MS-A0108 - Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, 26.02.2019-09.04.2019
This course space end date is set to 09.04.2019 Search Courses: MS-A0108
Opiskelun tueksi: Kirjallinen materiaali
1. Derivaatta
1.2. Trigonometristen funktioiden derivaatat
Tässä kappaleessa käymme läpi trigonometristen funktioiden \(\sin\), \(\cos\) ja \(\tan\) derivointikaavat.
Sinin derivaatta.
\[\sin'(t)=\cos(t)\]
Todistus.
Funktio \(\sin(x)\) ja sen derivaattafunktio \(\cos(x)\).
Kosinin derivaatta.
\[\cos'(t)= - \sin(t)\]
Todistus.
Funktio \(\cos(x)\) ja sen derivaattafunktio \(-\sin(x)\).
Tangentin derivaatta.
\[\tan'(t) = \frac{1}{\cos^2(t)}\]
Todistus.
Funktio \(\tan(x)\) ja sen derivaattafunktio \(1/\cos^2(x)\).
Esimerkki 1.
\[\frac{d}{dx} (3 \sin(x)) = 3 \sin'(x) = 3 \cos(x)\]
Esimerkki 2.
\[\frac{d}{dx} \cos^2 (x) = \cos'(x) \cdot \cos(x) + \cos(x) \cdot \cos'(x) = -2\sin(x)\cos(x).\]
Esimerkki 3.
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \frac{\sin(x) + 1}{\cos(x)} &= \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{1}{\cos(x)} \right) \\ &= \tan'(x) - \frac{\cos'(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1+\sin(x)}{\cos^2 (x)}\end{aligned}\]