1. Derivaatta

1.3. Eksponenttifunktio ja logaritmi

Tässä kappaleessa esittelemme kaksi tärkeää toisiinsa liittyvää funktiota, eksponenttifunktion ja logaritmifunktion.

Eksponenttifunktio

Esimerkki 1.

Ajanhetkellä \(t_0\) bakteerikannan koko on 500. Bakteerit jakautuvat kahtia aina puolen tunnin välein. Yhden tunnin aikana bakteerikanta on siis nelinkertaistunut:

1 tunnin jälkeen \(4 \cdot 500\)
2 tunnin jälkeen \(4 \cdot (4 \cdot 500) = 4^2 \cdot 500\)
3 tunnin jälkeen \(4 \cdot (4^2 \cdot 500) = 4^3 \cdot 500\)
\(\vdots\) \(\vdots\)
t tunnin jälkeen \(4^t \cdot 500\)

Funktio, joka kuvaa bakteerikannan kokoa ajanhetkellä \(t\), on \(f(t) = 500 \cdot 4^t\).

Funktio \(500 \cdot 4^t\).

Populaation kasvun mallintaminen

Hetkellä \(t\in \mathbb{R}\) populaation koko on \(s(t)\), missä kasvunopeus on suoraan verrannollinen: \(s'(t)=s(t)\). Olkoon alkuhetkellä \(s(0)=1\). Tavoitteenamme on löytää ratkaisu alkuarvo-ongelmaan \[\begin{cases}s'=s, \\ s(0)=1.\end{cases}\]

Analyysin peruslauseen nojalla ongelman ratkaisu on yksikäsitteinen (jos se on olemassa). Lauseen mukaan annetun alkuarvotehtävän ratkaisu on

Määritelmä.

\[\exp(t):=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t,\] missä \(e=\exp(1)\) on ns. Neperin luku.

Seuraavaksi esittelemme joitakin eksponenttifunktion ominaisuuksia.

Lause 1.

Kaikilla \(r\in \mathbb{Q}\) ja kaikilla \(t\in \mathbb{R}\) on voimassa \[\exp(rt)=\exp(t)^r.\]

Todistus.

Lause 2.

\[\exp(t+h)=\exp(t)\exp(h).\]

Tulkinta. Populaation kasvunopeus ei riipu ajasta - jokaisella aikavälillä \([t,t+h]\) suhteellinen kasvu on \(\exp(h)\), missä \(h>0\).

Todistus.

Lause 3.

\[\frac{d}{dx}\exp(x)=\exp(x).\]

Todistus.

Esimerkki 2.

Ongelmana on derivoida funktio \(e^{3x}\). Asetetaan \(f(x) = e^x\) ja \(g(x) = 3x\) ja määritetään yhdistetyn funktion \(f(g(x))\) derivaatta. Kun \(e^x = \exp(x)\), niin \(f'(x) = e^x\) ja edelleen \[\frac{d}{dx} e^{3x} = 3e^{3x}.\]

Animaatio. Funktio \(e^t\) ja funktion \[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!}\] \(n+1\) termin summa.

Sovelma. Eksponenttifunktion derivaatta.

Luonnollinen logaritmi

Edellä näimme, että \(\exp \colon \mathbb{R} \to (0,\infty)\) on aidosti kasvava (eli yksi yhteen) funktio. Kyseisen funktion käänteisfunktiota kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi.

Määritelmä.

\[\ln:=\exp^{-1}\colon (0,\infty)\to \mathbb{R}.\]

Luonnollinen logaritmifunktio \(\ln(x)\).

Esimerkki 3.

Määritelmän nojalla \(\exp(\ln(x)) = x\), kun \(x>0\). Siten \[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \exp(\ln(x)) &= \frac{d}{dx}x \\ \exp(\ln(x)) \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) &= 1 \\ x \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) &= 1 \\ \frac{d}{dx} \ln(x) &= \frac{1}{x} \text{, kun } x>0.\end{aligned}\]

Olemme siis osoittaneet:

Lause 4.

\[\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \text{, kun } x>0.\]

Sovelma. Logaritmifunktion derivaatta.

Eksponenttifunktio kantalukuna \(a>0\)

Olkoon \(t\in \mathbb{R}\) ja olkoon \(t_k\in \mathbb{Q}\). Oletetaan, että \(\lim_{k\to \infty}t_k=t\). Jos \(a>0\), niin \[a^{t_k}=\exp(\ln(a^{t_k}))=\exp(t_{k} \ln(a)).\] Koska \(\exp(x)\) on jatkuva funktio, niin \[\lim_{k\to \infty} \exp(t_{k} \ln(a))=\exp(t \ln(a)).\] Täten voimme määritellä:

Määritelmä.

\[a^t:=\exp(t\ln(a)).\]

Määritelmästä seuraa, että \(\lim_{k\to \infty}a^{t_k}=a^t\) ja \[(t\mapsto a^t)\colon \mathbb{R} \to (0,\infty)\] on jatkuva ja derivoituva kaikilla \(t\in \mathbb{R}\).

Esimerkki 4.

Määritelmän nojalla \(a^x = \exp(x \ln(a))\). Näin ollen \[\begin{aligned}\frac{d}{dx} a^x &= \frac{d}{dx} \exp(x \ln(a)) \\ &= \exp(x \ln(a)) \cdot \frac{d}{dx} (x \ln(a)) \\ &= a^x \ln(a) \text{, kun } a > 0.\end{aligned}\] Olemme siis osoittaneet:

Lause 5.

\[\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a) \text{, kun } a > 0\]

Logaritmi kantalukuna \(a>0\)

Funktio \((t\mapsto a^t)\colon \mathbb{R} \to (0,\infty)\) on

  1. aidosti vähenevä (yksi yhteen) kaikilla \(0 \lt a \lt 1\), ja

  2. aidosti kasvava (yksi yhteen) kaikilla \(1 \lt a \lt \infty\).

Kyseisen funktion käänteisfunktiota kutsutaan \(a\)-kantaiseksi logaritmiksi.

Määritelmä.

\[\log_a \colon (0, \infty) \to \mathbb{R}\]

Nyt voimme osoittaa:

Määritelmä 6.

Kun \(x>0\), niin \[\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)}.\]

Todistus.

Logaritmilla on seuraavat ominaisuudet (olettaen, että kyseinen logaritmi on määritelty):

Lause 7.

  1. \(\log_a(1) = 0\)

  2. \(\log_a(a) = 1\)

  3. \(\log_a(x^r) = r \log_a(x)\)

  4. \(\log_a(a^x) = x\)

  5. \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

  6. \(\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y)\)

  7. \(\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x)-\log_a(y)\)

Previous activity
Next activity