolloin \begin{align} P_n'(x)&=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\dots +nc_nx^{n-1}, \\ P_n''(x)&=2c_2+3\cdot 2 c_3x\dots +n(n-1)c_nx^{n-2} \\ P_n'''(x)&=3\cdot 2 c_3\dots +n(n-1)(n-2)c_nx^{n-3} \\ \dots && \\ P^{(k)}(x)&=k!c_k + x\text{ termejä} \\ \dots & \\ P^{(n)}(x)&=n!c_n \\ P^{(n+1)}(x)&=0. \end{align}

Tämän avulla kertoimet voidaan ratkaista yksi kerrallaan: \begin{align} c_0= P_n(0)=f(0) &\Rightarrow c_0=f(0) \\ c_1=P_n'(0)=f'(0) &\Rightarrow c_1=f'(0) \\ 2c_2=P_n''(0)=f''(0) &\Rightarrow c_2=\frac{1}{2}f''(0) \\ \vdots & \\ k!c_k=P_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0). \\ \vdots &\\ n!c_n=P_n^{(n)}(0)=f^{(n)}(0) &\Rightarrow c_k=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0). \end{align} Kertaluvusta $k=n+1$ alkaen lisäehtoja ei voi enää asettaa, koska $P^{(n+1)}(x)=0$ .

Taylorin kaava

Jos derivaatta $f^{(n+1)}$ on olemassa ja jatkuva jollakin välillä $I=\, ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ , niin $f(x)=P_n(x;x_0)+E_n(x)$ ja virhetermille $E_n(x)$ pätee $E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ jollakin $c\in [x_0,x]\subset I$ . Jos on olemassa sellainen vakio $M$ (indeksistä $n$ riippumaton), että $|f^{(n+1)}(x)|\le M$ kaikilla $x\in I$ , niin $|E_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \to 0,$ kun $n\to\infty$ .

Todistus sivuutetaan (mathemaattinen induktio tai osittaisintegrointi).

Examples of Maclaurin polynomial approximations: \begin{align} \frac{1}{1-x} &\approx 1+x+x^2+\dots +x^n =\sum_{k=0}^{n}x^k\\ e^x&\approx 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots + \frac{1}{n!}x^n =\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\\ \ln (1+x)&\approx x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\\ \sin x &\approx x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \cos x &\approx 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\dots +\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \end{align}

Esimerkki

Kuinka mones Taylor-polynomi $P_n(x)$ approksimoi funktiota $\sin x$ välillä $[-\pi,\pi]$ niin hyvin, että virheen itseisarvo on alle $10^{-6}$ ?

Käytetään Taylorin kaavaa funktiolle $f(x)=\sin x$ pisteen $x_0=0$ suhteen. Tällöin $|f^{(n+1)}(c)|\le 1$ riippumatta luvusta $n$ ja pisteestä $c$ . Lisäksi kyseisellä välillä on $|x-x_0|=|x|\le \pi$ . Ehto toteutuu (ainakin silloin) kun $|E_n(x)|\le \frac{1}{(n+1)!}\pi^{n+1} < 10^{-6}.$ Tämä epäyhtälö täytyy ratkaista kokeilemalla luvun $n$ eri arvoja; ratkaisuksi saadaan $n\ge 16$ .

Vaadittu tarkkuus saadaan siis polynomilla $P_{16}(x)$ , joka on sinifunktion tapauksessa sama kuin $P_{15}(x)$ .

Kuvaajista tms. voi tarkistaa, ettei $P_{13}(x)$ riitä vaadittuun tarkkuteen, joten teoreettinen raja on tarkka!

Taylorin polynomi ja ääriarvot

Jos $f'(x_0)=0$ , niin myös osa korkeamman kertaluvun derivaatoista voi olla nollia: $f'(x_0)=f''(x_0)= \dots = f^{(n-1)}(x_0) =0,\ f^{(n)}(x_0) \neq 0.$ Tällöin funktion $f$ käyttäytyminen pisteen $x=x_0$ lähellä määräytyy (vakiotermi $f(x_0)$ ei vaikuta) Taylor-polynomin johtavasta termistä $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}.$ .

