1. Derivaatta

Seuraavaksi siirrymme käsittelemään funktioiden derivaattaa. Lähdemme liikkelle esimerkistä, jolla hahmotellaan derivaatan määritelmän taustalla olevaa ideaa.

Esimerkki 0.

Alla oleva kuvaaja esittää polkupyöräilijän kulkemaa matkaa ajan funktiona. Etäisyyden yksikkönä on kilometri ja ajan yksikkönä tunti.

a) Katsotaan ensin punaista suoraa. Kuvaajan perusteella näemme, että kolmen tunnin ajanjakson aikana pyöräilijä kulki \(20\) km pituisen matkan. Pyöräilijän keskinopeus kyseisen matkan aikana oli siis \(6.6\) km/h.
b) Katsotaan seuraavaksi vihreää suoraa. Kuvaajasta voimme lukea, että kolmannen tunnin aikana pyöräilijä pääsi \(10\) km kauemmaksi. Pyöräilijän keskinopeus tällä aikavälillä oli siis \(10\) km/h.
Huomaa, että punaisen suoran kulmakerroin on \(20/3 \approx 6.6\) ja sinisen suoran kulmakerroin on \(10\). Suorien kulmakertoimien arvot vastaavat siis laskettuja keskinopeuksia.
c) Katsotaan vielä sinistä suoraa. Se on käyrän pisteeseen \(x=2\) h piirretty tangentti. Vastaavalla päättelyllä kuin edellä keskinopeuksien kohdalla, voimme päätellä, että kaksi tuntia liikkeellelähdön jälkeen pyöräilijän keskinopeus oli \(30/2\) km/h \(= 15\) km/h.

Nyt voimme siirtyä derivaatan varsinaiseen määritelmään.

Määritelmä: Derivaatta

Olkoon \((a,b)\subset \mathbb{R}\) avoin väli. Funktion \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\) derivaatta pisteessä \(x_0\in (a,b)\) on \[f'(x_0):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\] Jos \(f'(x_0)\) on olemassa, niin sanotaan, että funktio \(f\) on derivoituva pisteessä \(x_0\).

Huom. Koska \(x = x_0+h\) eli \(h=x-x_0\), voidaan derivaatan määritelmä esittää yhtäpitävästi myös muodossa\[f'(x_0):=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]

Derivaatalle on käytössä monia vaihtoehtoisia merkintöjä: \[ f'(x_0)=Df(x_0) =\left. \frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}, \ \ f'=Df =\frac{df}{dx}. \]

Tulkinta. Tarkastellaan funktion \(y = f(x)\) määräämää käyrää. Jos piirrämme suoran pisteiden \((x_0,f(x_0))\) ja \((x_0+h, f(x_0+h))\) kautta, huomaamme, että suoran kulmakertoimeksi saadaan \[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\] Kun \(h \to 0\), suoran ja käyrän \(y = f(x)\) ainoa leikkauspiste on \((x_0, f(x_0))\). Kyseinen suora on käyrän \(y=f(x)\) tangentti pisteessä \((x_0,f(x_0))\) ja sen kulmakerroin on \[\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\] joka on funktion \(f\) derivaatta. Yhtälö \[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\] määrää siis käyrän tangentin.

Sovelma. Vaihtele muuttujan \(x\) arvoa ja tarkastele, miten se vaikuttaa käyrän tangenttiin.

Tulkinta.

Esimerkki 1.

Olkoon \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) funktio \(f(x) = x^3 + 1\). Funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(x_0 = 1\) on: \[\begin{aligned}f'(x) &=\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 + 1 - 1^3 - 1}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{h(3+3h+h^2)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} 3+3h+h^2 \\ &= 3\end{aligned}\]

Funktion \( x^3 + 1\) kuvaaja ja sen tangentti pisteessä \(1\).

Esimerkki 2.

Olkoon \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) funktio \(f(x)=ax+b\). Määritetään funktion \(f(x)\) derivaatta.

