5. Taylor-polynomi

Sisältö

Taylor-polynomi


Esimerkki

Verrataan funktion sinx kuvaajaa (punainen) polynomien xx33!+x55!+(1)nx2n+1(2n+1)! kuvaajiin (sininen) arvoilla n=1,2,3,,12.

Kokeile. Funktio sin ja polynomi

nk=0(1)kx2k+1(2k+1)!

Määritelmä: Taylor-polynomi

Olkoon f funktio, joka on k kertaa derivoituva pisteessä x0. Tällöin Taylor-polynomi Pn(x)=Pn(x;x0) =f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n=nk=0f(k)(x0)k!(xx0)k on (derivaattojen suhteen) paras n-asteinen polynomiapproksimaatio funktiolle f pisteen x0 lähellä.

Huom. Tapauksessa x0=0 käytetään usein nimeä Maclaurin-polynomi.


Jos f on n kertaa derivoituva pisteessä x0, niin Taylor-polynomilla on pisteessä x0 samat derivaatat kuin funktiolla f, aina (derivaatan) kertalukuun n saakka.

Syy (tapaus x0=0): Olkoon Pn(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3++cnxn, jolloin Pn(x)=c1+2c2x+3c3x2++ncnxn1,Pn(x)=2c2+32c3x+n(n1)cnxn2Pn(x)=32c3+n(n1)(n2)cnxn3P(k)(x)=k!ck+x termejäP(n)(x)=n!cnP(n+1)(x)=0.

Tämän avulla kertoimet voidaan ratkaista yksi kerrallaan: c0=Pn(0)=f(0)c0=f(0)c1=Pn(0)=f(0)c1=f(0)2c2=Pn(0)=f(0)c2=12f(0)k!ck=P(k)n(0)=f(k)(0)ck=1k!f(k)(0).n!cn=P(n)n(0)=f(n)(0)ck=1n!f(n)(0). Kertaluvusta k=n+1 alkaen lisäehtoja ei voi enää asettaa, koska P(n+1)(x)=0.

Taylorin kaava

Jos derivaatta f(n+1) on olemassa ja jatkuva jollakin välillä I=]x0δ,x0+δ[, niin f(x)=Pn(x;x0)+En(x) ja virhetermille En(x) pätee En(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(xx0)n+1 jollakin c[x0,x]I. Jos on olemassa sellainen vakio M (indeksistä n riippumaton), että |f(n+1)(x)|M kaikilla xI, niin |En(x)|M(n+1)!|xx0|n+10, kun n.


Todistus sivuutetaan (mathemaattinen induktio tai osittaisintegrointi).


Examples of Maclaurin polynomial approximations: 11x1+x+x2++xn=nk=0xkex1+x+12!x2+13!x3++1n!xn=nk=0xkk!ln(1+x)x12x2+13x3+(1)n1nxn=nk=1(1)k1kxksinxx13!x3+15!x5+(1)n(2n+1)!x2n+1=nk=0(1)k(2k+1)!x2k+1cosx112!x2+14!x4+(1)n(2n)!x2n=nk=0(1)k(2k)!x2k

Esimerkki

Kuinka mones Taylor-polynomi Pn(x) approksimoi funktiota sinx välillä [π,π] niin hyvin, että virheen itseisarvo on alle  106?

Käytetään Taylorin kaavaa funktiolle f(x)=sinx pisteen x0=0 suhteen. Tällöin |f(n+1)(c)|1 riippumatta luvusta n ja pisteestä c. Lisäksi kyseisellä välillä on |xx0|=|x|π. Ehto toteutuu (ainakin silloin) kun |En(x)|1(n+1)!πn+1<106. Tämä epäyhtälö täytyy ratkaista kokeilemalla luvun n eri arvoja; ratkaisuksi saadaan n16.

Vaadittu tarkkuus saadaan siis polynomilla P16(x), joka on sinifunktion tapauksessa sama kuin P15(x).

Kuvaajista tms. voi tarkistaa, ettei P13(x) riitä vaadittuun tarkkuteen, joten teoreettinen raja on tarkka!

Taylorin polynomi ja ääriarvot


Jos f(x0)=0, niin myös osa korkeamman kertaluvun derivaatoista voi olla nollia: f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0, f(n)(x0)0. Tällöin funktion f käyttäytyminen pisteen x=x0 lähellä määräytyy (vakiotermi f(x0) ei vaikuta) Taylor-polynomin johtavasta termistä f(n)(x0)n!(xx0)n..

Tämä johtaa seuraavaan tulokseen:

Ääriarvot
  • Jos n on pariton, niin x0 ei ole funktion f paikallinen ääriarvokohta.
  • Jos n on parillinen ja f(n)(x0)>0, niin funktiolla f on paikallinen minimi pisteessä x0.
  • Jos n parillinen ja f(n)(x0), niin funktiolla f on paikallinen maksimi pisteessä x0.