Tämä johtaa seuraavaan tulokseen:

Ääriarvot

Jos $n$ on pariton, niin $x_0$ ei ole funktion $f$ paikallinen ääriarvokohta.
Jos $n$ on parillinen ja $f^{(n)}(x_0)>0$ , niin funktiolla $f$ on paikallinen minimi pisteessä $x_0$ .
Jos $n$ parillinen ja $f^{(n)}(x_0)$ , niin funktiolla $f$ on paikallinen maksimi pisteessä $x_0$ .

Newtonin menetelmä

The first Taylor polynomial $P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ is the same as the linearization of $f$ at the point $x_0$ . This can be used in some simple approximations and numerical methods.

Newtonin menetelmä

Yhtälö $f(x)=0$ voidaan ratkaista likimääräisesti valitsemalla jokin alkupiste $x_0$ (esimerkiksi kuvaajan perusteella) ja määrittelemällä lukujono palautuskaavalla $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ for $n=0,1,2,\dots$ Tämä johtaa jonoon $(x_0,x_1,x_2,\dots )$ , jonka termit approksimoivat yleensä funktion $f$ nollakohtaa yhä paremmin indeksin $n$ kasvaessa.

Palautuskaava perustuu geometriseen ideaan, jossa funktion nollakohtaa approksimoidaan sen tangenttisuoran nollakohdan avulla. Kyseessä on funktion linearisointi eli 1. asteen Taylor-polynomi edellisen pisteen $x_n$ suhteen.

Esimerkki

Määritä luvun $\sqrt{2}$ likiarvo Newtonin menetelmän avulla.

Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle $f(x)=x^2-2$ ja alkuarvoa $x_0=2$ . Palautuskaava tulee muotoon $x_{n+1}= x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right),$ josta saadaan $x_1=1{,}5$ , $x_2\approx 1{,}41667$ , $x_3\approx 1{,}4142157$ jne.

Kokeilemalla huomataan (esim. Maple), että oikeiden desimaalien lukumäärä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella askeleella, ja $x_7$ tuottaa yli 100 oikeaa desimaalia, kunhan välivaiheet lasketaan riittävällä tarkkuudella.

Taylor-sarja

Jos Taylorin kaavan virhetermi $E_n(x)$ lähestyy nollaa, kun $n$ kasvaa, niin Taylor-polynomin raja-arvona saadaan Taylor-sarja $f$ (= Maclaurin-sarja tapauksessa $x_0=0$ ).

Funktion $f$ Taylor-sarja on muotoa $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k .$ Tämä on esimerkki potenssisarjasta.

Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, kun funktiolla $f$ on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä $x_0$ ja nämä sijoitetaan ym. kaavaan. Tähän liittyy kuitenkin kaksi ongelmaa: 1. Suppeneeko Taylor-sarja kaikilla muuttujan arvoilla $x$ ?

Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktion $f(x)=\frac{1}{1-x}$ Maclaurin-sarja (= geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla $-1 < x < 1$ , vaikka alkuperäinen funktio on derivoituva pisteissä $x\neq 1$ : $f(x)=\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+\dots$

Kokeile. Newtonin menetelmä. Valitse alkukohta

$x_{0}$ ja iteroi (monta kertaa) funktion nollakohdan likiarvon selvittämiseksi.

2. Jos sarja suppenee jollakin arvolla $x$ , niin onko sarjan summa sama kuin $f(x)$ ? Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktiolle $f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0,\\ \end{cases}$ pätee $f^{(k)}(0)=0$ kaikilla $k\in \mathbf{N}$ (alkeellinen, mutta teknisesti hieman hankala lasku). Näin ollen sen Maclaurin-sarja on identtisesti nolla ja suppenee kohti arvoa $f(x)$ vain kohdassa $x=0$ .