Suoraan määritelmästä saadaan \[\begin{aligned}f'(x) &=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0} \frac{[a(x+h)+b]-[ax+b]}{h} \\ &=\lim_{h\to 0} a \\ &=a.\end{aligned}\]

Tässä \(a\) on tangenttisuoran kulmakerroin. Huomaa, että derivaatan arvo kohdassa \(x\) ei riipu muuttujan \(x\) arvosta, koska \(y=ax+b\) on suoraa esittävä yhtälö.

Huom. Kun \(a=0\), niin \(f(x) = b\) ja \(f'(x) = 0\). Vakiofunktion derivaatta on nolla.

Esimerkki 3.

Olkoon \(g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) funktio \(g(x)=|x|\). Onko funktiolla \(g\) derivaattaa pisteessä \(0\)?

Nyt \[g'(x_0)= \begin{cases}+1 & \text{kun $x_{0}>0$} \\ -1 & \text{kun $x_{0}<0$}\end{cases}\]

Kuvaajalla \(y=g(x)\) ei ole tangenttia pisteessä \(x_0=0\): \[\frac{g(0+h)-g(0)}{h}= \frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}+1 & \text{kun $h>0$}, \\ -1 & \text{kun $h<0$}.\end{cases}\] Näin ollen derivaattaa \(g'(0)\) ei ole olemassa.

Johtopäätös. Funktio \(g\) ei ole derivoituva pisteessä \(0\).

Huomautus. Olkoon \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\). Jos \(f'(x)\) on olemassa kaikilla \(x\in (a,b)\), saadaan derivaattafunktio \(f'\colon (a,b)\to \mathbb{R}\). Voimme siis luontevasti kirjoittaa:

(1) \(f(x)\) = \(f^{(0)}(x)\),
(2) \(f'(x)\) =  \(f^{(1)}(x)\) =  \(\frac{d}{dx}f(x)\),
(3) \(f''(x)\) =  \(f^{(2)}(x)\) =  \(\frac{d^2}{dx^2}f(x)\),
(4) \(f'''(x)\) =  \(f^{(3)}(x)\) =  \(\frac{d^3}{dx^3}f(x)\),
...

Funktiota \(f''(x)\) kutsutaan funktion \(f\) toiseksi derivaataksi pisteessä \(x\), funktiota \(f^{(3)}\) kolmanneksi derivaataksi jne.

Otamme myös käyttöön merkinnän \begin{eqnarray} C^n\bigl( (a,b)\bigr) =\{ f\colon (a,b) \to \mathbb{R} & \mid & f \text{ on } n \text{ kertaa derivoituva välillä } (a,b) \nonumber \\ & & \text{ ja } f^{(n)} \text{ on jatkuva}\}. \nonumber \end{eqnarray} Funktioita, jotka täyttävät nämä ehdot, kutsutaan n kertaa jatkuvasti derivoituviksi.

Funktio \(|x|\).

Esimerkki 4.

Olkoon \(s(t)\) funktio, joka kuvaa pyöräilijän (tai auton) kulkemaa matkaa. Tällöin nopeus hetkellä \(t\) on \(s'(t)\) ja kiihtyvyys on \(s''(t)\).

Linearisointi ja differentiaali
Derivaattaa voidaan käyttää myös funktioiden approksimointiin. Derivaatan määritelmästä saadaan \[ f'(x_0)\approx \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \Leftrightarrow f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0), \] missä oikeanpuoleinen lauseke on funktion \(f\) linearisointi tai differentiaali pisteessä \(x_0\). Differentiaalille käytetään merkintää \(df\). Linearisoinnin kuvaaja \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \] on funktion \(f\) kuvaajalle pisteeseen \((x_0,f(x_0))\) piirretty tangentti. Myöhemmin useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennassa differentiaalin todellinen merkitys tulee esille. Tällä hetkellä meillä ei kuitenkaan ole tarvetta vaivata itseämme moisilla yksityiskohdilla.