Newtonin menetelmä


The first Taylor polynomial P1(x)=f(x0)+f(x0)(xx0) is the same as the linearization of f at the point x0. This can be used in some simple approximations and numerical methods.

Newtonin menetelmä

Yhtälö f(x)=0 voidaan ratkaista likimääräisesti valitsemalla jokin alkupiste x0 (esimerkiksi kuvaajan perusteella) ja määrittelemällä lukujono palautuskaavalla xn+1=xnf(xn)f(xn) for n=0,1,2, Tämä johtaa jonoon (x0,x1,x2,), jonka termit approksimoivat yleensä funktion f nollakohtaa yhä paremmin indeksin n kasvaessa.


Palautuskaava perustuu geometriseen ideaan, jossa funktion nollakohtaa approksimoidaan sen tangenttisuoran nollakohdan avulla. Kyseessä on funktion linearisointi eli 1. asteen Taylor-polynomi edellisen pisteen xn suhteen.

Esimerkki

Määritä luvun 2 likiarvo Newtonin menetelmän avulla.

Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle f(x)=x22 ja alkuarvoa x0=2. Palautuskaava tulee muotoon xn+1=xnx2n22xn=12(xn+2xn), josta saadaan x1=1,5, x21,41667, x31,4142157 jne.

Kokeilemalla huomataan (esim. Maple), että oikeiden desimaalien lukumäärä suunnilleen kaksinkertaistuu jokaisella askeleella, ja x7 tuottaa yli 100 oikeaa desimaalia, kunhan välivaiheet lasketaan riittävällä tarkkuudella.

Taylor-sarja


Taylor-sarja

Jos Taylorin kaavan virhetermi En(x) lähestyy nollaa, kun n kasvaa, niin Taylor-polynomin raja-arvona saadaan Taylor-sarja f (= Maclaurin-sarja tapauksessa x0=0).

Funktion f Taylor-sarja on muotoa k=0f(k)(x0)k!(xx0)k=limnnk=0f(k)(x0)k!(xx0)k. Tämä on esimerkki potenssisarjasta.


Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, kun funktiolla f on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä x0 ja nämä sijoitetaan ym. kaavaan. Tähän liittyy kuitenkin kaksi ongelmaa: 1. Suppeneeko Taylor-sarja kaikilla muuttujan arvoilla x?

Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktion f(x)=11x Maclaurin-sarja (= geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla 1<x<1, vaikka alkuperäinen funktio on derivoituva  pisteissä x1: f(x)=11x=1+x+x2+x3+x4+

Kokeile. Newtonin menetelmä. Valitse alkukohta x0 ja iteroi (monta kertaa) funktion nollakohdan likiarvon selvittämiseksi.
x0= 

2. Jos sarja suppenee jollakin arvolla x, niin onko sarjan summa sama kuin f(x)? Vastaus: Ei aina; esimerkiksi funktiolle f(x)={e1/x2,x0,0,x=0, pätee f(k)(0)=0 kaikilla kN (alkeellinen, mutta teknisesti hieman hankala lasku). Näin ollen sen Maclaurin-sarja on identtisesti nolla ja suppenee kohti arvoa f(x) vain kohdassa x=0.

Johtopäätös: Taylor-sarjoja pitäisi aina tutkia huolellisesti analysoimalla virhetermejä. Käytännössä voidaan kuitenkin usein käyttää tunnettuja sarjakehitelmiä apuna.

1−10.30.60.9
 
Funktion e1/x2 kuvaaja.
Esimerkkejä

11x=k=0xk,  |x|<1ex=k=01k!xk,  xRsinx=k=0(1)k(2k+1)!x2k+1,  xRcosx=k=0(1)k(2k)!x2k,  xR(1+x)r=1+k=1r(r1)(r2)(rk+1)k!xk,|x|<1 Viimeinen on nimeltään binomisarja ja se  voidaan muodostaa kaikilla rR. Jos r=nN, niin indeksistä k=n+1 alkaen kaikki kertoimet ovat nollia, ja alkuosassa (nk)=n!k!(nk)!=n(n1)(n2)(nk+1)k!.

Vertaa binomikaavaan: (a+b)n=nk=0(nk)ankbk=an+nan1b++bn, kun nN.

Potenssisarja


Määritelmä: Potenssisarja

Potenssisarja on muotoa k=0ck(xx0)k=limnnk=0ck(xx0)k. Piste x0 on sarjan keskus luvut ck ovat potenssisarjan kertoimet.

Sarja suppenee pisteessä x, jos ym. raja-arvo on olemassa ja äärellinen.