Johtopäätös: Taylor-sarjoja pitäisi aina tutkia huolellisesti analysoimalla virhetermejä. Käytännössä voidaan kuitenkin usein käyttää tunnettuja sarjakehitelmiä apuna.

Esimerkkejä

\begin{align} \frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} x^k,\ \ |x|< 1 \\ e^x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k, \ \ x\in \mathbb{R} \\ \sin x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}, \ \ x\in \mathbb{R} \\ \cos x &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k},\ \ x\in \mathbb{R} \\ (1+x)^r &= 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{r(r-1)(r-2)\dots (r-k+1)}{k!}x^k, |x|<1 \end{align} Viimeinen on nimeltään binomisarja ja se voidaan muodostaa kaikilla $r\in \mathbb{R}$ . Jos $r=n \in \mathbb{N}$ , niin indeksistä $k=n+1$ alkaen kaikki kertoimet ovat nollia, ja alkuosassa $\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}.$

Vertaa binomikaavaan: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^{n-k}b^k =a^n +na^{n-1}b+\dots +b^n,$ kun $n\in\mathbb{N}$ .

Potenssisarja

Määritelmä: Potenssisarja

Potenssisarja on muotoa $\sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}c_k(x-x_0)^k.$ Piste $x_0$ on sarjan keskus luvut $c_k$ ovat potenssisarjan kertoimet.

Sarja suppenee pisteessä $x$ , jos ym. raja-arvo on olemassa ja äärellinen.

Suppenemisen suhteen on vain kolme olennaisesti erilaista tapausta:

Abelin lause.

Sarja suppenee vain arvolla $x=x_0$ (jolloin siinä esiintyy pelkästään vakio $c_0$ )
Sarja suppenee kaikilla $x\in \mathbb{R}$
Sarja supppenee jollakin välillä $]x_0-R,x_0+R[$ (ja mahdollisesti yhdessä tai molemmissa päätepisteissä), ja hajaantuu muilla muuttujan $x$ arvoilla.

Luku $R$ on potenssisarjan suppenemissäde. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa merkitään $R=0$ tai $R=\infty$ .

Esimerkki

Millä muuttujan $x$ arvoilla potenssisarja $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}x^k$ suppenee?

Käytetään suhdetestiä lausekkeelle $a_k=kx^k/2^k$ . Silloin $\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \left| \frac{(k+1)x^{k+1}/2^{k+1}}{kx^k/2^k} \right| = \frac{k+1}{2k}|x| \to \frac{|x|}{2},$ kun $k\to\infty$ . Suhdetestin perusteella sarja suppenee, kun $|x|/2$ , ja hajaantuu arvoilla $|x|/2>1$ . Rajatapauksissa $|x|/2= 1\Leftrightarrow x=\pm 2$ sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.

Tulos: Sarja suppenee arvoilla $-2< x< 2$ , ja hajaantuu muuten.

Määritelmä: Summafunktio

Sarjan suppenemisvälillä $I$ voidaan määritellä funktio $f\colon I\to \mathbb{R}$ asettamalla \begin{equation} \label{summafunktio} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k, \tag{1} \end{equation} jota kutsutaan potenssisarjan summafunktioksi.

Summafunktio $f$ on jatkuva ja derivoituva avoimella välillä $]x_0-R,x_0+R[$ . Lisäksi derivaatta $f'(x)$ voidaan laskea derivoimalla potenssisarja termeittäin: $f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}kc_k(x-x_0)^{k-1}.$ Huom. Vakiotermi $c_0$ häviää derivoinnissa, joten summaus alkaa kohdasta $k=1$ . Derivoitu sarja suppenee samalla välillä $x\in \, ]x_0-R,x_0+R[$ kuin alkuperäinen potenssisarja; tämä voi tuntua hieman yllättävältä kertoimen $k$ vuoksi.

