1. Derivaatta

1.1. Derivaatan ominaisuuksia

Seuraavaksi käymme läpi joitain derivaatan hyödyllisiä ominaisuuksia. Niiden avulla voimme määrittää polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä muiden tuttujen funktiotyyppien derivaattoja.

Jatkuvuus ja derivaatta

Jos funktio \(f\) on derivoituva pisteessä \(x_0\), niin \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_0\): \[f(x_0+h) = f(x_0)+h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\] Miksi? Jos \(f\) on derivoituva, niin tällöin \[f(x_0)+h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \rightarrow f(x_0)+0\cdot f'(x_0)=f(x_0),\] kun \(h \to 0\).

Huom. Vaikka funktio olisi jatkuva pisteessä \(x_0\), sen ei kuitenkaan tarvitse olla derivoituva kyseisessä pisteessä. Esimerkiksi funktio \(g(x) = |x|\) on jatkuva, mutta se ei ole derivoituva pisteessä \(0\).

Derivointisääntöjä

Seuraavaksi käsittelemme keskeisimpiä derivointiin liittyviä sääntöjä, joita funktioiden derivaattojen määrittämiseksi usein tarvitaan.

Oletetaan, että funktiot \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia pisteessä \(x\).

Kerroinfunktion derivointisääntö

\[(cf)'(x) = cf'(x),\ c \in \mathbb{R}\]

Todistus.

Yhteenlaskusääntö

\[(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\]

Todistus.

Tulosääntö

\[(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]

Todistus.

Potenssifunktion derivointisääntö

\[\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \text{, } n \in \mathbb{Z}\]

Todistus.

Resiprositeettisääntö

\[\Big(\frac{1}{f}\Big)'(x) = - \frac{f'(x)}{f(x)^2} \text{, } f(x) \neq 0\]

Todistus.

Osamäärän derivointisääntö

\[(f/g)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2},\ g(x) \neq 0\]

Todistus.

Sovelma. Vaihtele muuttujan \(x\) ja vakiokertoimen arvoja ja havainnoi, miten vakiokertoimen muuttaminen vaikuttaa funktion käyttäytymiseen.

Esimerkki 1.

\[\frac{d}{dx}(x^{2006}+5x^3+42)=\frac{d}{dx}x^{2006}+5\frac{d}{dx}x^3+42\frac{d}{dx}1=2006x^{2005}+5\cdot 3x^2.\]

Esimerkki 2.

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] &= \frac{d}{dx}(x^4-2) \cdot (2x+1) + (x^4-2) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \\ &= 4x^3(2x+1) + 2(x^4-2) \\ &= 8x^4+4x^3+2x^4-4 \\ &= 10x^4+4x^3-4\end{aligned}\]

Huom. Vastauksen oikeellisuus voidaan tarkistaa derivoimalla funktio toisella tavalla: \[\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] = \frac{d}{dx} (2x^5 +x^4 -4x -2) = 10x^4 +4x^3 -4\]

Funktio \( (x^4-2)(2x+1) \).

Esimerkki 3.

Oletetaan, että \(x \neq 0\). \[\frac{d}{dx} \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} = -3 \cdot \frac{\frac{d}{dx} x^3}{(x^3)^2} = -3 \cdot \frac{3x^2}{x^6}= - \frac{9}{x^4}\]

Huom. Tehtävä voidaan ratkaista toisellakin tavalla huomaamalla, että \(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\) ja derivoimalla lauseketta polynomin tavoin: \[\frac{d}{dx} \ \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} x^{-3} = 3 \cdot (-3x^{-4})= - \frac{9}{x^4}\]

Esimerkki 4.

\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \frac{x^3}{1+x^2} & = \frac{(\frac{d}{dx}x^3)(1+x^2)-x^3\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2(1+x^2)-x^3(2x)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}.\end{aligned}\]

Funktio \(x^3 / (1+x^2)\).

Rollen lause

Jos \(f\) on derivoituva paikallisessa ääriarvokohdassa \(x_0\in (a,b)\), niin \(f'(x_0)=0\).

Todistus (idea).

L'Hôpitalin sääntö

Oletetaan, että \(f(x_0)=g(x_0)=0\) ja että funktiot \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia jollakin avoimella välillä \((x_0-\delta,x_0+\delta)\). Jos raja-arvo \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] on olemassa, niin tällöin \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]

Todistus (idea).