Suppenemisen suhteen on vain kolme olennaisesti erilaista tapausta:

Abelin lause.
  •  Sarja suppenee vain arvolla x=x0 (jolloin siinä esiintyy pelkästään vakio c0)
  •  Sarja suppenee kaikilla xR
  •  Sarja supppenee jollakin välillä ]x0R,x0+R[ (ja mahdollisesti yhdessä tai molemmissa päätepisteissä), ja hajaantuu muilla muuttujan x arvoilla.

Luku R on potenssisarjan suppenemissäde. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa merkitään R=0 tai R=.

Esimerkki

Millä muuttujan x arvoilla potenssisarja k=1k2kxk suppenee?

Käytetään suhdetestiä lausekkeelle ak=kxk/2k. Silloin |ak+1ak|=|(k+1)xk+1/2k+1kxk/2k|=k+12k|x||x|2, kun k. Suhdetestin perusteella sarja suppenee, kun |x|/2, ja hajaantuu arvoilla |x|/2>1. Rajatapauksissa |x|/2=1x=±2 sarjan yleinen termi ei lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu.

Tulos: Sarja suppenee arvoilla 2<x<2, ja hajaantuu muuten.

Määritelmä: Summafunktio

Sarjan suppenemisvälillä I voidaan määritellä funktio f:IR asettamalla f(x)=k=0ck(xx0)k, jota kutsutaan potenssisarjan summafunktioksi.

Summafunktio f on jatkuva ja derivoituva avoimella välillä ]x0R,x0+R[. Lisäksi derivaatta f(x) voidaan laskea derivoimalla potenssisarja termeittäin: f(x)=k=1kck(xx0)k1. Huom. Vakiotermi c0 häviää derivoinnissa, joten summaus alkaa kohdasta k=1. Derivoitu sarja suppenee samalla välillä x]x0R,x0+R[ kuin alkuperäinen potenssisarja; tämä voi tuntua hieman yllättävältä kertoimen k vuoksi.

Esimerkki

Määritä potenssisarjan 1+2x+3x2+4x3+ summafunktio.

Tämä sarja saadaan derivoimalla termeittäin geometrinen sarja (kun q=x). Näin ollen 1+2x+3x2+4x3+=D(1+x+x2+x3+x4+)=ddx(11x)=1(1x)2. Kerrotaan molemmat puolet termillä x, jolloin saadaan k=1kxk=x+2x2+3x3+4x4+=x(1x)2, joka on voimassa arvoilla |x|.

Tapauksessa [a,b] ]x0R,x0+R[ sarjan voi myös integroida termeittäin: baf(x)dx=k=0ckba(xx0)kdx. Usein integroinnin voi ulottaa myös sarjan suppenemisvälin päätepisteeseen saakka, mutta tämä ei pidä paikkaansa yleisesti.

Esimerkki

Lasketaan vuorottelevan harmonisen sarjan summa.

 Sijoitetaan aluksi q=x geometrisen sarjan summakaavaan. Näin saadaan 1x+x2x3+x4=11(x)=11+x. Integroidaan yhtälön molemmat puolet pisteestä x=0 pisteeseen x=1, jolloin saadaan 112+1314+=1011+x=ln2. Huom. Integroinnin ulottaminen pisteeseen x=1 saakka pitäisi perustella tarkemmin. Integrointiin palataan myöhemmin tällä kurssilla.

'; } else { return ''; } } ], { useMathJax : true, fontSize : 14 }); function iterate(){ var x = 0; if(i>10){ return; } if(i==0){ x = document.getElementById("x0").value; if(isNaN(x) || x==""){ alert("Invalid input"); return; } x = Number(x); document.getElementById("x0").disabled = true; } else{ x = points[i-1].X(); } var fx = f(x); slope = derivative(x); var intersection = fx - slope*x; segments[i] = board.create('segment',[[x,0],[x,fx]],{ dash : 1, highlight : false, strokeOpacity : .6, strokeWidth : 1.5, strokeColor : '#32a889' }); tangents[i] = board.create('line',[[x, fx],[x+1, slope+fx]],{ fixed : true, highlight : false, strokeOpacity : .6, strokeWidth : 1.5, strokeColor : '#32a889' }); points[i] = board.create('point',[-intersection/slope,0],{ fixed : true, highlight : false, showInfobox : false, strokeWidth : 1, strokeColor : 'black', fillColor : '#7732a8', name : 'x+(i+1)+', label : { useMathJax : true } }); board.update(); i++; } function reset(){ i = 0; document.getElementById("x0").disabled = false; document.getElementById("x0").value = ""; board.removeObject(points), board.removeObject(segments), board.removeObject(tangents); points = [], segments = [], tangents = []; board.fullUpdate(); } document.getElementById("iterate").onclick = iterate; document.getElementById("reset").onclick = reset; board.fullUpdate(); })();