Esimerkki

Määritä potenssisarjan $1+2x+3x^2+4x^3+\dots$ summafunktio.

Tämä sarja saadaan derivoimalla termeittäin geometrinen sarja (kun $q=x$ ). Näin ollen \begin{align} 1+2x+3x^2+4x^3+\dots &= D(1+x+x^2+x^3+x^4+\dots ) \\ &= \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}. \end{align} Kerrotaan molemmat puolet termillä $x$ , jolloin saadaan $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k} = x+2x^2+3x^3+4x^4+\dots = \frac{x}{(1-x)^2},$ joka on voimassa arvoilla $|x|$ .

Tapauksessa $[a,b]\subset\ ]x_0-R,x_0+R[$ sarjan voi myös integroida termeittäin: $\int_a^b f(x)\, dx = \sum_{k=0}^{\infty}c_k\int_a^b (x-x_0)^k\, dx.$ Usein integroinnin voi ulottaa myös sarjan suppenemisvälin päätepisteeseen saakka, mutta tämä ei pidä paikkaansa yleisesti.

Esimerkki

Lasketaan vuorottelevan harmonisen sarjan summa.

Sijoitetaan aluksi $q=-x$ geometrisen sarjan summakaavaan. Näin saadaan $1-x+x^2-x^3+x^4-\dots =\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}.$ Integroidaan yhtälön molemmat puolet pisteestä $x=0$ pisteeseen $x=1$ , jolloin saadaan $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots =\int_0^1\frac{1}{1+x} =\ln 2.$ Huom. Integroinnin ulottaminen pisteeseen $x=1$ saakka pitäisi perustella tarkemmin. Integrointiin palataan myöhemmin tällä kurssilla.

'; } else { return ''; } } ], { useMathJax : true, fontSize : 14 }); function iterate(){ var x = 0; if(i>10){ return; } if(i==0){ x = document.getElementById("x0").value; if(isNaN(x) || x==""){ alert("Invalid input"); return; } x = Number(x); document.getElementById("x0").disabled = true; } else{ x = points[i-1].X(); } var fx = f(x); slope = derivative(x); var intersection = fx - slope*x; segments[i] = board.create('segment',[[x,0],[x,fx]],{ dash : 1, highlight : false, strokeOpacity : .6, strokeWidth : 1.5, strokeColor : '#32a889' }); tangents[i] = board.create('line',[[x, fx],[x+1, slope+fx]],{ fixed : true, highlight : false, strokeOpacity : .6, strokeWidth : 1.5, strokeColor : '#32a889' }); points[i] = board.create('point',[-intersection/slope,0],{ fixed : true, highlight : false, showInfobox : false, strokeWidth : 1, strokeColor : 'black', fillColor : '#7732a8', name : '

$x_{' + (i+1) + '}$ ', label : { useMathJax : true } }); board.update(); i++; } function reset(){ i = 0; document.getElementById("x0").disabled = false; document.getElementById("x0").value = ""; board.removeObject(points), board.removeObject(segments), board.removeObject(tangents); points = [], segments = [], tangents = []; board.fullUpdate(); } document.getElementById("iterate").onclick = iterate; document.getElementById("reset").onclick = reset; board.fullUpdate(); })();

MS-A0104 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2, ENG2), Luento-opetus, 23.10.2023-7.12.2023

VERKKOKIRJA

5. Taylor-polynomi

Taylor-polynomi

Esimerkki

Määritelmä: Taylor-polynomi

Taylorin kaava

Esimerkki

Taylorin polynomi ja ääriarvot

Ääriarvot

Newtonin menetelmä

Newtonin menetelmä

Esimerkki

Taylor-sarja

Taylor-sarja

Esimerkkejä

Potenssisarja

Määritelmä: Potenssisarja

Abelin lause.

Esimerkki

Määritelmä: Summafunktio

Esimerkki

Esimerkki

Opiskelijoille

Opettajille

Palvelusta