MS-A0201 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (TFM), Luento-opetus, 9.1.2024-19.2.2024

Johdanto

Ääriarvojen luokittelu perustuu suureen $\Delta f= f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) -f(\mathbf{x})$ tarkasteluun kriittisessä pisteessä $\mathbf{x}\in D$. Jos $\Delta f$ saa vain positiivisia arvoja (kun $\|\mathbf{h}\|$ on pieni), on piste $\mathbf{x}$ minimi ja negatiivisessa tapauksessa maksimi. Jos $\Delta f$ vaihtaa merkkiä, niin piste $\mathbf{x}$ ei ole minimi eikä maksimi. Tämä johtaa funktion $f$ toisen derivaatan tarkasteluun kriittisessä pisteessä.
Yhden muuttujan tapauksessa:

Seuraavaksi yritetään yleistää tätä ajatusta monen muuttujan funktiolle.

Hessen matriisi

Olkoon $f\colon D\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funktio, jolla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Funktion $f$ luonnollinen derivaattakäsite on gradientti, joka itsessään on vektoriarvoinen funktio $\nabla f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Siten funktion $f$ toinen derivaatta on matriisi, jota nimitetään Hessen matriisiksi $H_f(\mathbf{x})= \begin{bmatrix} \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} f(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2}{\partial x_2\partial x_1} f(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial x_n\partial x_1} f(\mathbf{x})\\ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2} f(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} f(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial x_n\partial x_2} f(\mathbf{x})\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_n} f(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2}{\partial x_2\partial x_n} f(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} f(\mathbf{x}) \\ \end{bmatrix}.$ Koska $f$ on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, derivoinnin järjestystä voidaan vaihtaa, ja kyseinen matriisi on symmetrinen.

Miksi Hessen matriisi kiinnostaa meitä? Kun gradientin avulla voidaan kirjoittaa lineaarinen (ensimmäisen asteen) approksimaatio funktiolle $f$, niin Hessen matriisilla saadaan kvadraattinen tarkennus: $f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{x}) + \mathbf{h} \cdot \nabla f (\mathbf{x}) + \frac{1}{2} \mathbf{h} H_f(\mathbf{x}) \mathbf{h}^T,$ jossa (vaaka)vektori $\mathbf{h} = (h_1, h_2, \ldots , h_n)$ on pieni.

Tämä kaava on itse asiassa ainoastaan uusi tapa kirjoittaa toisen kertaluvun Taylorin approksimaatio $n$:n muuttujan funktiolle. Muotoa $\mathbf{z} ^T A \mathbf{z}$ oleva lauseke on $n\times n$-neliömatriisille $A$ niin kutsuttu neliömuoto, jossa $\mathbf{z}$ on $n$-pystyvektori.

Kirjoita kaava auki tapauksessa $n = 2$!

Pisteessä, jossa $\nabla f (\mathbf{x}) = 0$, on voimassa approksimaatio $f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}) \approx \frac{1}{2} \mathbf{h} H_f(\mathbf{x}) \mathbf{h}^T.$ Tätä voidaan käyttää hyväksi mahdollisen ääriarvon luokittelussa pisteessä $\mathbf{x}$ ajattelemalla, että $\mathbf{h} \approx 0$.

Matriisin (ja neliömuodon) definiittisyys

Symmetristä $n\times n$-matriisia $A$ sanotaan positiividefiniitiksi, jos sen kaikki ominaisarvot ovat positiivisia ja negatiividefiniitiksi, jos $-A$ on positiividefiniitti. Matriisin sanotaan olevan indefiniitti, jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollasta poikkeavia ja sillä on vähintään yksi positiivinen sekä yksi negatiivinen ominaisarvo. Positiivi/negatiividefiniiteillä matriiseilla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla/negatiivisilla reaaliluvuilla.

Symmetrisen matriisin $A$ definiittiys tai indefiniittiys periytyy sitä vastaavalle neliömuodolle.
$A$ on positiividefiniitti $\Leftrightarrow$ $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}>0$ kaikilla nollasta poikkeavilla pystyvektoreilla $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$.
$A$ on negatiividefiniitti $\Leftrightarrow$ $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}< 0$ kaikilla nollasta poikkeavilla pystyvektoreilla $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$.
$A$ on indefiniitti $\Leftrightarrow$ $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ saavuttaa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja pystyvektorin $\mathbf{x}$ vaihdellessa.

Väite nähdään todeksi ortogonaalidiagonalisoimalla symmetrinen matriisi $A$ muotoon $A = U^T \Lambda U$, jossa diagonaalimatriisi $\Lambda$ sisältää $A$:n ominaisarvot.

Toisen derivaatan testi monen muuttajan tapauksessa

Lause. Olkoon $f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ funktio, jolla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat kriittisen pisteen $\mathbf{x}\in D$ ympäristössä. Tällöin:

Lause seuraa approksimaatiosta $f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}) \approx \frac{1}{2} \mathbf{h} H_f(\mathbf{x}) \mathbf{h}^T$ kun $\mathbf{h} \approx 0$. Väite täytyy nimittäin ainoastaan tarkastaa Hessen matriisin määräämälle neliömuodolle.

Esimerkki

Etsitään ja luokitellaan funktion $f(x,y,z) = x^2y+y^2z+z^2-2x$ kriittiset pisteet.

Yhtälöt kriittisille pisteille ovat $$\begin{align*} 0 &= f_{x}(x,y,z)=2xy-2,\\ 0 &= f_{y}(x,y,z)=x^2+2yz,\\ 0 &= f_{z}(x,y,z)=y^2+2z.\\ \end{align*}$$ Nämä yhtälöt ratkaisemalla nähdään, että funktion $f$ ainoa kriittinen piste on $P=(1,1,-1/2)$.

Lasketaan Hessen matriisi $H_f(1,1,-1/2)=\left [ \begin{smallmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix} \right ]$ ja lasketaan matriisin ominaisarvot vaikkapa MATLABilla

   >> a = [2 2 0 ; 2 -1 2 ; 0 2 2]
   a =
       2     2     0
       2    -1     2
       0     2     2
   >> eig(a)
   ans =
      -2.7016
       2.0000
       3.7016

Koska ominaisarvoissa on erimerkkisiä lukuja, niin funktiolla $f$ on satulapiste pisteessä $P=(1,1,-1/2)$.