MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019

Geometrinen tulkinta: Funktiolle \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) pätee \(f(x)\ge 0\) kaikilla \(x\in [a,b]\). Kuinka suuren pinta-alan käyrä \(y=f(x)\) rajaa yhdessä \(x\)-akselin kanssa välillä \([a,b]\)?

Vastauksen tähän kysymykseen antaa määrätty integraali \[ \int_a^bf(x)\, dx, \] jonka määritelmässä ehtoa \(f(x)\ge 0\) tosin ei tarvita lainkaan.

Tällä kurssilla integraali määritellään kaikille paloittain jatkuville funktioille; yleisemmin sitä voidaan tutkia myös rajoitettujen funktioiden tapauksessa, jolloin puhutaan Riemann-integraalista.

Paloittain jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia, mutta toisaalta kaikki rajoitetut funktiot eivät ole. Tämä hankaloittaa yleisen tapauksen käsittelyä.

Olkoon \(f\colon [a,b]\to \mathbb{R}\) jatkuva. Välin \([a,b]\) jakoon

\[ a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n=b \] liittyy sitä vastaava funktion \(f\) yläsumma \[ S=\sum_{k=1}^nM_k(x_k-x_{k-1}),\ M_k=\max\{ f(x)\mid x_{k-1}\le x\le x_k\}, \] ja alasumma \[ s=\sum_{k=1}^nm_k(x_k-x_{k-1}),\ m_k=\min\{ f(x)\mid x_{k-1}\le x\le x_k\}. \]

Nämä ovat positiivisen funktion tapauksessa erään ulko- ja sisämonikulmion (= pylväsdiagrammit) pinta-aloja.

Ominaisuuksia

Aina pätee:

1. Kun jakopisteitä lisätään (sanotaan: jakoa tihennetään), niin alasumma \(s\) kasvaa ja yläsumma \(S\) pienenee;
2. \(s\le S\) eli alasumma on aina korkeintaan yläsumman suuruinen, vaikka ne laskettaisiin eri jakopisteillä.

Perustelu.

Määritelmä 1.

Funktio \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\), jos jokaista \(\varepsilon>0\) vastaa sellainen jako, että \[ S-s<\varepsilon. \] Funktion \(f\) integraali \(I\in \mathbb{R}\) on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle \(s\le I\le S\) kaikissa jaoissa; merkitään \[ \int_a^bf(x)\, dx =I. \]

Positiivisen funktion tapauksessa tämä vastaa täsmälleen sitä vaatimusta, että jakoihin liittyvien pylväsdiagrammien avulla lasketut ulko- ja sisämonikulmioiden pinta-alat saadaan "mielivaltaisen" lähelle toisiaan, kun valitaan riittävän tiheä jako.

Integroituvuus

Integraali on määritelty kaikille jatkuville funktioille ja se voidaan laskea raja-arvona \[ \int_a^bf(x)\, dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x \] käyttämällä tasavälisiä jakopisteitä \(x_k=a+k\Delta x\), jossa \(\Delta x=(b-a)/n\) on askelpituus ja \(0\le k\le n\).

Yleisemmin: Edellisessä summassa arvon \(f(x_k)\) tilalla voi olla mikä tahansa arvo \(f(z_k)\), kun \(x_{k-1}\le z_k\le x_k\), eikä jaon tarvitse olla tasavälinen. Ainoa vaatimus: Jakovälien max-pituus \(\to 0\), kun \(n\to\infty\). Tässä tapauksessa puhutaan integraalin laskemisesta Riemannin summien avulla. Monissa sovelluksissa integraaliin päädytään juuri Riemannin summien kautta.

Perustelu.

Sopimuksia:

\[\begin{aligned} \int_a^af(x)\,dx & = 0,\\ \int_b^af(x)\,dx & = -\int_a^bf(x)\,dx. \end{aligned}\]

Tällöin pätee \[ \int_a^bf(x) \,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx \] kaikilla \(a,b,c\) järjestyksestä riippumatta.

Määritelmä 2.

Funktio \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) on paloittain jatkuva, jos sillä on vain äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia \[ a \le c_1 < c_2< \dots < c_m \le b, \] joissa kaikissa toispuoliset raja-arvot ovat olemassa ja äärellisiä (ts. \(\pm \infty\) ei sallita).

Määritelmästä seuraa, että jokaisella yksittäisellä välillä \([c_{k-1},c_k]\) funktio \(f\) voidaan muokata jatkuvaksi muuttamalla päätepistearvoiksi ko. toispuoliset raja-arvot.

Integraalin yleistys

Määritelmä 3.

Jos \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) on paloittain jatkuva, niin \[ \int_a^bf(x)\, dx = \sum_{k=1}^{m+1}\int_{c_{k-1}}^{c_k}f(x)\, dx, \] kun käytetään edellä esiteltyjä merkintöjä, \(c_0=a\), \(c_{m+1}=b\) ja \(f\) tulkitaan jatkuvaksi jokaisella välillä \([c_{k-1},c_k]\) erikseen.

Käytännössä integraalin laskeminen täytyy tehdä useammassa osassa yllä olevan kaavan tapaan myös silloin, kun funktio \(f\) on määritelty paloittain (jatkuvuudesta riippumatta).